第4章 数列章末总结提升课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 章末总结提升 网络构建·知识导图 2 3 4 要点归纳·典例提升 5 要点一 等差数列与等比数列的基本运算 1.数列的基本运算以小题居多,但也可作为解答题第一问命题,主要考查利用数列的通项 公式及求和公式,求数列中的项、公差、公比及前 项和等,一般试题难度较小. 2.通过等差、等比数列的基本运算,培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 6 【典例1】 设等比数列 的公比为 ,前 项和为 . （1）若 , ,求 的值； 解 因为 , ,所以 ,解得 ,所以 . （2）若 , ,且 , ,求 的值. 因为 , ,所以 ,所以 .由 ,解得 .因为 ,所以 .因为 ,所以 ,解得 . 7 规律方法 在等差数列和等比数列的通项公式 与前 项和公式 中,共涉及五个量 , , , （或 ）, .其中 和 （或 ）为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于 , （或 ）, , , 的方程组,利用方程的思想求出需要的量,当然在求解中若能运用等差（比）数列的性质会更好,这样可以化繁为简,减少运算量,同时还要注意整体代入思想方法的运用. 8 跟踪训练1 已知等差数列 的前 项和为 , , . （1）求数列 的通项公式； 解 设等差数列 的公差为 ,由 , , 得 解得 所以 （2）求 的最大值及相应的 的值. 由 ,得 , 所以当 或5时, 取得最大值为 . 9 要点二 等差、等比数列的判断 1.判断等差或等比数列是数列中的重点内容,经常在解答题中出现,对给定条件进行变形是解题的关键所在,经常利用此类方法构造等差或等比数列. 2.通过等差、等比数列的判断与证明,培养逻辑推理、数学运算等核心素养. 10 【典例2】 已知数列 满足 , .设 . （1）求 , , ； 解 由条件得 . 将 代入，得 . 又 ,所以 . 将 代入,得 , 所以 ， 所以 , , . 11 （2）判断数列 是否为等比数列,并说明理由； 是等比数列.理由如下: 由条件可得 ,即 . 又 , 所以 是首项为1,公比为2的等比数列. （3）求数列 的通项公式. 由（2）可得 ,所以 . 12 规律方法 判断和证明数列是等差（比）数列的方法 （1）定义法:对于 的任意自然数,验证 为与正整数 无关的常 数. （2）中项公式法: ①若 ,则 为等差数列; ②若 ， 且 ,则 为等比数列. （3）通项公式法: , 是常数） 是等差数列； （ 为非零常数） 是等比数列. （4）前 项和公式法: , 为常数, 是等差数列； , 为常数,且 , , , 是公比不为1的等比 数列. 13 跟踪训练2 已知数列 满足 ,且当 , 时,有 . （1）求证:数列 为等差数列. 证明 当 时,由 , 得 , 两边同除以 ,得 ， 所以数列 是首项 ,公差 的等差数列. 14 （2）试问: 是不是数列 中的项?如果是,是第几项；如果不是,请说明理由. 解 由（1）得 , 所以 ,所以 . 假设 是数列 中的第 项, 则 ,解得 , 所以 是数列 中的第11项. 15 要点三 数列求和 1.数列求和一直是高考考查的热点,并且多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一般数列的求和,主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题. 2.通过数列求和,培养数学运算、逻辑推理等核心素养. 16 【典例3】 已知数列 是 次多项式 的系数,且 . （1）求数列 的通项公式； 解 设 , 则 , . 当 时, 也符合上式, 所以 . 17 （2）求证: . 证明 由（1）知 ,所以 ,① ,② ，得 , 所以 . 18 规律方法 数列求和的常用类型 （1）错位相减法:适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数 列.把 两边同乘相应等比数列的公比 ,得到 ,两式错位相减即可求出 . （2）裂项相消法:将数列的通项公式分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消 中间若干项的方法.裂项相消法适用于形如 （其中 是各项均不为零的等差 数列, 为常数）的数列. 19 （3）拆项分组法:把数列的每一项拆成两项（或多项）,再重新组合成两个（或多个）简单的数列,最后分别求和. （4）并项求和法:与拆项分组相反,并项求和是把数列的两项（或多项）组合在一起,重新构成一个数列再求和,一般适用于正负相间排列的数列求和,注意对数列项数（是奇数还是偶数）的讨论. 20 跟踪训练3 已知数列 的各项均为正数，且满足 . （1）求数列 的通项公式； 解 由 ,得 . 又 ,所以 . （2）令 ,求数列 的前 项和 . , 则 . 21 $$