1.1.1 集合及其表示方法（第1课时 集合的概念）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1.1　集合及其表示方法 第1课时　集合的概念 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.通过实例,理解集合的含义,理解元素与集合的关系. 2.理解集合中元素的特征性质. 3.理解空集的含义及其表示方法. 4.理解集合的分类,掌握常用数集的表示方法. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 集合的概念 1.集合:把一些能够　　　　、　　　　对象汇集在一起,就说由这些对象组成一个集合(有时简称为集).集合通常用　　　　　　　　　　　表示.  2.元素:组成集合的　　　　　　都是这个集合的元素.集合的元素通常用 　　　　 　　　　表示.  确定的 不同的 英文大写字母A,B,C,… 每个对象 英文小写字母a,b,c,… 名师点睛 集合概念的三个性质 (1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明. (2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体. (3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式,也可以是人或物等,即对象形式多样化. 过关自诊 1.下列判断正确的个数为(　　) ①所有的等腰三角形构成一个集合;②倒数等于它自身的实数构成一个集合;③质数的全体构成一个集合.　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.0 C 2.是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义? 提示 可以.比如把某位学生在初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素. 知识点2 元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关 系 属于 如果　　　　 　　,就说a属于A  　 　  　   不属于 如果　　　　　　　　　,就说a不属于A  　 　  　   a是集合A的元素 a∈A a属于A a不是集合A的元素　 a∉A a不属于A 名师点睛 概念 概念上的区别 符号上的区别 关系 元素 研究对象 英文小写字母a,b,c,… a∈A或a∉A 集合 一些对象组成的整体 英文大写字母A,B,C,… 过关自诊 1.集合M是由大于-2,且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是(　　) D 2.[人教A版教材习题]用符号“∈” 或“∉”填空:设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国　　　　　A,美国　　　　　　A,印度　　　　　A, 英国　　　　　A.  ∈ ∉ ∈ ∉ 知识点3 集合中元素的特点 集合中元素的三大特点: (1)　　　　　:集合的元素必须是确定的.  (2)　　　　　:对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.  (3)　　　　　:集合中的元素可以任意排列.  确定性 互异性 无序性 名师点睛 对集合中元素的特点的理解 (1)确定性是集合中元素的基本特征,没有确定性就不能组成集合.例如“课本中的难题”“聪明的孩子”,其中“难题”“聪明”因界定的标准模糊,故都不能组成集合. (2)互异性是判断能否组成集合的另一标准,也是最容易被忽视的性质.例如:组成集合{good中的字母}的元素是g,o,o,d,这句话是不对的,因为在这个单词中,字母“o”虽然出现了两次,但如果归入集合中只能算作一个元素,根据互异性,正确的说法应为集合{good中的字母}的元素有3个,分别为g,o,d. 过关自诊 1.[人教A版教材习题]判断下列元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)与定点A,B等距离的点; (2)高中学生中的游泳能手. 提示 (1)在平面内与定点A,B等距离的点可以组成集合,理由:这些点是确定的,即线段AB垂直平分线上的点. (2)高中学生中的游泳能手不能组成集合,理由:游泳能手这一特征不明确. 2.(1)我们班比较高的同学能否构成一个集合?我们班身高不低于180 cm的同学能否构成一个集合?说明了什么问题? 提示 比较高的同学不能构成一个集合,因为“比较高”的标准不确定;身高不低于180 cm的同学能构成集合,因为“身高不低于180 cm”标准确定,对班内任意一个同学,是否“身高不低于180 cm”是明确的.说明集合中元素具有确定性. (3)我们全班同学构成了一个集合,如果在班内调整一次座位,班级这个集合改变了吗?说明什么? (2)学校超市一天内进了两次货,第一次进的中性笔、矿泉水、面包,第二次进的火腿肠、矿泉水、方便面,把这一天进的货物看作一个集合,集合中有哪几个元素?说明什么? 提示 有5个元素,分别是中性笔、矿泉水、面包、火腿肠、方便面.说明集合中的元素是不重复出现的,重复的元素只能算一个.也就是说,集合中元素具有互异性. 提示 集合没有改变,因为元素是一样的.说明集合中元素具有无序性. 知识点4 集合的分类及相等集合 1.有限集:含有　　　　　　元素的集合.  2.无限集:含有　　　　　　元素的集合.  3.一般地,我们把不含任何元素的集合称为　　　　,记作⌀.空集可以看成包含　　个元素的集合,所以空集是有限集.  4.给定两个集合A和B,如果组成它们的元素完全　　　,就称这两个集合相等,记作A=B.  有限个 无限个 空集 0 相同 过关自诊 方程x2+1=0在实数范围内的解能构成集合吗?若能构成集合,集合中元素个数为多少? 提示 该方程的实数解能构成一个集合,该集合中不含任何元素,为空集,因此集合中元素个数为0. 知识点5 常见数集及其表示 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 　　　  　 　  　　  　　  　　  过关自诊 用符号“∈”或“∉”填空. N N+或N* Z Q R ∈ ∉ ∈ ∉ ∈ 重难探究·能力素养全提升 探究点一　集合概念的理解 【例1】 判断下列各组对象能否构成一个集合: (1)2023年3月召开的本校春季运动会所有的男队员; (2)方程x2-1=0的所有实根; 能,因为男队员是确定的. 能,因为x2-1=0的所有实根为-1,1,满足集合中元素的确定性. (3) 的近似值的全体; 不能,“近似值”无明确标准,故构不成集合. (4)大于0的所有整数. 能,因为大于0的整数是确定的. 规律方法　集合的判定方法 集合中的元素是确定的,即对任何一个对象我们都能判断它是或不是某个集合中的元素,并且两者必居其一,因此它是判断一组对象能否构成集合的一个标准.若这组对象是明确的、具体的,则它们可以构成一个集合;若是模棱两可的,则不能构成一个集合. 变式训练1判断下列各组对象能否构成集合.若能构成集合,指出是有限集还是无限集;若不能构成集合,试说明理由. (1)北京各区县的名称; (2)尾数是5的自然数; 因为北京各区县的名称是确定的,故北京各区县的名称能构成集合;因为北京各区县是有限的,故该集合为有限集. 因为尾数是5的自然数是确定的,故尾数是5的自然数能构成集合;因为尾数是5的自然数是无限的,故该集合为无限集. (3)我们班身高大于1.7 m的同学. 因为我们班身高大于1.7 m的同学是确定的,故我们班身高大于1.7 m的同学能构成集合;因为我们班身高大于1.7 m的同学是有限的,故该集合为有限集. 探究点二　集合中元素的特性及应用 【例2】 已知集合A含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值. 解 由题意可知,a=1或a2=a,且a2≠1, (1)若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1. (2)若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意. 综上可知,实数a的值为0. 变式探究(1)本例若去掉条件“a∈A”,其他条件不变,求实数a满足的条件. (2)若本例条件改为“已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A”,求实数a的值. 解 由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1. 解 若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1.当a=1时,集合A有重复元素,所以a≠1;当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,满足集合中元素的互异性,所以a=-1. 规律方法　集合中元素的特征性质 集合中的元素有互异性,即集合中的任何两个元素都是不同的对象,当相同的对象归入同一个集合时,只能写一次,算作集合中的一个元素. 探究点三　元素与集合的关系 【例3】 (1)[人教A版教材习题改编]用符号“∈”或“∉”填空. -3　　　　　N;0.5　　　　　Z;  π　　　　　R.  ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ (2)已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值. 解 由题意可知,x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3时,x=-1,把x=-1代入2x2+5x,得集合的三个元素分别为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性,所以x≠-1; 规律方法　解决元素与集合的关系问题的通法:根据元素的确定性建立分类讨论的标准,求得参数的值,然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性. 变式训练2(1)用符号“∈”或“∉”填空. (2)[2023陕西高一校考]已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m=　　　　　.  ∈ ∉ ∈ 3 解析 由题意知m=2或m2-3m+2=2, 解得m=2或m=0或m=3, 经验证,当m=0或m=2时,不满足集合中元素的互异性, 当m=3时,满足题意,故m=3. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 11 12 13 14 15 1.[探究点三]下列元素与集合的关系判断正确的是(　　) A.0∈N B.π∈Q C. ∈Q D.-1∉Z A 解析 0是自然数,π, 是无理数,不是有理数,-1是整数,根据元素和集合的关系可知,只有A正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点一]①联合国安全理事会常任理事国; ②接近 的所有实数; ③方程x2+2x+2=0的实数解; ④中国著名的高等院校. 以上对象能构成集合的是(　　) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③④ B 解析 对于①,联合国安全理事会常任理事国,能构成集合,故①正确;对于②,充分接近 的所有实数,不满足集合的确定性,不能构成集合,故②错误;对于③,方程x2+2x+2=0无实数解,方程x2+2x+2=0的实数解构成空集,故③正确;对于④,中国著名的高等院校,不满足集合的确定性,不能构成集合,故④错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.[探究点二]以方程x2-5x+6=0和方程x2-x-2=0的解为元素构成集合M,则M中元素的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析 由集合元素的互异性可知两个相同的对象算作集合中的一个元素.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3;方程x2-x-2=0的解为x=-1或x=2.所以M中有3个元素,分别是-1,2,3.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.[探究点二]若集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 D 解析 由题可知,集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长,则a≠b≠c,所以△ABC一定不是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点二]一个书架上有九个不同种类的书各5本,那么由这个书架上的书的种类组成的集合中含有　　　　　个元素.  9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.[探究点二]设a,b是非零实数,则 可能取的值构成的集合中的元素有　　　　,所有元素的和为　　　　　.  -2,0,2 0 解析 按a与b的正负分类讨论求解,有四种情况: 当a>0,b<0时,原式=0;当a>0,b>0时,原式=2; 当a<0,b>0时,原式=0;当a<0,b<0时,原式=-2. 所以 可能取的值构成的集合中的元素有-2,0,2,所有元素的和为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.[探究点二、三]设x∈R,集合A中含有三个元素3,x,x2-2x. (1)求实数x应满足的条件; (2)若-2∈A,求实数x的值. 解 (1)根据集合中元素的互异性,可知 即x≠0且x≠3且x≠-1. (2)因为x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且-2∈A,所以x=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 级 关键能力提升练 11 12 13 14 15 A.2 B.3 C.4 D.5 A 解析 因为 |x|=x或-x,所以至多有2个不同的实数,所以组成的集合最多含有元素的个数是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a可能为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.2或4或6 AB 解析 由题可知,当a=2∈A时,6-a=4∈A;当a=4∈A时,6-a=2∈A;当a=6∈A时,6-a=0∉A. 综上所述,故a=2或4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.(多选题)设a,b,c为非零实数,代数式 的值所组成的集合是M,则下列判断正确的是(　 　) A.-4∈M B.0∈M C.4∈M D.1∈M ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.用适当的符号填空. 已知集合A中的元素x满足x=3k+2,k∈Z,集合B中的元素x满足x=6m-1, m∈Z,则17　　　　　A;17　　　　　B.  ∈　 ∈ 解析 令3k+2=17,得k=5,5∈Z,所以17∈A; 令6m-1=17,得m=3,3∈Z,所以17∈B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知集合A中含有3个元素a,0,-1,集合B中含有3个元素c+b, ,1,且A=B,则a=　　　　　,b=　　　　　,c=　　　　　.  1　 -2　 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.[2023上海高一专题练习]已知方程ax=b是关于x的方程,当a,b满足什么条件时,该方程的解集是有限集?当a,b满足什么条件时,该方程的解集是无限集? 解 当a≠0时,方程的解为 ,有一个解,有限集; 当a=0且b≠0时,方程无解,解集为空集,有限集; 当a=b=0时,方程有无数个解,则解集为无限集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数. 解 当a=0时,由b∈Q可得a+b的值为1,2,6; 当a=2时,由b∈Q可得a+b的值为3,4,8; 当a=5时,由b∈Q可得a+b的值为6,7,11. 由集合元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 11 12 13 14 15 15.已知集合S满足:若a∈S,则 ∈S.请解答下列问题: (1)若2∈S,则S中必有另外两个元素,求出这两个元素; (2)证明:若a∈S,则1- ∈S; (3)在集合S中,元素能否只有一个?若能,把它求出来;若不能,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)解 集合S中的元素不可能只有一个. 理由如下:令a= ,即a2-a+1=0. 因为Δ=(-1)2-4<0,所以此方程无实数解, 所以a≠ .因此集合S中不可能只有一个元素. A.∈M B.0∉M C.1∈M D.-∈M (1)1　　N+;(2)-3　　N;(3)　　Q;(4)　　Q;(5)-　　R. 　　　　　Z;　　　　　Q;  当2x2+5x=-3时,x=-或x=-1(舍去), 当x=-时,集合的三个元素分别为-,-3,12,满足集合中元素的互异性,故x=-. ①0　　　　　N;②　　　　　N;③　　　　　N.  8.已知x∈R,由x,-x,|x|,,-所组成的集合最多含有元素的个数是(　　) =|x|,-=-x, 解析 因为a,b,c为非零实数,所以当a>0,b>0,c>0时, =1+1+1+1=4; 当a,b,c中有一个小于0时,不妨设a<0,b>0,c>0, 此时=-1+1+1-1=0; 当a,b,c中有一个大于0时,不妨设a<0,b<0,c>0, 此时=-1-1+1+1=0; 当a<0,b<0,c<0时,此时=-1-1-1-1=-4.故ABC正确. 解析 ∵A=B,又≠0, ∴a=1,c+b=0,=-1,∴b=-2,c=2. (1)解 因为2∈S,所以=-1∈S, 所以∈S,所以=2∈S. 所以集合S中另外的两个元素为-1和. (2)证明由题意,可知a≠1且a≠0,由∈S,得∈S,即=1-∈S. 所以若a∈S,则1-∈S. $$