1.1.3 集合的基本运算（第2课时 补集与集合的综合运算）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1.3　集合的基本运算 第2课时　补集与集合的综合运算 人教B版 数学 必修第一册 课程标准 1.在具体情境中,了解补集和全集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 3.理解补集思想在解题中的应用. 4.掌握集合交集、并集、补集的综合运算. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 全集 在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是____________　　　　　　　　　　的子集,那么称这个　　　　　　　　为全集,通常用　　　　表示.  全集一般是事先给定的 某一给定集合 给定的集合 U 过关自诊 全集一定包含任何元素吗? 提示 不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研究对象对应的集合一定为该全集的子集是根据所研究的对象事先指定的. 知识点2 补集 自然语言 如果集合A是全集U的一个　　　　,则由　　　　　　　的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集,记作　　　　,读作　　　　　　　　  符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 补集的 性质 A∪(∁UA)=　　　　,A∩(∁UA)=　 　　　;∁U(∁UA)=　　　  子集 U中不属于A ∁UA “A在U中的补集” U ⌀ A 名师点睛 1.补集是相对于全集而存在的,当全集变化时,补集也随之改变,所以在讨论一个集合的补集时,必须说明是在哪个集合中的补集. 2.∁UA表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁UA⊆U.如果全集换成其他集合(如R),那么记号中“U”也必须换成相应的集合(如∁RA). 3.求∁UA的前提条件为集合A是全集U的子集. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)∁UU=⌀,∁U⌀=U.(　　) (2)若A⊆B⊆U,则∁UA⊇∁UB.(　　) (3)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一.(　　) √ √ √ 2.如图所示的阴影部分表示的集合是(　　) A.A∩(∁UB) B.B∩(∁UA) C.∁U(A∩B) D.∁U(A∪B) B 3.[北师大版教材例题改编]设全集U={x|x是小于10的正整数}, A={2,4,6,8},B={2,3,5,7},则∁UA=　　　　　,∁UB=　　　　　. {1,3,5,7,9} {1,4,6,8,9} 4.(1)已知U={a,b,c,d,e,f},A={b,f},如果从全集U中去掉集合A中的元素,剩下的元素构成的集合是什么? (2)上述问题中所求得的集合应该怎样命名? 提示 剩余元素构成的集合为{a,c,d,e}. 提示 集合{a,c,d,e}可称为子集A在全集U中的补集.符号表示为∁UA={a,c,d,e}. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　集合的补集运算 【例1】 已知全集U=R,集合A={x|-3<x<3},集合B={x|x<1}. 求:(1)∁UA,∁UB; (2)∁U(A∩B). 分析(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补集的定义写出. 解 (1)∵A={x|-3<x<3},B={x|x<1}. 在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示. ∴∁UA={x|x≤-3或x≥3},∁UB={x|x≥1}. (2)∵A∩B={x|-3<x<1},如图阴影部分所示. ∴∁U(A∩B)={x|x≥1或x≤-3}. 规律方法　求集合补集的解题策略 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错. (2)如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取得. 变式训练1求解下列各题: (1)设全集U=R,集合A={x|0≤x<3},则∁UA=　　　　　　　　　　　;  (2)已知集合A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},则A∩B=　　　,∁RA=　　 　　　.  {x|x<0或x≥3} [-5,-2) (-∞,-5)∪(3,+∞)　 解析 由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得∁UA={x|x<0或x≥3}. 解析 因为集合A={x|-5≤x≤3},B={x|x<-2或x>4},可得A∩B=[-5,-2),可得∁RA=(-∞,-5)∪(3,+∞). 探究点二　交集、并集、补集的综合运算 【例2】 [人教A版教材习题]已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B),∁R(A∩B),(∁RA)∩B,A∪(∁RB). 解 A∪B={x|2<x<10},A∩B={x|3≤x<7}, ∁RA={x|x<3或x≥7},∁RB={x|x≤2或x≥10}, 所以∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}, ∁R(A∩B)={x|x<3或x≥7}, (∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}, A∪(∁RB)={x|x≤2或3≤x<7或x≥10}. 规律方法　集合运算的解题技巧 (1)对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点的“取”与“舍”. (2)对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于维恩图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错. 变式训练2已知集合U={x|1≤x≤7},A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤7}.求: (1)A∩B;(2)(∁UA)∪B;(3)A∩(∁UB). 解 (1)由A={x|2≤x≤5},B={x|3≤x≤7},可得A∩B={x|3≤x≤5}. (2)由U={x|1≤x≤7},A={x|2≤x≤5},故∁UA={x|1≤x<2或5<x≤7},所以(∁UA)∪B={x|1≤x<2或3≤x≤7}. (3)由U={x|1≤x≤7},B={x|3≤x≤7},故∁UB={x|1≤x<3},所以A∩(∁UB)={x|2≤x<3}. 探究点三　补集运算中的含参数问题 【例3】 (1)设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|a+1|,2},∁UA={5},则a等于　　　　　;  -4或2 解析 由∁UA={5},知a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2. 当a=-4时,U={2,3,5},A={3,2},满足∁UA={5}; 当a=2时,U={2,3,5},A={3,2},满足∁UA={5}.所以a的值为-4或2. (2)已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是　　　　　　.  [2,+∞) 解析 ∁RB={x|x≤1或x≥2},由于A∪∁RB=R,如图所示,所以a≥2. 变式探究(变条件)在例3(2)中将“A∪(∁RB)=R”改为“A⫋∁RB”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解 ∁RB={x|x≤1或x≥2},∴A⫋∁RB, ∴a≤1. 规律方法　1.由集合补集求有关参数问题的思路流程 2.含参数问题一般要用到分类讨论思想、等价转化思想及数形结合思想来解决. 变式训练3已知集合A={x|x<-6或x>3},B={x|k-1≤x-1≤k},若A∩B≠⌀,求k的取值范围. 解 由已知可得B={x|k≤x≤k+1}, 令P={k|-6≤k≤2},则∁RP={k|k<-6或k>2}. 所以当A∩B≠⌀时,k的取值范围是(-∞,-6)∪(2,+∞). 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 11 12 13 14 15 16 17 18 1.[探究点一·2022全国乙,理1]设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则(　　) A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M A 解析 ∵U={1,2,3,4,5},∁UM={1,3},∴M={2,4,5}, ∴2∈M,3∉M,4∈M,5∈M.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.[探究点二·2022全国甲,理3]设全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2}, B={x|x2-4x+3=0},则∁U(A∪B)=(　　) A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0} D 解析 由题意知B={1,3},则A∪B={-1,1,2,3}, 所以∁U(A∪B)={-2,0},故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.[探究点二]设全集U={x∈Z||x|≤2},A={x|x+1≤0,x∈U},B={-2,0,2},则(∁UA)∪B=(　　) A.{1} B.{0,2} C.{-2,0,1,2} D.(-1,2]∪{-2} C 解析 因为U={x∈Z||x|≤2}={-2,-1,0,1,2},A={x|x+1≤0,x∈U}={-2,-1},所以∁UA={0,1,2},所以(∁UA)∪B={-2,0,1,2}.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.[探究点三](多选题)[2023黑龙江克东期中]已知全集U=R,集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1≤x≤2m-1},则使A⊆∁UB成立的实数m的取值范围可以是(　 　) A.{m|6<m≤10} B.{m|-2<m<2} ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 ①当B≠⌀时,则m+1≤2m-1,即m≥2,因为集合A={x|-2≤x≤7}, B={x|m+1≤x≤2m-1},则∁UB={x|x<m+1或x>2m-1},又因为A⊆∁UB,则m+1>7或2m-1<-2,解得m>6或m< ,又因为m≥2,所以m>6. ②当B=⌀时,则m+1>2m-1,即m<2, 此时∁UB=R,符合题意. 综上所述,实数m的取值范围为(6,+∞)∪(-∞,2). 故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点一]设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={x|x2+x-2=0},则∁UA=　　　 　　.  {-3,-1,0,2,3} 解析 ∵A={x|x2+x-2=0}={-2,1}, ∴∁UA={-3,-1,0,2,3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.[探究点一]已知全集U={2,4,a2-a+1},A={a+1,2},∁UA={7},则a=　　　　　.  3 解析 因为∁UA={7},U={2,4,a2-a+1}, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.[探究点二]若全集U=R,集合A={x|-3≤x≤1},A∪B={x|-3≤x≤2},则B∩∁UA=　　　　　.  {x|1<x≤2} 解析 因为A={x|-3≤x≤1},A∪B={x|-3≤x≤2},所以∁UA={x|x<-3或x>1},{x|1<x≤2}⊆B⊆{x|-3≤x≤2},所以B∩∁UA={x|1<x≤2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点二]已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求∁UA,∁UB,(∁UA)∩(∁UB). 解 将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示, 则∁UA={x|-1≤x≤3}; ∁UB={x|-5≤x<-1或1≤x≤3}; (∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.[探究点二]已知集合A={x|4x2-11ax+8b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足∁UA∩B={2},A∩∁UB={4},U=R,求实数a,b的值. 解 由条件∁UA∩B={2}知,2∈B,且2∉A. 由A∩∁UB={4}知,4∈A,且4∉B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 10.(多选题)设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则(　　) A.A∩B={0,1} B.∁UB={4} C.A∪B={0,1,3,4} D.集合A的真子集个数为8 AC 解析 选项A,由题意,A∩B={0,1},正确;选项B,∁UB={2,4},不正确;选项C,A∪B={0,1,3,4},正确;选项D,集合A的真子集个数为23-1=7,不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11. (多选题)已知集合M,N的关系如图所示,则下列结论中正确的是(　　) A.M∩(∁RN)=⌀ B.M∪(∁RN)=R C.(∁RM)∪(∁RN)=∁RM D.(∁RM)∩(∁RN)=∁RM BD 解析 由题意得N⫋M,对于A,C,D,设M={x|x<0},N={x|x<-1},则∁RM={x|x≥0},∁RN={x|x≥-1},则M∩(∁RN)={x|-1≤x<0},故A错误; (∁RM)∪(∁RN)={x|x≥-1}=∁RN,故C错误,(∁RM)∩(∁RN)={x|x≥0}=∁RM,故D正确; 对于B,由维恩图和N⊆M知,M∪∁RN=R,故B正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.(多选题)设全集U={1,3,5,7,9},A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值可能是 (　　) A.2 B.8 C.-2 D.-8 AB 解析 ∵∁UA={5,7},∴A={1,3,9}, ∴|a-5|=3,解得a=2或8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.已知全集U=Z,A={x|x=4k-1,k∈Z},B={x|x=4k+1,k∈Z},则A与∁UB的关系为　　　　　　　　　　.  A⫋∁UB 解析 对于集合A,元素x=4k-1,k∈Z, 即x为被4除余3的整数. 整数集Z中还有被4除余数是0(整除),1,2的三类整数,分别记为x=4k(k∈Z),x=4k+1(k∈Z),x=4k+2(k∈Z). 因此,∁UB={x|x=4k-1或x=4k或x=4k+2,k∈Z}. 由子集的定义知,A是∁UB的真子集,即A⫋∁UB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.[2023湖南邵东校级月考]已知A={x|x2+px-6=0},B={x|x2+qx+2=0},且A∩(∁RB)={2},则p+q的值等于　　　　　.  解析 ∵A∩(∁RB)={2},∴2∈A, ∴4+2p-6=0,解得p=1, 由x2+x-6=0得x=2或-3,则-3∉∁RB, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.已知集合U={1,2,3,4,5},若A∪B=U,A∩B≠⌀,且A∩∁UB={1,2},试写出满足上述条件的集合A,B. 解 由A∩∁UB={1,2},知1∈A,2∈A,且1∉B,2∉B. ∵A∩B≠⌀,A∪B=U,∴A,B的可能情形有 A={1,2,3},B={3,4,5};A={1,2,4},B={3,4,5};A={1,2,5},B={3,4,5}; A={1,2,3,4},B={3,4,5};A={1,2,3,5},B={3,4,5};A={1,2,4,5},B={3,4,5}; A={1,2,3,4,5},B={3,4,5}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.设全集U=R,集合A={x|-1<x≤2},B={x|2m<x<1}. (1)若m=-1,求B∩∁UA; (2)若B∩∁UA中只有一个整数,求实数m的取值范围. 解 (1)A={x|-1<x≤2},当m=-1时,B={x|-2<x<1},∁UA={x|x≤-1或x>2}, B∩∁UA={x|-2<x≤-1}. (2)因为B∩∁UA中只有一个整数,所以这个整数必定是-1,故2m∈[-2,-1),所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.设U=R,集合A={x|x2-x-2=0},B={x|x2+mx+m-1=0}. (1)当m=1时,求(∁RB)∩A; (2)若(∁UA)∩B=⌀,求实数m的值. 解 解方程x2-x-2=0,即(x+1)(x-2)=0, 解得x=-1或x=2.故A={-1,2}. (1)当m=1时,方程x2+mx+m-1=0为x2+x=0, 解得x=-1或x=0. 故B={-1,0},∁RB={x|x≠-1,且x≠0}. 所以(∁RB)∩A={2}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)由(∁UA)∩B=⌀可知,B⊆A. 方程x2+mx+m-1=0的判别式Δ=m2-4×1×(m-1)=(m-2)2≥0. ①当Δ=0,即m=2时,方程x2+mx+m-1=0为x2+2x+1=0,解得x=-1,故B={-1}. 此时满足B⊆A. ②当Δ>0,即m≠2时,方程x2+mx+m-1=0有两个不同的解,故集合B中有两个元素. 又因为B⊆A,且A={-1,2},所以A=B. 故-1,2为方程x2+mx+m-1=0的两个解, 综上,m的取值为2或-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 18.设全集U=R,集合A={x|-5<x<4},集合B={x|x<-6或x>1},集合 D={x|x-m<0},求实数m的取值范围,使其同时满足下列两个条件: ①D⊇(A∩B);②D⊇[(∁UA)∩(∁UB)]. 解 ∵A={x|-5<x<4},B={x|x<-6或x>1}, ∴A∩B={x|1<x<4}. 又∁UA={x|x≤-5或x≥4},∁UB={x|-6≤x≤1}, ∴(∁UA)∩(∁UB)={x|-6≤x≤-5},而D={x|x<m}. ∵当(A∩B)⊆D时,m≥4, 当(∁UA)∩(∁UB)⊆D时,m>-5,∴m≥4. 即实数m的取值范围为[4,+∞). 若A∩B=⌀,则解得-6≤k≤2. C. D.{m|5<m≤8} - 所以解得a=3. 将2,4分别代入集合B,A中的方程,得 即解得 经检验知a,b符合题意,所以a=,b=-. ∴-3∈B,则9-3q+2=0,解得q=,∴p+q=. m∈. 由根与系数之间的关系可得解得m=-1. $$