4.4 数学归纳法（第2课时 数学归纳法的综合应用）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 4.4 数学归纳法 第2课时 数学归纳法的综合应用 要点深化·核心知识提炼 2 知识点.数学归纳法的应用 数学归纳法是一种重要的证明方法，应用十分广泛.一般说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前 项和等问题，都可以考虑用数学归纳法. 3 题型分析·能力素养提升 4 【题型一】用数学归纳法证明不等式 例1 已知数列 满足 ,且 . （1）求数列 的通项公式； 解 当 时,由 得 ，因此 是一个等比 数列，其首项为 ,公比为 ,从而 ,据此得 . 5 （2）求证：对于一切正整数 ,不等式 恒成立. 证明 要证 成立，只要证 时，有 … ,① 显然，左边每个因式都是正数，先证明对每个 ，有 … ,② 用数学归纳法证明②式: .当 时，②式显然成立; .假设当 时，②式成立，即 … ， 则当 时， … 6 ,即当 时， … 成立. 故对任意的 ,②式都成立. 利用②式得 … ,故 ①式成立. 从而结论 成立. 规律方法 用数学归纳法证明不等式的四个关键点 8 跟踪训练1 用数学归纳法证明 证明 ①当 时， ，不等式成立.②假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时， ，即当 时，不等式成立.由①和②可知，对任意的 ，不等式都成立. 9 【题型二】数学归纳法在证明整除问题中的应用 例2 用数学归纳法证明: 能被7整除. 证明 ①当 时， 能被7整除，命题成立.②假设当 时， 能被7整除，那么当 时， ，因为 能被7整 除，所以 能被7整除，所以当 时，命题也成立.由①②可知， 能被7整除. 规律方法 使用数学归纳法证明整除问题常用的方法:将 时的式子分成两部分,一部 分应用归纳假设,另一部分通过变形处理,确定其能够被某个数整除.常用的变形技巧： 加减同一个数以便能够提取公因式. 10 跟踪训练2（1） 用数学归纳法证明“ 能被9整除”,在假设 时命题成立之后,需证明 时命题也成立,这时除了用归纳假设外, 还需证明的是余项( ) 能被9整除. B A. B. C. D. [解析] 假设当 时命题成立，即 能被9整除，那么当 时， .由 能被9 整除可知，要证上式能被9整除，还需证明 也能被9整除.故选B. 11 （2）用数学归纳法证明：当 为正奇数时， 能被 整除. 证明 ①当 时， 显然能被 整除.②假设当 为正奇 数 时命题成立，即 能被 整除.当 时， .又根 据假设 能被 整除，所以 能被 整除.又 能被 整除，所以 能被 整除，所以当 时命题成立.由①②知，命题成立. 12 【题型三】用数学归纳法证明与正整数 有关的几何问题 例3 平面内有 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于 同一点，求证：这 个圆把平面分成 部分. 证明 ①当 时， ，即一个圆把平面分成两部分，命题成立.②假设 当 时命题成立，即 个圆把平面分成 部分，则当 时，这 个圆中的 个圆把平面分成 部分，第 个圆被前 个圆分成 段 弧，每段弧把它所在的区域都分成两部分，这样共增加 个部分，故 个圆把平 面分成 部分，即当 时，命题也成 立.由①②可知，对任意的 ，命题都成立. 13 题后反思 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从 个变成 个时，所证的几何量将增加多少.一般地，证明第二步时，常用的方法是加1法，即在原来 的基础上，再增加1个，当然我们也可以从 个中分出1个来，剩下的 个利用假设.几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明. 14 跟踪训练3 已知 个半径相等的半圆的圆心在同一直线 上，这 个半 圆每两个都相交，且都在直线 的同侧，试用数学归纳法求这 个半圆被所有的交点最 多分成多少段圆弧. 15 解 设这 个半圆被所有的交点最多分成 段圆弧，如图，分别是 ， 的情形. 由图可知， ， ，由此猜想 .现用数学归纳 法证明该猜想.①当 时，猜想显然正确.②假设当 时，猜想正 确，即 ，则当 时，作出第 个半圆，它与前 个半圆均相交， 最多新增 个交点，第 个半圆自身被分成了 段圆弧，同时前 个半圆又各 多分出1段圆弧，故有 ，即当 时，猜想正确.综上，对于 ， ， 都成立.故这 个半圆 被所有的交点最多分成 段圆弧. 【题型四】归纳— 猜想— 证明 例4 已知数列 满足 , . （1）求 , , , 的值； 解 因为 ，所以 .因为 ，所 以当 时， ，得 ，当 时， ，得 ， 当 时， ， ，当 时， ，得 . 17 （2）猜想数列 的通项公式 ,并用数学归纳法证明. 猜想数列 的通项公式为 用数学归纳法证明：①当 时，由 （1）知结论成立；当 时， ，结论成立.②假设当 时，结论成立，即 .当 时， ，所以 ，即当 时，结论也成立.根 据①和②可以断定，结论 对一切正整数 都成立. 题后反思 （1）根据已知条件，求出 , , , . （2）利用数学归纳法的步骤证明即可. 18 跟踪训练4 在数列 , 中， ,且当 为正整数 时， , . （1）计算 , , , , , 的值，并猜想数列 , 的通项公式； 解 令 ，则 ， ；令 ，则 ， ；令 ，则 ， .猜想数列 的通项公 式为 为正整数 ，数列 的通项公式为 为正整数 . 19 （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 证明 ①当 时， 成立.②假设当 时， ， 成立，则当 时， ， ，即 ， 成立，所 以数列 ， 的通项公式分别为 ， 为正整数 . 20 成果验收•课堂达标检测 21 A层 基础达标练 1.用数学归纳法证明 时，第一步需要验证的不 等式是( ) B A. B. C. D. 22 2.用数学归纳法证明“ ”时，假设 时命题成立，则 当 时,左边增加的项为( ) D A. B. C. D. 3.凸 边形有 条对角线,则凸 边形对角线的条数 ( ) C A. B. C. D. 23 4.用数学归纳法证明“ 能被3整除”的过程中，当 时，为了使 用归纳假设，应将 变形为( ) A A. B. C. D. 5.用数学归纳法证明“ 能被9整除”,要利用归纳假设证 时的情况,只需展开( ) A A. B. C. D. 24 6.请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题： ① ； ② . 已知数列 的前 项和为 ,且 ,___. 25 （1）求 , , ; 解 选择条件①，因为 , ,所以当 时, ，即 ,当 时, ，所以 ，即 ,当 时, ，即 ，故 , , 分别为3，5，7. 选择条件②, ，所以当 时， ，当 时， ，当 时， ．故 , , 分别为3， . 26 （2）猜想数列 的通项公式，并用数学归纳法证明. 猜想 ,理由如下： 选择条件①，因为 ， 当 时，由题知， ，猜想成立， 假设 时， ，则 ，所以 ，两式 相减,得 ，即 , 所以当 时， 成立. 综上，对任意的 ， . 选择条件②， . 当 时，由题知， ，猜想成立. 27 假设 时， ,则 ,所以 当 时， 成立. 综上，对任意的 ， . B层 能力提升练 7.已知数列 中， , , ,用数学归纳法证明 能被4整除，假设 能被4整除，然后应该证明( ) C A. 能被4整除 B. 能被4整除 C. 能被4整除 D. 能被4整除 8.已知数列 满足 ， ， ,则下列结论成立的是( ) A A. B. C. D. 9.用数学归纳法证明不等式 时，初始值 应等于___. 6 29 10.平面内有 条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们 交点的个数 . 证明 ①当 时，两条直线的交点只有一个，又 ，所以 当 时,命题成立. ②假设 ，且 时，命题成立,即平面内满足题设的任何 条直线交点的个数 ，那么当 时，任取一条直线 ，除 以外其他 条直线交点 的个数为 ， 与其他 条直线交点的个数为 ，从而 条直线共 有 个交点，即 ，所以当 时，命题成立.由①②可知，对 ,命题都成立. 30 11.先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想： 能被哪些自然数整除？ 解 当 时，原式 ，当 时，原式 ,当 时，原式 ，当 时，原式 ,这些数都可以被6整除，所以猜想 可以被6整除，也可以被1，2, 3整除. 证明：①当 时， ，命题显然成立; ②假设当 时， 能被6整除． 当 时， ，其中 两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除.由假设知 能被6整除,故 ， ，6分别能被6整除，所以当 时，命题也成立.根据①②， 可知 可以被6整除．故 能被自然数1，2，3，6整除. 31 12.一个计算装置有一个数据入口 和一个运算结果的出口 ，将正整数数列 中的 各数依次输入 口，从 口得到输出数据组成数列 ,结果表明：①从 口输入 时，从 口得到 ；②当 时，从 口输入 ,从 口得到的结果 是 将前一个结果 先乘正整数数列 中的第 个奇数，再除以正整数数列 中 的第 个奇数，试问： （1）从 口输入2和3时，从 口分别得到什么数？ 解 当 时, ；当 时， ;当 时, . 32 （2）从 口输入100时，从 口得到什么数？请说明理由. 因为 , , ， ，故猜想 .理由: 当 时,显然猜想成立，假设 时，猜想成立,即 ，则当 时, , 所以当 时，猜想成立，所以 ，故从 口输入100时，从 口得到的数为 . 33 13.已知等差数列 的前 项和为 ,等比数列 的前 项和为 ,且 , ， . （1）求 , ; 解 设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ,依题意,得 整理得 解得 所以 , . 34 （2）已知 , ,试比较 , 的大小. 由（1）知, ,数列 是首项为 ，公比为 的等比数列,则 . 因为 ,所以 ,则 .用数学归纳法证明 , . ①当 时，左边 ，右边 ，左边 右边，即原不等式成立.②假设当 时，不等式成立，即 ，则 ，即 时，原不等式成立.由①②知, ， 成立.因此， ，即 ，所以 . 35 C层 拓展探究练 14.（多选题）用数学归纳法证明 对任意 的自然数都成立， 则以下满足条件的 的值为( ) CD A.1 B.2 C.3 D.4 36 [解析] 取 ，则 , , 不成立；取 ，则 , , 不成立；取 ，则 , , 成立；取 ，则 , , 成立；下证：当 时, 成立.当 时，则 ， , 成立；假设 当 时，有 成立，则当 时，有 ,令 ， 则 .因为 ，所以 .因 为 ,所以 ,所以当 时，不 等式也成立，由数学归纳法可知, 对任意的 都成立.故选 . $$