4.2.3 等差数列的前n项和（第3课时 等差数列前n项和的性质及应用（2））课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.2.3 等差数列的前n项和 第3课时 等差数列前n项和的性质及应用（2） 【课标要求】 1.掌握等差数列前 项和各项绝对值的和的求法. 2.理解两个等差数列前 项和比值的求法. 3.掌握等差数列前 项和的最值的求法. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.两个等差数列前 项和的比值 设等差数列 和 的前 项和分别是 和 ，则： （1） ; （2）若 ，则 . 4 知识点2.求等差数列前 项和的最值 （1）公差 为递增等差数列， 有最小值； （2）公差 为递减等差数列， 有最大值； （3）公差 为常数列. 特别地,若 则 有最大值（所有正项或非负项之和）；若 则 有最小值（所有负项或非正项之和）. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】含绝对值的等差数列的前 项和 例1 在等差数列 中， ， . （1）求数列 的通项公式； 解 设等差数列 的公差为 ,由题意，得 解得 所以 ． 7 （2）设 ，求数列 的前 项和 . . 当 时， , ;当 时， , .当 时， ；当 时， . 综上， 题后反思 求数列 的前 项和，应先判断 各项的正负，找出正、负项的“分界点”，然 后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题. 8 跟踪训练1 已知数列 的前 项和是 . （1）求数列的通项公式 ； 解 当 时， ;当 时， ， 满足上式，所以 9 （2）求数列 的前 项和. 因为数列 的首项为正，是一个递减数列，先正后负，令 ，得 ，故数列的前34项为正，后面的项为负.设数列 的前 项和为 ， 则当 时， ;当 时， .所以数列 的前 项和 10 【题型二】两个等差数列前 项和的比值 例2（1） 若等差数列 和 的前 项和分别是 和 ，且 ，则 ( ) C A. B. C. D. [解析] 因为 和 都是等差数列，所以 .故选C． 11 （2）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 , ，且 ，那 么 的值为( ) C A. B. C. D. [解析] 由等差数列的前 项和公式满足 形式，设 ，则 ，故 ．故选C． 12 题后反思 （1）若等差数列 和 的前 项和分别是 , ，则 ； （2）若等差数列 和 的前 项和分别是 , ，且 ,则 . 跟踪训练2 设等差数列 ， 的前 项和分别是 ， ，若 ，则 ( ) B A. B. C. D.3 13 【题型三】求等差数列前 项和的最值 例3 在等差数列 中，已知 , ，则数列 的前 项和 的最 大值为____. 49 [解析] 设等差数列 的公差为 ．由 ，得 ， 解得 ，所以 ．由 得 解得 ． 因为 ，所以当 时，数列 的前 项和 最大，最大值为 ． 14 规律方法 求等差数列前 项和的最值的方法 （1）通项法：关键是找到正、负项的分界点.①若 ， ，则 必有最大值， 其 的值可用不等式 组 来确定；②若 ， ，则 必有最小值，其 的值可用不等式 组 来确定. （2）二次函数法：在等差数列 中，由于 ， 可用求函数最值的方法来求前 项和的最值，这里应由 及二次函数图象的对称 性来确定 的值. 15 （3）不等式组法：借助 最大时，有 ，解此不等式组确 定 的范围，进而确定 的值和对应 的值（即 的最值）. 16 跟踪训练3（1） 已知等差数列 的前 项和为 ，当且仅当 时 取得最大 值，若 ，则公差 的取值范围为( ) A A. B. C. D. [解析] 由已知可得 即 解得 .故选A． 17 （2）已知数列 的前 项和公式为 ①求数列 的通项公式； 解 当 时， ；当 时， ， 满足上式，故 ． ②若 ，求数列 的前 项和 的最小值. ，令 ，解得 ，且 ，所以数列 为等差数列，所以 的最小值为 ． 18 成果验收•课堂达标检测 19 A层 基础达标练 1.数列 的前 项和为 ， ，则当 取最小值时， 的值为( ) C A.4或5 B.5或6 C.4 D.5 2.已知等差数列 中， ，且公差 ，则其前 项和取得最大值时, 的值为( ) B A.8 B.9 C.10 D.11 20 3.若两个等差数列 , 的前 项和分别为 ， ，且满足 ，则 的值为( ) A A. B. C. D. 4.记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 ( ) C A. B. C. D. 5.已知等差数列 的通项公式为 ，则 等于____. 25 21 6.已知在等差数列 中， , . （1）求数列 的通项公式. 解 设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，所 以 的通项公式为 . （2）若数列 的前 项和为 ，则当 为何值时， 取得最大值？并求出此最大值. 因为 ，令 ，得 ，令 ，得 ， 故当 时， 取得最大值，其中 , ，故最大值为 . 22 B层 能力提升练 7.设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 等于( ) A A.1 B. C.2 D. 8.（多选题）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则( ) AC A.数列 单调递减 B.数列 单调递增 C. 有最大值 D. 有最小值 [解析] 因为 ，根据题意， ，是关于 的减 函数，故数列 单调递减，故A正确，B错误； ，又 ，故 有最大值，没有最小值， 故C正确，D错误.故选 . 23 9.已知等差数列 的前 项和为 ， ，公差 ， .若 取得最 大值，则 的值为( ) B A.6或7 B.7或8 C.8或9 D.9或10 10.已知等差数列 的前12项的和为60，则 的最小值为____. 60 24 11.已知数列 中， , ，数列 满足 （1）证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； 解 因为 , .又 ，所以数列 是以 为首项，1为公差的等差数列， 所以 . 25 （2）求 的值； 记 的前 项和为 ，则 .由 ，得 ，即当 时， ；当 时， . ①当 时， . ②当 时， . 26 （3）求数列 中的最大项和最小项，并说明理由. 由 ，得 .又函数 在 , 和 , 上均单调递减， 由函数 的图象，可得 ， . 27 C层 拓展探究练 12.设等差数列 满足： ，公差 . 若当且仅当 时，数列 的前 项和 取得最大值，则首项 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. [解析] 原式 28 , . 因为 ,所以 , 所以 , . 由 , 对称轴方程为 ，由题意知，当且仅当 时, 数列 的前 项和 取得最大值,所以 ,解得 ,所以首项 的取值范围 是 , .故选B. 13.数列 为等差数列，且满足 ，数列 满足 , 的前 项和记为 .问：当 为何值时， 取得最 大值？说明理由. 解 当 时， 取得最大值，理由如下：设 的公差为 ,因为 ， 所以 ,解得 ，所以 ， ，故 是首 项为正数的递减数列. 由 得 30 解得 ， 即 ， ， 所以 ， 所以 ， 而 ， ，故 ， ， ， . 又 ， 所以 中 最大，即当 时， 取得最大值. $$