4.3.3 等比数列的前n项和（第2课时 等比数列前n项和的性质及应用）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.3.3 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 【课标要求】 1.掌握等比数列前 项和的性质及其应用. 2.能够运用学过的数列知识解决等差数列与等比数列的综合问题. 3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.等比数列前 项和的性质 设公比为 的等比数列 的前 项和为 ,关于 的性质常用的有以下四类: （1）数列 , , , 仍是等比数列（此时 的公比 或 , 为奇数）. （2）当 是偶数时, ; 当 是奇数时, . （3） . （4）数列 是公比不为1的等比数列 , , 且 . 4 知识点2.等比数列前 项和的函数特征 （1） 与 的关系 ①当公比 时，等比数列的前 项和公式是 ，它可以变形为 ，设 ，则上式可以写成 的形式，由此可见， 数列 的图象是函数 图象上的一群孤立的点； ②当公比 时，等比数列的前 项和公式是 ，则数列 的图象是 函数 图象上的一群孤立的点. 5 （2） 与 的关系 当公比 时，等比数列的前 项和公式是 ，它可以变形为 . 设 ， ，则上式可写成 的形式，即 是 的一次 函数. 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】等比数列中连续 项和性质的应用 例1 等比数列 的前 项和为 , , ,则 为( ) A A.28 B.32 C.21 D.28或 [解析] 因为 为等比数列,易知公比 ,所以 , , 也为等比数 列,即7, , 成等比数列,所以 ,解得 或 . 因为 ,所以 .故选A. 8 规律方法 等比数列前 项和为 （且 ）,则 , , 仍成等比数列,其公比为 （ 或 ， 为奇数）. 9 跟踪训练1 将例1中的条件“ , ”改为“ , ”,求 的值. 解 易知公比 ,设 , ,则2, , , 成等比数列, 所以 解得 或 所以 的值为30或 . 10 【题型二】等比数列中不连续 项和性质的应用 例2 已知等比数列 的首项是1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求 此数列的公比和项数. 解 设等比数列 的公比为 ,项数为 . 由已知得 , ,有 ,得 , 所以 , ,所以 . 故此数列的公比为2,项数为8. 11 规律方法 （1）在等比数列 中,若项数为偶数,则有 ,且 ；若项数为奇数,则 . （2）解题时要注意观察序号之间的联系,发现解题契机,注意应用整体思想. 12 跟踪训练2 一个项数为偶数的等比数列,所有项之和为偶数项之和的4倍,前三项之积为64,求该等比数列的通项公式. 解 设数列 的首项为 ,公比为 ,奇数项、偶数项之和分别为 , , 由题意,知 ,即 因为数列 的项数为偶数, 所以 . 又 , 所以 ,解得 . 故所求通项公式为 . 13 【题型三】等比数列前 项和公式的实际应用 例3 已知点 ， ， ，连接 的各边中点得到 ，连接 的各边中点得到 ，依此无限继续下去，得到一系列三角形： ， ， ， ，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数 ( ) C A. B.5 C.10 D.15 14 [解析] 由题意可知， .因为 ，所以 ， 则 ，所以 ， ， ， 这一系列三角形的 面积构成了首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，可 知该式无限趋近于10.故选C. 15 规律方法 （1）解应用问题的核心是建立数学模型. （2）一般步骤:审题，抓住数量关系，建立数学模型. （3）注意问题是求什么 . 16 跟踪训练3 《九章算术》中有如下问题:今有女子善织,日自倍,五日织五尺，问日织几 何?其大意:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺, 问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布 尺,则这位 女子织布的天数是( ) B A.2 B.3 C.4 D.1 [解析] 依题意,每天的织布数构成一个公比为 的等比数列 ,其前 项和为 ,则 ,解得 .令 ,解得 .故选B. 17 成果验收•课堂达标检测 18 A层 基础达标练 1.记 为等比数列 的前 项和.若 , ，则 的值为( ) C A.24 B.48 C.39 D.36 2.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的2倍，且首项为1，中 间两项的和为24，则此等比数列的项数为( ) B A.6 B.8 C.10 D.12 3.（多选题）已知单调递增的正项等比数列 中， ， ， 其公比为 ，前 项和为 ，则下列选项正确的有( ) AD A. B. C. D. 19 4.已知等比数列 的前 项和 ，则 _______. 1 458 5.设各项均为正数的等比数列 的首项 ，前 项和为 ,且 ,则公比 _ _. <m></m> 20 6.（1）设数列 满足 ,且 ，记 的 前 项和为 ,求 ； 解 因为 , 所以 ,且 , 所以 为等比数列,且公比 , 所以 . 21 （2）设数列 是以2为首项，1为公差的等差数列，数列 是以1为首项，2为公 比的等比数列，求 . 设数列 的公比为 ,则 . 因为 , 所以 是首项为 ,公比为2的等比数列， 所以 . 22 7.设 是等比数列 的前 项和， ，且 ， ， 成等差数列. （1）求 的通项公式； 解 设等比数列 的公比为 ， 由 ，且 ， ， 成等差数列，得 解得 所以 . 23 （2）设 为实数， 为 的前 项和， 为数列 的前 项和，且 ， 求 的值. 由（1）知， ，数列 是以1为首项， 为公比的等 比数列，则 ，由 ，得 ， 即 . 24 B层 能力提升练 8.已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ( ) D A.32 B.28 C.48 D.60 9.等比数列 的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，这 个等比数列的前 项积为 ,则 的最大值为( ) D A. B. C.1 D.2 25 10.（多选题）已知等比数列 的前 项和 ，则( ) BCD A.首项 不确定 B.公比 C. D. [解析] ，当 时， .由数列 为等比数列，可得 必定符合 ，有 ，可得 ，数列 的通项公式为 ， ，公比 .由上述知A选项错误.故选 . 26 11.（多选题）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满 足条件 ， ， ，则下列选项正确的是 ( ) ACD A. B. C. 是数列 中的最大项 D. [解析] 由 ， ， 和等比数列的性质， 可得 , .对于A， , ，则 成 立，故A正确；对于B， ，则 ，故B错误； 对于C，当 时， ，当 时， ，故 是 数列 中的最大项，故C正确；对于D， ，故D正确.故选 . 27 12.设 是定义在 上的恒不为零的函数，且对任意的实数 , ，都有 .若 , ,则数列 的前 项和 _______. <m></m> [解析] 令 , ,则 .又 ,所以 ,所以数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,所以 . 28 13.复印纸幅面规格采用A系列，其幅面规格为： ， ， ， ， ，所有规 格的纸张的幅宽（以 表示）和长度（以 表示）的比例关系都为 ；②将 纸张沿长度方向对开成两等份，便成为 规格； 纸张沿长度方向对开成两等份， 便成为 规格；…；如此对开至 规格.现有 ， ， ， ， 纸各一张，若 纸的幅宽为 ，则 纸的面积为_ _____ ，这9张纸的面积之和等于______ . <m></m> <m></m> 29 14.已知正项等比数列 满足 ,则 的最 小值为_____. 196 [解析] 设公比为 ,由条件知 ,即 . 显然 ,所以 ， ,当 ,即 时，等号成立，所以 的最小值为196. 30 15.已知 是首项为1,公比为2的等比数列, 是首项为2,公差为5的等差数列，同时 出现在这两个数列中的数按从小到大的顺序排成数列 ,则 _ ____ <m></m> [解析] 数列 中的数等于2的整数次幂,数列 中的数被5除余2.注意 , , , , 被5除的余数依次为1,2,4,3,1,2,4,3, ，不难发现， 中仅有形如 的数被5除余2,从而出现在 中,因此 ，则 . 31 16.已知一等比数列的前 项、前 项、前 项的和分别 ， , ,求证： . 证明 设此等比数列的公比为 ,首项为 , 当 时, , , , 所以 , , 所以 . 当 时, , , 32 , 所以 又 , 所以 . $$