1.1 集合的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 汇报人：快乐星猫喵 情景导入 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分。在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动。正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。 观察以下实例： （1）1~10以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一新生； （3）所有的正方形； （4）到直线的距离等于定长的点； （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 上述例子有什么共同特征？每个例子中的事物都能构成集合吗？构成它们的事物分别是什么？ 情景导入 一、集合的概念 集合的定义： 一般地，我们把研究对象统称为元素（element）； 把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称集） 我们通常用大写拉丁字母表示集合， 用小写拉丁字母表示集合中的元素 一、集合的概念 （1）“我们班中高个子同学”、“年轻人”、“接近0的数”是否可以构成一个集合？ （2）由1，3，0，5，|-3| 这些数组成的集合中有几个元素？ （3）我们班的全体同学可不可以构成集合？调整座位后这个集合有没有变化？ 一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复出现 集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同， 那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合 对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了 确定性 互异性 确定性 一、集合的概念 集合中元素的性质： （1）确定性：一个给定集合中的元素必须是 ； （2）互异性：一个给定集合中的元素是 ； （3）无序性：一个给定集合中的元素是 。 确定的 互不相同的 没有先后顺序的 集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等，记作：“A = B” 注：即使排列顺序不同，但只要两个集合元素相同，也应看作两个集合相等 二、集合与元素之间的关系 考察下面两个实例： （1）用表示高一（2）班全体学生组成的集合； （2）用表示高一（2）班一位同学，表示高一（3）班的一位同学。 思考：与集合分别有什么关系？ 是集合中的元素，就说属于集合，记作“”，读作“属于”, 不是是集合中的元素，就说不属于集合，记作“”，读作“不属于”. 注：属于和不属于符号具有方向性，开口方向指向集合 三、常用的数集及其记法 常用数集 意义 记作 自然数集 全体非负整数组成的集合 正整数集 全体正整数组成的集合 整数集 全体整数组成的集合 有理数集 全体有理数组成的集合 实数集 全体实数组成的集合 以上数集之间的关系如图所示： N* N Z Q R 练一练： 例1：判断下列元素是否可以组成集合？并说明理由。 （1）大于3小于11的偶数； （2）我国的小河流。 是 否 例2：用符号“”或“”填空。 （1）2 ； （2） （3）0 （4） 四、集合的表示 常用的数集有其约定的表示方法，比如自然数集，正整数集等；从上面的例子看到，我们也可以用自然语言表示一个集合，比如所有的正方形等。除此之外，我们还可以用什么方法表示集合呢？ 思考：“地球上的四大洋”组成的集合怎么表示？“1~10之间的所有偶数”组成的集合呢？ { 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋 } { 2，4，6，8，10 } 像这样把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法就做列举法。 列举法 大括号不能缺失； 元素中间用逗号隔开 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为 A，那么 A={ 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 } 问题（3）应该怎么表示呢？ （2）设方程的所有实数根组成的集合为 B，那么 B={ 0，1 } 例2：用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合； （3）不等式的所有解组成的集合（解集）。 四、集合的表示 集合的相等与元素的列举顺序无关，所以一个集合有多种列举方法 四、集合的表示 观察：这个集合中的元素具有什么性质？ （1）集合中的元素都小于10； （2）集合中的元素都是实数。 那么，我们可以通过描述其元素性质的方法来表示，写作： 一般地，设是一个集合，我们把集合中所具有的共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法. 四、集合的表示 注意：用描述法表示集合需要注意什么问题？ （1）竖线前面表示的是集合的元素，，，分别是三个不同的集合； （2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或不等式； （3）不能出现未说明的字母，如未说明的取值情况，故集合中的元素不确定； （4）所有描述内容都要写在花括号里面，如写法不符合要求，应该改为； （5）多层描述时，要准确适用“或”“且”等表示元素关系的词语，如. 四、集合的表示 自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达。 列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集。 描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法。 方程的解集 你能说出列举法和描述法的优缺点及实用范围吗？ 牛刀小试 【①元素与集合关系的判断】 下列选项中是集合中的元素的是（ ） A. B. C. D. 对于A，当时，，则；，则，不满足题意； 对于B，当时，，则；，则，不满足题意； 对于C，当时，，则；，则，不满足题意； 对于A，当时，，则；，则，满足题意； 牛刀小试 【②已知元素与集合的关系求参数】 若集合中含有三个元素，且，求的值. 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时，不满足题意； 若，则，时，，满足题意； 时，由上述讨论，不满足题意. 牛刀小试 【③由集合相等求参数】 含有3个实数的集合既可以表示为，又可以表示为，则的值是多少？ 由题意，易知且， 则有且或， 若，则由得，经验证符合题意； 若，则，由得，不符合题意； 综上，. $$