第二十二章二次函数知识点详解及天津市常考题型汇总 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

二次函数 ※【考点一】二次函数概念 一、二次函数概念 1.定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数， 叫做二次函数． 2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ① y = ax2 ；② y = ax 2 + k ；③ y = a(x -h)2 ；④ y = a(x -h)2 + k ；⑤ y = ax2 + bx + c . 1、下列函数中，二次函数是（ ） (A)y=8x2+1 (B)y=8x+1  (C)y=8/X （D） )y=8/X2+1   2、若y＝（㎡＋m）x（㎡-m）是二次函数，求m的值 ※【考点二】二次函数性质 1.二次函数 y=ax2+bx+c（a ≠ 0）的性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大． 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小． 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 2.二次函数 y=a(x-h)2+k（a ≠ 0）的性质 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 最值 当x=h时，y取最小值k 当x=h时，y取最大值k 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小。 3.总结 4.a、b、c及b2-4ac与图像之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 5、求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1） (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y= a(x -h)2 + k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是x = h. (3)半代入法： ( h , ah 2 + bh + c ) （4）运用抛物线的对称性： 当抛物线上两点纵坐标相同时，横坐标加和的一半即为对称轴。 1．（河北区2023期中）已知二次函数的图象开口向下，则m的值是 ． 2．（河北区2023期中）抛物线的对称轴是直线 ． 3.抛物线y＝x2-6x＋5的顶点坐标为 . 4.抛物线y＝-（x＋2）2-3的顶点坐标是 . 5．二次函数y＝x2-2x＋6的最小值是 6．（河西区2022期中）下列二次函数的图象中，开口最小的是（　　） A． B． C． D． 7．（南开区2022期中）已知一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（0，﹣1 ），那么这个二次函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 8．（和平区2022期中）关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧 C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3 9．（南开区2023期中）已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－3 10.已知二次函数y＝x2＋2mx＋2，当 x＞2时， y 的值随 x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是 __________. 11.二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是 3，则 a 的值是__________. 12．若抛物线y＝x2-kx＋k-1的顶点在坐标轴上，则k＝ 13．当ab＜0时，y＝ax与y＝ax＋b的图象大致是（    ） A． B． C． D． 14．（南开区2023期中）二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … … 0 m n …    (1)该二次函数解析式为______，______，______； (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)根据图象直接回答下列问题：①当______时，y有最______值（填“大”或“小”），该最值是______；②若该二次函数图象上有两点和，比较和的大小，其结果是：______；③当时，x的值为______；④当时，则y的取值范围是______. ※【考点三】用待定系数法求二次函数的解析式 1.一般式： y = ax2 + bx + c .已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式. 2.顶点式： y = a(x -h)2 + k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3.交点式： 已知图像与x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ，通常选用交点式： y = a(x - x1 )(x - x2 ) . 1．已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c满足以下条件，求函数解析式： （1）图象过A（0,1），B（1,2），C（2，-1）三点； （2）图象顶点是（-2,3），且过（-1,5）点； （3）图象与x轴交于（-2,0），（4,0）两点，且过点为（1，-9/2） 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y＝-x2-3的图象形状相同，开口方向也相同，图象又经过（-1,0）、（0,6），求这个二次函数的解析式。 3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（-3,0），对称轴x＝-1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式。 4．已知二次函数为x＝4时有最小值-3且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． ※【考点四】二次函数与一元二次方程及不等式的关系： 一元二次方程 ax2 + bx + c=0 就是二次函数 y = ax2 + bx + c 当函数 y 的值为 0 时的情况.即抛物线与x轴交点。△＜0无交点，△=0有一个交点，△＞0有两个交点。 1．（河西区2021期中）抛物线与y轴的交点坐标为 ． 2．（河西区2023期中）抛物线与x轴的两个交点的坐标为（    ） A．和 B．和 C．或 D．和 3．（红桥区2023期中）已知抛物线（m为常数）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点，则的面积S的大小为（    ） A．3 B．6 C．15 D．30 4．（南开区2022期中）已知抛物线y＝ 上有三点A(﹣2， )，B(﹣1，)，C(2，)，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 5、若A（-13／4，y1），B（-1，y2），C（5/3，y3）为二次函数y＝-x2-4x＋5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（） A.yi<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 6、求证：抛物线y＝x2-mx＋m-2与x轴必有两个交点 7、当m为何值时二次函数y＝（m-1）x2＋（m-2）x-1与x轴（1）有两个交点；（2）有一个交点；（3）没有交点． 8．（和平区2022期中）已知二次函数的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为 ． 9．（河东区2023期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是 ．    10．（河北区2023期中）如图，二次函数的图象与轴交于(−2，0)和(4，0)两点，当函数值y>0时，自变量x的取值范围是    ※【考点六】二次函数图像平移 口诀：上加下减常数项、左加右减自变量 左加右减时要把式子改写成顶点式 y = a(x -h)2 + k后单独在x的括号内加减。 1．（南开区2022期中）将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（南开区2023期中）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（河西区2021期中）二次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限 C．第三象限、第四象限 D．第一象限、第三象限、第四象限 ※【考点七】二次函数的对称性 1．（和平区2020期中）抛物线与x轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是直线＝ ． 2．已知点（2，-1）和（5，-1）在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，求它的对称轴。 3．（河北区2022期中）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点．若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为 ． 4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（-1,4），B（5,4），C（3，-6），则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是 5．（河西区2021期中）二次函数（a，b，c是常数）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … m 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 … 则它的顶点坐标为 ． ※【考点八】二次函数图像综合 1．（河西区2023期中）二次函数图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，根据图像回答问题 （1）写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根 （2）写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集 （3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 （4）若方程 ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k的取值范围 3．已知函数y＝3-（x-m）（x-n）（m＞n），并且a，b是方程3-(x-m)(x-n)=0的两个根（a＞b），则实数m，n，a，b的大小关系是 4．若一元二次方程（x-1）（x-2）＝m（m＞0）的两实根分别为a，β则（） A.1<a<β<2 B.1<α<2<β c.α<1<β<2 D．α＜1且β＞2 5．（南开区2023期末）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（河西区2021期中）已知二次函数()的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（河西区2022期中）已知抛物线（，，是常数，，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论： ① ；② 关于的方程有两个不等的实数根；③ ． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 8．（南开区2023期中）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②方程必有一个根大于2且小于3；③；④对于任意实数m，都有，其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（南开区2022期中）二次函数y=ax2十bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③c-4a=1；④；⑤（m为任意实数）．其中正确的有（　　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（和平区2023期中）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，，有下列结论： ①图象的对称轴为直线； ②若一元二次方程的两个根是，，则，； ③若，则； ④无论x取何值，代数式的值都大于0． 其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（和平区2022期中）二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表： … 0 1 2 … … … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（河北区2022期中）二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … n 且当时，与其对应的函数值．有下列结论： ①；②和3是关于x的方程的两个根；③． 其中，错误结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 二次函数应用题 【题型一、篱笆问题】 1．（河西区2023期中）九年级一班的同学计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来10米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（    ）    A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．三种方案使得菜园面积一样大 2．（河西区2023期中）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为 ．    (1)的长度是否能有两个不同的值都满足菜园面积为？说明理由． (2)当的长为多少时，围成的菜园面积最大？ 3．（南开区2023期末）如图1，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设花圃的宽为（宽不大于长），面积为． (1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)请求出花圃能围成的最大面积，并写出此时x的值； (3)如图2，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽均为的两扇小门，能否使围成的花圃面积为？如果能，请直接写出花圃宽和长的值；如果不能，请说明理由． 【题型二、点运动问题】 1．（和平区2023期中）如图，等边三角形的边长为，点从点出发在，边上运动，当点运动到点后停止运动．过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，的面积是线段长度的函数，则与的函数图象正确的是(    ) A．B． C． D． 【题型三、拱桥问题】 1、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.①求这条抛物线所对应的函数关系式.②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？   2、抛物线形拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米，水面下降1米，水面宽度增加多少？ 【题型四、利润问题】 1．（河东区2023期中）出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出个，则当x= 元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大． 2．（和平区2022期中）某书店销售复习资料，已知每本复习资料进价为40元，市场调查发现：若以每本50元销售，平均每天可销售90本，在此基础上，若售价每提高1元，则平均每天少销售3本．设涨价后每本的售价为元，书店平均每天销售这种复习资料的利润为元． （1）涨价后每本复习资料的利润为______元，平均每天可销售______本； （2）求与的函数关系式； （3）当复习资料每本售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润为多少？ 3．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表： 时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90 售价（元/件） x＋40 90 每天销量（件） 200－2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元， （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 【题型五、投球问题】 1．（红桥区2023期中）如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s． 2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论： ①当时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为时，运动时间为或； ③小球运动中的最大高度为； ④小球从抛出到落地需要； 其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型六、喷水问题】 1．（和平2021期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（     ） A． B． C． D． 【其他】 20．（和平区2023期中）一个滑雪者从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系式，在滑道上设置了几个固定的计时点，测得一些数据（如表格）． 位置编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 滑行时间t/s 0 1 2 3 4 滑行距离s/m 0 13 14 48 为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似的位于某条抛物线上．于是，我们用二次函数来近似的表示s与t的关系．    (1)在位置①处，当时，，所以______； (2)有一个计时点的计时装置出现了故障，请同学们用平滑曲线连接这些绝大部分的点，通过观察发现故障点的位置编号可能是______； (3)利用函数图象推测当此滑雪者滑行距离为30m时，用时约为______s（结果保留一位小数）； (4)求s与t的函数关系式，并求出滑雪者在故障位置的滑行距离． ※【考点二】二次函数综合压轴 23．（河东区2023期中）二次函数的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0），经过点B，且与二次函数交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值． 24．（河北区2023期中）如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点 ． （1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标； （2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由； （3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标 ． 25．（河西区2023期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点与点是关于点对称点．过点的直线 其中与轴相交于点，过点作直线平行于轴，是直线上一点，且． (1)填空：点的坐标为 ；点的坐标为 用含的式子表示； (2)求线段的长用含的式子表示)； (3)点是否一定在抛物线上？说明理由． 试卷第4页，共5页 试卷第17页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 25．（河西区2022期中）已知抛物线过点，且与轴交于点． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)若有点A在直线上，过点A作轴于点B，以为斜边，在左侧作等腰直角三角形． ① 当点Q与点A重合时，求点C到抛物线对称轴的距离； ② 若点C恰好落在抛物线上，求此时点C的坐标 ． 试卷第6页，共6页 试卷第18页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 25．（南开区2023期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数（a为常数，）的图象与x轴交于点A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为线段上的一动点（点D不与B，C点重合）．      (1)直接写出A，B两点坐标； (2)如图1，当时，求周长的最小值； (3)过动点D作，与二次函数在第一象限的图象交于点P，连接，记与的面积和为S，①如图2，若点C的坐标为，当S取最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值；②若S的最大值为，直接写出a的值． 25．（和平区2022期中）如图，已知顶点为的抛物线与x轴交于A，B两点，且．    (1)求点B的坐标； (2)求二次函数的解析式； (3)作直线，问抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 试卷第6页，共6页 20 / 22 学科网（北京）股份有限公司 试卷第6页，共7页 试卷第21页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$