2022-2024年中考数学真题知识点汇编 直线与圆的位置关系、与圆有关的计算 （ 湖南专版）

2022-2024年中考数学真题知识点汇编 《直线与圆的位置关系、与圆有关的计算》 湖南专版 1 （2022•娄底）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 2．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　） A．π B．3π C．2π D．2π 3（2022•衡阳）如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 4（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度． 5（2024•长沙）半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 6（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 　 　． 7【2022•株洲】中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示． 问题：此图中，正方形一条对角线与相交于点,（点在点的右上方），若的长度为10丈，的半径为2丈，则的长度为 　丈． 8【2022•怀化】如图，与相切于点，，的半径为2，则的长为　 　． 9 2023•邵阳）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　50°　． 10（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证： （1）AC＝BD； （2）△ABE∽△DCE． 11【2022•娄底】如图，以为边分别作菱形和菱形（点，，共线），动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点．设． （1）求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值． （2）当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由． 12【2022•衡阳】如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． （1）直线与相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 13（2023•株洲）如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD＝45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G，且满足∠CFE＝45°． （1）求证：直线l⊥直线CE； （2）若AB＝DG． ①求证：△ABC≌△GDE； ②若，求四边形ABCD的周长． 14（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长； （3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE． 15（2023•怀化）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝PA． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝PA•OD； （3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积． 16（2022•常德）如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于． （1）求证：CD是的切线； （2）若，，求、的长． 2022-2024年中考数学真题知识点汇编 《直线与圆的位置关系、与圆有关的计算》 湖南专版解析版 1 （2022•娄底）如图，等边内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据勾股定理，得出AD=，同时在Rt△BOD中，OD=，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案． 【详解】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB， 由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半， 令BC=2a，则BD=a， 在等边三角形ABC中 AD⊥BC，OB平分∠ABC， ∴∠OBD=∠ABC=30°， 由勾股定理，得AD=， 在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=， ∴圆中的黑色部分的面积与的面积之比为． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键． 2．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（　　） A．π B．3π C．2π D．2π 【考点】弧长的计算；等边三角形的性质． 【分析】由等边三角形的性质得到，由弧长公式求出的长＝π，即可求出“莱洛三角形”的周长． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝3，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴， ∵的长π， ∴该“莱洛三角形”的周长是3π． 故选：B． 【点评】本题考查弧长的计算，等边三角形的性质，关键是由弧长公式求出的长． 3（2022•衡阳）如图，用一个半径为6 cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________cm．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中120°所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物的高度为 （cm）． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 4（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：设扇形圆心角的度数为， ， 扇形的半径为6， ． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式： ． 5（2024•长沙）半径为4，圆心角为的扇形的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，根据扇形的面积公式（n为圆心角的度数，r为半径）求解即可． 【详解】解：由题意，半径为4，圆心角为的扇形的面积为， 故答案为：． 6（2023•衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是 　10　． 【考点】正多边形和圆；全等图形． 【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，可得到∠O＝36°，即可求解． 【解答】解：∵多边形是正五边形， ∴正五边形的每一个内角为：180°×（5﹣2）＝108°， ∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°， ∴正五边形的个数是360°÷36°＝10． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查正多边形与圆，多边形内角和问题，熟练掌握相关知识点是解题关键． 7【2022•株洲】中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示． 问题：此图中，正方形一条对角线与相交于点,（点在点的右上方），若的长度为10丈，的半径为2丈，则的长度为 　丈． 【答案】【解析】如图，设正方形的一边与的切点为，连接，则.四边形是正方形，是对角线，.（丈.丈． 8【2022•怀化】如图，与相切于点，，的半径为2，则的长为　 　． 【答案】 9 2023•邵阳）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　50°　． 【考点】切线的性质；圆周角定理． 【分析】利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°． ∵∠ABC＝65°， ∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝25°． ∵OB＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA＝25°， ∴∠BOD＝2∠OAB＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 10（2022•怀化）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝．求证： （1）AC＝BD； （2）△ABE∽△DCE． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等；再通过同弧所对的弦相等证明即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等即可证明相似． 【小问1详解】 ∵＝ ∴＝ ∴ ∴BD=AC 【小问2详解】 ∵∠B=∠C ∠AEB=∠DEC ∴△ABE∽△DCE 【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等，掌握这些是本题关键． 11【2022•娄底】如图，以为边分别作菱形和菱形（点，，共线），动点在以为直径且处于菱形内的圆弧上，连接交于点．设． （1）求证：无论为何值，与相互平分；并请直接写出使成立的值． （2）当时，试给出的值，使得垂直平分，请说明理由． 【答案】（1）见解析， （2）2，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①连接BF、CE，证明四边形BFCE为平行四边形即可，②由题意可知四边形BFCE为菱形，进而可证明为等边三角形，即可求解； （2）连接AF，AO ，由垂直平分线的性质易证，从而可知，再由正方形的以及圆的相关性质可证得，设正方形边长为x，在 中，由正切的定义即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示：连接BF、CE， ∵菱形和菱形（点，，共线）， ∴点G、B、E共线， ， ， ∴四边形BFCE是平行四边形， ∴与相互平分， 即：无论为何值，与相互平分； 又∵， ∴四边形BFCE是菱形， ∴BE=BF， 又∵菱形和菱形， ， 为等边三角形， ； 【小问2详解】 如图所示：连接AF，AO ，设EF与AC交于点H， ∵垂直平分 ， 由（1）知，O为BC的中点， ∴动点在以O为圆心，为直径且处于菱形内的圆弧上， ， ， ， ， 在和 中， ， ， ， ∵，菱形， ∴四边形BCFG为正方形， ， ， 设，则 ， ， 在 中， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，圆中的相关性质，直径所对的圆周角为90度，正切的定义等，熟练掌握以上知识点，并能综合运用是解题的关键． 12【2022•衡阳】如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． （1）直线与相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 解：（1）直线与相切．理由：连接． 与相切于点，． ，，． ，．． ，，． ． 是的半径，直线与相切. （2）设的半径为． 在中，， ，． ．． 由（1）得，． 在中，，． ，. 13（2023•株洲）如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD＝45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G，且满足∠CFE＝45°． （1）求证：直线l⊥直线CE； （2）若AB＝DG． ①求证：△ABC≌△GDE； ②若，求四边形ABCD的周长． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠ACD＝∠ABD＝45°，结合已知∠CFE＝45°，利用三角形内角和定理求出∠CEF＝90°，即可得到直线l⊥直线CE； （2）①根据圆内接四边形对角互补得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根据邻补角的定义得出∠GDE+∠ADC＝180°，从而得到∠ABC＝∠GDE，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，结合（1）中∠CEF＝90°，可以得到∠ACB＝∠GED，最后利用AAS证得△ABC≌△GDE； ②由①已证△ACB≌△GED可以得出BC＝DE，于是有BC+CD＝DE+CD＝CE，再根据圆的半径求出直径AB的长，再证△ABD为等腰直角三角形，从而求出AD的长，即可求出四边形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：在⊙O中，， ∴∠ACD＝∠ABD＝45°， 即∠FCE＝45° ∵∠CFE＝45°， ∴∠CEF＝180°﹣∠CFE﹣∠FCE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 即直线l⊥直线CE； （2）①证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠GDE+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠GDE， ∵AB为σO的直径， ∴∠ACB＝90°， 由（1）知∠CEF＝90°，即∠GED＝90°， ∴∠ACB＝∠GED， 在△ACB和△GED中， ， ∴△ACB≌△GED（AAS）； ②解：已证△ACB≌△GED， ∴BC＝DE， ∴BC+CD＝DE+CD＝CE， ∵R＝1， ∴AB＝2R＝2， ∵AB为σO的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴AD＝BD， 由勾股定理得AD2+BD2＝AB2， 即2AD2＝AB2＝22＝4， ∴， ∴四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2． 【点评】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，三角形全等的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及四边形的周长的计算，涉及的知识点较多，需熟练掌握． 14（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长； （3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，故∠BAC+∠ABC＝90°，由∠BAC＝∠BDA得∠BDA+∠ABC＝90°，有∠BAD＝90°，即可得证； （2）证明△ACB∽△DCA，则 ，可得 ，解得BC＝2 或BC＝3，由AC＞CD即可得到BC的长； （3）先证明△ABC∽△DAC，则 ，得到AC•AD＝CD•AB，由 DE•AM＝AC•AD得到DE•AM＝CD•AB，故 ，由同角的余角相等得∠BAM＝∠CDE，有△AMBB∽△DCE，得∠E＝∠ABM，进一步得到∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，则∠BNG＝90°，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝∠BDA， ∴∠BDA+∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴ED是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°， ∴△ACB∽△DCA， ∴， ∴， 解得BC＝2或BC＝3， 当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3， 当BC＝3时，CD＝BD﹣BC＝2， ∵AC＞CD，即CD， ∴BC＝3； （3）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠DCA＝90°， ∵∠BAC＝∠BDA， ∴△ABC∽△DAC， ∴， ∴AC•AD＝CD•AB， ∵DE•AM＝AC•AD， ∴DE．AM＝CD•AB， ∴， ∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°， ∴∠BAM＝∠CDE， ∴△AMB∽△DCE， ∴∠E＝∠ABM， ∵∠EGA＝∠BGN， ∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°， ∴∠BNG＝90°， ∴BM⊥CE． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 15（2023•怀化）如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，点C为⊙O上的一点．连接PC、AC、OC，且PC＝PA． （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）延长PC与AB的延长线交于点D，求证：PD•OC＝PA•OD； （3）若∠CAB＝30°，OD＝8，求阴影部分的面积． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）先由切线的性质得∠PAO＝90°，然后依据“SSS”判定△POC和△POA全等，从而得∠PCO＝∠PAO＝90°，据此即可得出结论； （2）由∠DCO＝∠DAP＝90°，∠ODC＝∠PDA可判定△ODC和△PDA相似，进而根据相似三角形的性质可得出结论； （3）连接BC，过点C作CE⊥OB于点E，先证△OCB为等边三角形，再设OE＝a，则OA＝OB＝OC＝2a，，在Rt△CDE和在Rt△DOC中，由勾股定理得CD2＝CE2+DE2＝OD2﹣OC2，由此可求出a的值，进而得⊙O的半径为4，然后根据S阴影＝S△DOC﹣S扇形BOC即可得出答案． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线， ∴PA⊥OA， 即：∠PAO＝90°， ∵点C在⊙O上， ∴OC＝OA， 在△POC和△POA中， ， ∴△POC≌△POA（SSS）， ∴∠PCO＝∠PAO＝90°， 即：PC⊥OC， 又OC为⊙O的半径， ∴PC为⊙O的切线． （2）证明：由（1）可知：OC⊥PD， ∴∠DCO＝∠DAP＝90°， 又∠ODC＝∠PDA， ∴△ODC∽△PDA， ∴， 即：PD•OC＝PA•OD． （3）解：连接BC，过点C作CE⊥OB于点E， ∵∠CAB＝30°， ∴∠COB＝60°， 又OC＝OB， ∴△OCB为等边三角形， ∵CE⊥OB， ∴OE＝BE， 设OE＝a，显然a≠0， 则OA＝OB＝OC＝2a， 在Rt△OCE中，OE＝a，OC＝2a， 由勾股定理得：， ∵OD＝8， ∴DE＝OD﹣OE＝8﹣a， 在Rt△CDE中，，DE＝8﹣a， 由勾股定理得：， 在Rt△DOC中，OC＝2a，OD＝8， 由勾股定理得：CD2＝OD2﹣OC2＝82﹣（2a）2， ， 整理得：a2﹣2a＝0， ∵a≠0， ∴a＝2， ∴OC＝2a＝4，， ∴， 又∵， ∴． 【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法，理解切线垂直于过且点的半径；过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线；难点是在解答（3）时，设置适当的未知数，利用勾股定理构造方程求出圆的半径． 16（2022•常德）如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于． （1）求证：CD是的切线； （2）若，，求、的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，由可以推出，从而证明即可； （2）作交BC于点M，根据勾股定理求出BC的长，然后再根据平行得到即可求解． 【小问1详解】 证明：连接OD，如图所示： OD为经过圆心的半径 CD是的切线． 【小问2详解】 如图所示：作交BC于点M ，， 令， 在 ，解得： 【点睛】本题考查了圆的切线证明，勾股定理，相似三角形，全等三角形的判定等知识，综合性较强，熟练掌握几何基础知识并联系各知识体系并正确的作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$