4.3.3 等比数列的前n项和（第1课时 等比数列的前n项和）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.3.3 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 【课标要求】 1.掌握等比数列的前 项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.等比数列的前 项和公式 已知量 首项 与公比 首项 ，末项 与公比 公式 4 知识点2.解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法 （1）方程的思想：等比数列中有五个量 ， ， ， ， ，一般可以“知三 求二”，通过列方程（组）求关键量 和 ，问题可迎刃而解. （2）分类讨论的思想：等比数列的前 项和公式涉及对公比 的分类讨论，当 时， 的前 项和 ；当 时， 的前 项和 . 对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进 行消元，有时会用到整体代换，如 ， 都可以看作一个整体. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】等比数列前 项和公式 例1 求下列等比数列的前8项的和： （1） , , ,…; 解 由题意,得公比 , 所以 . 7 （2） , , . 由 , , 可得 . 又 ,可得 , 所以 . 题后反思 求等比数列的前 项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比 是否成立. 8 跟踪训练1 在14与 之间插入 个数，组成所有项之和为 的等比数列，求此数列的项数. 解 设此数列的公比为 （易知 ）， 则 解得 故此数列共有5项. 9 【题型二】等比数列中与前 项和有关的计算 例2 在等比数列 中， （1） ， ，求 ; 解 由 得 ，则 ，所以 ． （2） ， ，求 ； 因为 ， 所以 ． 10 （3） ， ， ，求 . ， 由 解得 或 则公比 ． ①当 时， ,解得 ，则 ,解得 ． ②当 时， ,解得 ，则 ,解得 ． 综上， 的值为7． 11 规律方法 等比数列前 项和的运算技巧 （1）在等比数列的通项公式和前 项和公式中，共涉及五个量 ， ， ， ， ，其中首项 和公比 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. （2）在解决与前 项和有关的问题时，首先要对公比 或 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 12 跟踪训练2 在等比数列 中， （1） ， ， ，求 ； 解 依题意，得 因为 ，所以两式相除得 ， ， , , , ,则 ． （2） ， ，求 ； 因为 ，所以 ． 13 （3） ，求 . 当 时，由 ，得 ，显然不成立；当 时，由 ， 得 ，解得 或 ． 14 【题型三】利用分组求和法求数列的前 项和 例3 已知数列 的前 项和为 , ,点 在直线 上. （1）当实数 为何值时,数列 是等比数列? 解 因为点 在直线 上, 所以 . 当 时, , 于是 ， 则 , . 又当 时, ,所以当 时, ,此时数列 是等比数列. 15 （2）在（1）的结论下,设 , , 是数列 的前 项和,求 . 由（1）可得 , , 所以 , ,所以 . 16 规律方法 分组求和的注意点 一般情况下，形如 ,其中数列 与 一个是等差数列,另一个是等比数列,求数列 的前 项和,分别利用等差数列和等比数列前 项和公式求和即可. 17 跟踪训练3 已知数列 满足 ,记数列 的 前 项和为 ,则 等于( ) C A. B. C. D. 18 [解析] 因为 ,所以 .当 时, ②, ,得 ,显 然 时也符合上式,所以 . 令 ,则 ,所以 .故选C. 19 成果验收•课堂达标检测 20 A层 基础达标练 1.已知数列 的通项公式是 , 是数列 的前 项和，则 等于( ) D A.10 B.210 C. D. 2.在等比数列 中， , ,则 的前4项和为( ) B A.81 B.120 C.168 D.192 3.记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 ( ) B A. B. C. D. 21 4.设等比数列 的前 项和为 ，公比 ，且 ，则 ( ) A A. B. C. D. 5.设等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 _ _. <m></m> 22 6.已知等比数列 满足 , ,记其前 项和为 . （1）求数列 的通项公式 ; 解 设等比数列 的公比为 , 则 解得 所以 （2）若 ,求 . . 由 ,得 ,解得 . 23 B层 能力提升练 7.设 ，则 等于( ) D A. B. C. D. 8.已知等比数列 的前 项和为 ，下列一定成立的是( ) A A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 9.已知数列 满足 ，且 .记 ， 为数列 的前 项和，则使 成立的最小正整数 为( ) B A.5 B.6 C.7 D.8 24 10.（多选题）设首项为1的数列 的前 项和为 ，已知 ，则 下列结论正确的是( ) AD A.数列 为等比数列 B.数列 的通项公式为 C.数列 为等比数列 D.数列 的前 项和为 25 [解析] 因为 ，所以 .又 ，所以数 列 是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；所以 ，则 ，当 时， ，但 ，故B错 误；由 , , 可得 , , ，即 ，故C错误；因为 ，所以 ，所以数列 的前 项和为 ，故D正确.故选 . 26 11.数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如 的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后，善于发 现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设： ， 为常数， 表示数列 的前 项和，若 ，则 ____. 32 [解析] 因为 ，则 ，显然 ，则 ,所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列.又因为 ，解得 ，所以 27 12.在数列 中， ， . （1）证明：数列 是等比数列； 证明 因为 ，所以 .又因为 ， 所以数列 是首项为1，公比为5的等比数列. （2）求 的前 项和 . 解 由（1）可得， ，所以 ，所以 的前 项和 . 28 C层 拓展探究练 13.对于数列 ，设其前 项和为 ，则下列命题正确的是( ) AD A.若数列 为等比数列， , , 成等差数列，则 , , 也成等差数列 B.若数列 为等比数列，则 C.若数列 为等差数列，且 ， ，则使得 的 的最小值为13 D.若数列 为等差数列，且 ， ，则 中任意三项均不能构 成等比数列 29 [解析] 对于A，若数列 为等比数列， , , 成等差数列，则 ， 若公比 ，则 ，故 ，所以 ，整理，得 ， 由于 ，所以 ，所以 , ， 即 ，故 , , 也成等差数列，故A正确. 对于B，若数列 为等比数列，当公比 时， ；当公比 时，则 ，所以 30 ， 故B错误. 对于C，若数列 为等差数列，公差为 ，由 ，得 ，即 ，则 ，所以 ，得 .又 ，则 的最小值为14， 故C错误. 对于D，若数列 为等差数列，且 ， ，则公差 ，所以 假设等差数列 中的三项 , , 构 成等比数列， , , ，且 , , 互不相等，则 ，所以 ， 所以 ， 所以 其中 ，则 ，得 ，这与 , , 互不相等矛盾，故 假设不成立，则 中任意三项均不能构成等比数列，故D正确.故选 . $$