1.2.3 充分条件、必要条件课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 1.2.3　充分条件、必要条件 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.理解充分条件、必要条件的意义. 2.理解充分不必要、必要不充分和充要条件的意义. 3.掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的判定方法. 4.掌握充分不必要条件、必要不充分条件和充要条件的简单应用. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 充分条件与必要条件 命题 真假 “如果p,那么q”为真命题 “如果p,那么q”是假命题 推出 关系 由p可以推出q,记作　　　  由p推不出q,记作　　　  条件 关系 p是q的　　　条件  q是p的　　　条件  p不是q的　　　　条件  q不是p的　　　　条件  p⇒q p⇒q 充分 必要 充分 必要 名师点睛 1.在逻辑推理中“p⇒q”的几种说法 (1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件. (3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q. (5)q的充分条件是p. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 2.对充分条件的理解 充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立. 3.对必要条件的理解 “p是q的必要条件”的理解:若有q,则必须有p;而具备了p,则不一定有q. 过关自诊 1.下列命题中是真命题的是(　　) ①“x>3”是“x>4”的必要条件;②“x=1”是“x2=1”的必要条件;③“a=0”是“ab=0”的必要条件. A.①② B.②③ C.② D.① D 解析 x>4⇒x>3,故①是真命题; x=1⇒x2=1,x2=1 x=1,故②是假命题; a=0⇒ab=0,ab=0 a=0,故③是假命题. 2.[北师大版教材习题改编]用“充分条件”“必要条件”填空: (1)“x∈N”是“x∈Q”的　　　 　　;  (2)“x=2”是“x2-3x+2=0”的　　　 　　;  (3)“x>2”是“x>3”的　　　 　　.  充分条件 充分条件 必要条件 知识点2 充要条件 如果p⇒q且q⇒p,则称p是q的　　　 　　　(简称　　 　　),记作　　　　.p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.  名师点睛 1.对充要条件的两点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”. (2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件. 充分必要条件 充要条件 p⇔q 2.常见的四种条件与命题真假的关系 如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形: 命题“若p,则q” 命题“若q,则p” p与q的关系 真 真 p是q的充要条件 q是p的充要条件 真 假 p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 假 真 p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 假 假 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件 过关自诊 1.“x=0”是“x2=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 D 解析 因为x=0时,x2=0,当x2=0时,x=0,所以“x=0”是“x2=0”的充要条件. 2.[人教A版教材习题]下列各题中,哪些p是q的充要条件? (1)p:三角形为等腰三角形,q:三角形存在两角相等; (2)p:☉O内两条弦相等,q:☉O内两条弦所对的圆周角相等; (3)p:A∩B为空集,q:A与B之一为空集. 提示 (1)p是q的充要条件. (2)p是q的必要不充分条件. (3)p是q的必要不充分条件. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　充分条件、必要条件的判断 【例1】 判断在下列各题中,p是不是q的充分条件: (1)p:a∈Q,q:a∈R. 分析逐个判断“若p,则q”是否为真命题. 解 由于Q⫋R,所以p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)p:x>1,q:x2>1. (4)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3. 解 由x>1可以推出x2>1. 因此p⇒q,所以p是q的充分条件. 解 设A={a|(a-2)(a-3)=0},B={3},则B⫋A. 因此p q,所以p不是q的充分条件. 【例2】 判断下列各题中,q是不是p的必要条件: (1)p:|x|=|y|,q:x=y. (2)p:△ABC是直角三角形,q:△ABC是等腰三角形. 分析逐个判断“若p,则q”是否为真命题. 解 若|x|=|y|,则x=y或x=-y, 因此p q,所以q不是p的必要条件. 解 直角三角形不一定是等腰三角形. 因此p q,所以q不是p的必要条件. (4)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5. 所以p⇒q,所以q是p的必要条件. 解 设A=[-2,5],B=[-1,5], 则B⫋A,所以p q,所以q不是p的必要条件. 规律方法　充分条件、必要条件的判断方法 (1)确定谁是条件,谁是结论. (2)尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件. (3)尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件. 变式训练1对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是(　　) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 B 所以ac>bc既不是a>b的充分条件,也不是必要条件, 故A,C都不对; 所以ac=bc是a=b的必要不充分条件,故选B. 探究点二　充分不必要条件、必要不充分条件的判断 【例3】 [人教A版教材习题]在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答): (1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形; (2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,q:b2-4ac≥0(a≠0); (3)p:a∈(P∩Q),q:a∈P; (4)p:a∈(P∪Q),q:a∈P; (5)p:x>y,q:x2>y2. 解 (1)因为等边三角形是特殊的等腰三角形, 故p是q的必要不充分条件. (2)一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根,则判别式Δ=b2-4ac≥0,故p是q的充要条件. (3)因为a∈(P∩Q),故a∈P且a∈Q;当a∈P时,a∈(P∩Q)不一定成立,故p是q的充分不必要条件. (4)因为a∈(P∪Q),故a∈P或a∈Q,所以a∈P不一定成立;当a∈P时,a∈(P∪Q)一定成立.故p是q的必要不充分条件. (5)当x=1,y=-2时,满足x>y,但x2>y2不成立. 当x=-2,y=1时,满足x2>y2,但x>y不成立. 故p是q的既不充分也不必要条件. 规律方法　充分不必要条件、必要不充分条件的判断方法之集合关系法 记法 A={x|p(x)},B={x|q(x)} 关系 A⫋B B⫋A A=B A⊈B且B⊈A 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p,q互为充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 变式训练2判断下列各题中,p是否为q的充要条件: (1)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0; (2)p:|x|>3,q:x2>9. 解 (1)若a2+b2=0,则a=b=0,即p⇒q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件. (2)由于p:|x|>3⇔q:x2>9,所以p是q的充要条件. 探究点三　充分条件与必要条件的应用 角度1.求参数的范围 【例4】 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 分析根据条件的充分必要性构建不等式组,解不等式组可得实数m的范围. 解 因为p是q的必要不充分条件, 所以0<m≤3,即m的取值范围为(0,3]. 变式探究将例4改为:p是q的充分不必要条件,其他条件不变,试求m的取值范围. 所以实数m的取值范围是[9,+∞). 规律方法　由条件关系求参数的取值范围的方法 (1)化简p,q; (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要)转化为集合间的关系; (3)利用集合间的关系建立不等关系; (4)求解参数范围. 角度2.充要条件的探求 【例5】 求ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件. 分析首先讨论二次项的系数a是否为零,当a≠0时,利用判别式和根与系数的关系求解. 解 由于二次项系数是不确定的,因此,首先要对方程ax2+2x+1=0确定是一元一次方程还是一元二次方程. 当a=0时,为一元一次方程,其根为x= ,符合要求; 当a≠0时,为一元二次方程,它有实根的充要条件是判别式Δ≥0即4-4a≥0从而a≤1; 综上所述,ax2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1. 规律方法　求充要条件的方法 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合,这就要求转化时思维要缜密.p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”. 变式训练3实数a,b中至少有一个不为零的充要条件是(　　) A.ab=0 B.ab>0 C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 D 解析 a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.故选D. 角度3.充要条件的证明 【例6】 (1)证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 分析从充分性和必要性两个方面证明. 证明 必要性:因为a+b+c=0, 所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中, 得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0. 所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 所以a+b+c=0⇒方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 充分性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 所以x=1满足方程ax2+bx+c=0, 所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1⇒a+b+c=0, 从而a+b+c=0⇔方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 因此方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. (2)证明:方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0. 证明 必要性:当f(1)=0时,即x=1代入f(x)=0,等式成立,所以f(1)=0是f(x)=0的充分条件; 充分性:当f(x)=0有一根为1时,f(1)=0, 所以f(1)=0是f(x)=0的必要条件. 综上所述,方程f(x)=0有一根为1的充要条件是f(1)=0. 变式探究将本例(1)的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”,“a+b+c=0”改为“ac<0”,其他条件不变,如何证明? 证明 必要性:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0中有两个不相等实根,由根与系数关系可知这两个根的积为 <0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,所以ac<0⇒方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根. 充分性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,由根与系数关系可知这两个根的积为 <0, 所以ac<0,所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根⇒ac<0,因此方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 规律方法　充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真. (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 11 12 13 14 15 16 1.[探究点二]设a∈R,则“a> ”是“a2>2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[探究点二]已知a,b都是实数,那么“|a|>|b|”是“a>|b|”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 B 解析 若|a|>|b|,取a=-2,b=1,则a>|b|不成立,即“|a|>|b|”不能推出“a>|b|”; 若a>|b|,则|a|≥a>|b|,即|a|>|b|,所以“a>|b|”⇒“|a|>|b|”. 因此,“|a|>|b|”是“a>|b|”的必要不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[探究点二]设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 当“a=2”时,A={1,4,-2},“A∩B={4}”. 当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不一定能推出“a=2”.由此可知“a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.[探究点二](多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是(　　) A.p:A⊆B,q:A∩B=A B.p:a=b,q:|a|=|b| C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0(x,y∈R) D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数 AC 解析 在选项A,C中,p是q的充要条件.选项B中,p是q的充分不必要条件.选项D中,p是q的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点一]已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是　 　　,若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是　　　　　.  (-∞,0] [0,+∞) 解析 因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点二(角度1)]已知p:1≤x≤2,q:x-a>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为　　　　　.  (-∞,1) 解析 ∵p是q的充分不必要条件, ∴[1,2]⫋(a,+∞). ∴a<1,故实数a的取值范围为(-∞,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点一]给出下列三组命题: (1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等. (2)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等. (3)p:A⊆B,q:A∪B=B. 试分别指出p是q的什么条件. 解 (1)因为两个三角形相似 两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,所以p是q的必要不充分条件. (2)因为矩形的对角线相等,所以p⇒q,而对角线相等的四边形不一定是矩形,所以q p. 所以p是q的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)因为p⇒q,且q⇒p,所以p既是q的充分条件,又是q的必要条件,即p是q的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.[探究点三(角度1)·2023河北高一课时练习]已知p:A={x|x<-2或x>10}, q:B={x|x<1-m或x>1+m,m>0},若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 解 由p是q的必要不充分条件,所以B⫋A, 所以m的取值范围是{m|m≥9}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 9.命题p:a>b,命题q:a+c>b+c(其中a,b,c∈R),那么p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 C 解析 若a>b,则a+c>b+c,所以由命题p可以得出命题q;若a+c>b+c,则a+c-c>b+c-c,即a>b,所以由命题q可以得出命题p.所以p是q的充要条件.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(多选题)对任意实数a,b,c,下列命题中是真命题的是(　　) A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 D.“a<5”是“a<3”的必要条件 BD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知区间M=[a,a+1],则下列可作为“∀x∈M,x+1>0”是真命题的充分不必要条件的是(　　) A.a>-1 B.a>0 C.a≥-1 D.a≤0 B 解析 因为M=[a,a+1],由“∀x∈M,x+1>0”可得,a+1>0,即a>-1.要找“∀x∈M,x+1>0”是真命题的充分不必要条件,即是找a>-1对应集合的真子集.由题中选项易知B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知p:2≤x≤10,q:a-1<x<a+1,a∈R,且p是q成立的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　　　　　　　.  [3,9] 解析 因为p是q成立的必要不充分条件,所以(a-1,a+1)⫋[2,10], 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=⌀的充要条件是　　　 　　.  0≤a≤2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.[2023河北衡水高一阶段练习]设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},集合B={x|-1-2a≤x≤a-2}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围; (2)若命题“∀x∈B,则x∈A”是真命题,求实数a的取值范围. 解 (1)∵x∈A是x∈B的充分条件,∴A⊆B, 又B={x|-1-2a≤x≤a-2}, ∴实数a的取值范围为[7,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.证明:对于任意x,y∈R,(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要不充分条件. 证明“⇐”:∵(x-1)2+(y-1)2=0, ∴x-1=0且y-1=0, ∴(x-1)(y-1)=0,即(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要条件; “⇒”:∵(x-1)(y-1)=0,∴x-1=0,y-1≠0或x-1≠0,y-1=0或x-1=0,y-1=0,故不一定能得到(x-1)2+(y-1)2=0,即充分性不成立. 综上,对于任意x,y∈R,(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 16.请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由. 已知集合A={x|-2≤x≤6},B={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.若x∈A是x∈B成立的 　　　　　条件,判断实数m是否存在.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 若选择条件①,即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件,集合A是集合B 所以不存在满足条件的实数m. (2)p:a<b,q:<1. 解 由于a<b,当b<0时,>1; 当b=0时,不存在; 当b>0时,<1,因此pq,所以p不是q的充分条件. (3)p:x=1,q:x-1=. 解 当x=1时,x-1==0, 解析 因为⇒a>b,⇒a<b; 所以ac>bca>b,而由a>bac>bc, 又⇒a=b,a=b, 所以由ac=bca=b,而由a=b⇒ac=bc. 所以q⇒p,且pq,所以 解 因为p是q的充分不必要条件,所以p⇒q,且qp,所以解得m≥9, - 又设方程ax2+2x+1=0的根为x1,x2,则x1+x2=-,x1·x2=. ①因为方程ax2+2x+1=0有一个正根、一个负根的充要条件是解得a<0; ②方程ax2+2x+1=0有两个负根的充要条件是解得0<a≤1. 解析 由a2>2,解得a>或a<-,则当a>时,有a2>2成立.当a2>2时,a>不一定成立,如当a=-3时,满足a2>2,但a>不成立.所以“a>”是“a2>2”的充分不必要条件.故选A. 则解得m≥9. 所以解得3≤a≤9, 所以实数a的取值范围是[3,9]. 解析 因为A∩B=⌀,所以所以0≤a≤2. ∴解得a≥7, (2)∵命题“∀x∈B,则x∈A”是真命题,①当B=⌀时,-1-2a>a-2,解得a<; ②当B≠⌀时,∵A={x|1≤x≤5},B={x|-1-2a≤x≤a-2},且B是A的子集, ∴解得∴a∈⌀. 综上所述,实数a的取值范围为(-∞,). 的真子集,则有解得m≥5,所以实数m的取值范围是[5,+∞). 若选择条件②,即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件,集合B是集合A的真子集,则有解得0<m≤3,所以实数m的取值范围是(0,3]. 若选择条件③,即x∈A是x∈B成立的充要条件,则集合A等于集合B,则有方程组无解, $$