4.4 数学归纳法（第1课时 数学归纳法）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.4 数学归纳法 第1课时 数学归纳法 【课标要求】 1.理解数学归纳法的原理. 2.能利用数学归纳法证明与正整数有关的问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 有关的数学命题,可按如下两个步骤进行: （1）证明当 时命题成立； （2）假设当 时命题成立,证明当 时命题也成立. 根据 就可以断定命题对于从 开始的所有正整数 都成立. 上述证明方法叫作数学归纳法. 4 名师点睛 （1）初始值 不一定是1,要结合题意恰当地选择. （2）框图表示 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】对数学归纳法原理的理解 例1（1） 用数学归纳法证明不等式 时,初始值 应等于___. 6 [解析] 由题意，得当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， ，所以用数学归纳法证明不等式 时，初始值 应等于6. 7 （2）用数学归纳法证明 的过程如下: ①当 时,左边 ,右边 ,等式成立. ②假设当 时等式成立,即 ,则当 时, ,所以当 时等式也成立.由 此可知对于任意的 ,等式都成立. 上述证明中,错误是______________. 未用归纳假设 [解析] 在由 成立证明 成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用 归纳假设，这与数学归纳法的要求不符. 8 题后反思 数学归纳法的三个注意点 （1）验证是基础.找准起点,合理验证,有些问题中验证的初始值不一定是1. （2）递推是关键.数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律. （3）利用假设是核心.在第二步证明 时,一定要利用归纳假设. 9 跟踪训练1 对于不等式 ,某同学用数学归纳法的证明过程如下: （1）当 时, ,不等式成立; （2）假设当 时,不等式成立,即 ,则当 时, ,不等式成立. 上述证法( ) D A.过程全部正确 B. 验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从 到 的推理不正确 10 【题型二】数学归纳法中的增项问题 例2（1） 用数学归纳法证明“ ”时，假设当 时命 题成立，则当 时，左端增加的项为( ) D A. B. C. D. [解析] 当 时，不等式的左边 ，当 时， 不等式的左边 ，当 时，不等式的左边 比 时增加 .故选D. 11 （2）用数学归纳法证明： 的过程中， 由 递推到 时等式左边增加的项数为( ) B A. B. C. D. [解析] 当 时，等式为 ，当 时， 等式为 ，增加的项数 为 .故选B. 12 题后反思 在利用归纳假设论证 时等式也成立时，应注意分析 和 时两个等式的差别. 跟踪训练2（1） 在用数学归纳求证： 为正整数 的过程中，从“ 到 ”左边需增乘的代数式为( ) D A. B. C. D. [解析] 当 时，左边 .当 时，左边 ，则 故选D. 13 （2）利用数学归纳法证明不等式 的过程中， 由 到 ，左边增加的项数为( ) D A. B. C. D. [解析] 由题意，当 时，左边 ，当 时，左边 ，增加的部分为 ，共 项.故选D. 14 【题型三】用数学归纳法证明等式 例3 用数学归纳法证明： . 证明 ①当 时， ，等式成立. ②假设当 时等式成立，则 ,则当 时，有 ，即当 时，等式也成立. 由①②可知，对任意的 ，等式都成立. 15 规律方法 用数学归纳法证明等式时应注意的问题 （1）首先根据待证等式的特征,明确等式的两边各有多少项,项的多少与 的取值是否有关,由 变化到 时等式两边会增加（或减少）多少项. （2）利用归纳假设,将 时的式子经过恒等变形转化到 时的式子中得到要证的结论. 16 跟踪训练3 用数学归纳法证明: . 证明 ①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，所以等式 成立. ②假设当 时，等式成立，即 ， 则当 时， ，等式也成立. 由①②知，对任意的 ，等式都成立. 17 成果验收•课堂达标检测 18 A层 基础达标练 1.利用数学归纳法证明不等式 的过程中,由 变到 时,左边增加了( ) D A.1项 B. 项 C. 项 D. 项 19 2.已知命题 及其证明： ①当 时，左边 ，右边 ，所以等式成立； ②假设 时等式成立，即 成立，则当 时， ，所以 时等式也成立. 由①②知，对任意的正整数 等式都成立. 判断以上评述( ) B A.命题、推理都正确 B.命题正确,推理不正确 C.命题不正确,推理正确 D.命题、推理都不正确 20 3.用数学归纳法证明 时, 从 到 的证明,若设 ,则 ( ) B A. B. C. D. 21 4.（多选题）已知一个命题 , ,若当 ,2, ， 时， 成立，且当 时也成立，则下列判断中正确的是( ) AD A. 对 成立 B. 对每一个自然数 都成立 C. 对每一个正偶数 都成立 D. 对某些偶数可能不成立 22 5.用数学归纳法证明 时,第 一步应验证的等式是_ ________；从“ ”到“ ”左边需增加的代数式是 _ ___________. <m></m> <m></m> 23 6.用数学归纳法证明： . 证明 ①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，等式 成立. ②假设当 时，等式成立，即 ， 则当 时， ， 所以当 时，等式也成立.根据①②可知，对任意的 ，等式成立. 24 B层 能力提升练 7.现有命题“ , ”不 知真假，请你用数学归纳法去探究，此命题的真假情况为( ) B A.不能用数学归纳法去判断真假 B.一定为真命题 C.加上条件 后才是真命题，否则为假 D.存在一个很大常数 ,当 时，命题为假 25 8.利用数学归纳法证明等式: ,当 时,左 边的和 记作 ,当 时,左边的和记 作 ,则 ( ) C A. B. C. D. 26 9.（多选题）如果命题 对 成立，那么它对 也成立，则下 列结论正确的是( ) BC A.若 对 成立，则 对所有正整数都成立 B.若 对 成立，则 对所有正偶数都成立 C.若 对 成立，则 对所有正奇数都成立 D.若 对 成立，则 对所有自然数都成立 27 10.（多选题）设 是定义在正整数集上的函数,且 满足当 成立时, 总有 成立，则下列命题总成立的是( ) AD A.若 成立,则 成立 B.若 成立,则当 时,均有 成立 C.若 成立,则 成立 D.若 成立,则当 时,均有 成立 28 11.若 ,用数学归纳法验证关于 的命题时，第 一步计算 _ _;第二步“从 到 时”， __________ ___________. <m></m> <m></m> 12.已知存在常数 ，使等式 对 都成立，则 ___. 5 29 13.用数学归纳法证明 ,其中 . 证明 ①当 时，左边 ，右边 ， 左边 右边，等式成立.②假设当 时，等式成立，即 ，那么当 时， ，即当 时， 等式也成立.综上，对任意的 ，等式都成立. 30 14.观察下列等式： …… 据此规律，请你猜想出第 个等式并证明你的结论. 31 解 猜想第 个等式为 .证明：当 时， ，显然成立；假设当 时， 成 立，那么 时， ， 所以对任意的 ， 成立. 32 C层 拓展探究练 15.已知向量 , , , ,则 ____. <m></m> [解析] .下面用数学归纳法进行证明：当 时， ， 满足题意，假设当 时， , ,则当 时， ， ， ， ， ， ， ， 33 故 ， ,所以 ,， 所以 . 34 $$