精品解析：2024年山东省淄博市高新区中考数学模拟试卷

2024年山东省淄博市高新区中考数学模拟试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 2的平方根是（ ）． A. B. C. 2 D. 2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年春节假期，山东省文化和旅游系统积极出台政策措施，丰富文旅产品供给，大力提振文旅消费，文旅市场强劲复苏，迎来“开门红”．据山东省文旅厅消息，春节期间，全省接待游客万人次，实现旅游收入亿元．数据“万”可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（ ） A. 5分 B. 4分 C. 3分 D. 45% 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ） A. 若．则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，以点为圆心、为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，满分20分） 11. _______． 12. 分解因式：＝_____． 13. 如图所示，是的直径，弦，过点C作的切线交的延长线于点D，若，则____________． 14. 如图，已知反比例函数（）的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为9，则的值为______． 15. 如图，在菱形中，，经过点C的直线分别与，的延长线相交于点P，Q，，相交于点O． （1）线段，，之间的数量关系为______； （2）若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共小题，满分80分，请在答题卷的相应位置作答） 16. 计算：． 17. 在如图所示的正方形网格中，的顶点均在网格上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空： （1）作出向下平移5个单位的，写出点的坐标：_________； （2）作出绕点O逆时针旋转的，写出点的坐标：_________． 18. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面： （1）观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ … 黑色瓷砖的块数 4 7 ______ … 黑白两种瓷砖的总块数 9 15 ______ … （2）依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为______，黑白两种瓷砖的总块数为______（用含n的代数式表示）； （3）白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2024块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 19. “金山银山不如绿水青山”，为了响应这一号召，各地加强绿化建设，某乡镇决定在某村的一条河上修建一座观光桥．如图，河的边上有座小山，山高，从山顶B处测得河岸一边一点E和对岸一点F的俯角分别为，，且点C、A、E、F在同一水平线上，若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 20. 如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 21. 应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台． （1）求甲、乙两种书柜的进价； （2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱． 22. 综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 23. 如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连结DE，BE，且∠C＝∠BED． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若OA＝10，AD＝16，求AC的长． 24. 已知二次函数（且为常数），当a取不同的值时，其图象不同． （1）求二次函数的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）若抛物线与x轴交于两点，当时， ①求抛物线的解析式； ②若抛物线顶点为C，其对称轴与x轴交于点D，直线与x轴交于点E．点M为抛物线对称轴上一动点，过点M作，垂足N在线段上．试问是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年山东省淄博市高新区中考数学模拟试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 2的平方根是（ ）． A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：， 2的平方根是， 故选：B． 2. 如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由上面看到的平面图形是俯视图，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：从上面看第一列是一个小正方形，第二列是两个小正方形，第三列居上是一个小正方形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三视图中的俯视图，掌握“俯视图的含义”是解本题的关键． 3. 2023年春节假期，山东省文化和旅游系统积极出台政策措施，丰富文旅产品供给，大力提振文旅消费，文旅市场强劲复苏，迎来“开门红”．据山东省文旅厅消息，春节期间，全省接待游客万人次，实现旅游收入亿元．数据“万”可以用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据“万”可以用科学记数法表示为． 故选：D． 【点睛】本题考查科学记数法-表示较大数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况（满分5分），则所打分数的众数为（ ） A. 5分 B. 4分 C. 3分 D. 45% 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形统计图中得分情况的所占比多少来判断即可； 【详解】解：由扇形统计图可知： 1分所占百分比：5%； 2分所占百分比：10%； 3分所占百分比：25%； 4分所占百分比：45%； 5分所占百分比：15%； 可知，4分所占百分比最大，故4分出现的次数最多， ∴所打分数的众数为4； 故选：B． 【点睛】本题主要考查众数的概念，扇形统计图，理解扇形统计图中最大百分比是所打分数的众数，这是解本题的关键． 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误； 点b在1的右边，故b>1，故B选项错误； b在a的右边，故b>a，故C选项错误； 由数轴得：2<a<1.5，则1.5<a<2，1<b<1.5，则，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 6. 在下列条件中，能够判定为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 7. 已知点，，都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ） A. 若．则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；由可知，抛物线的对称轴为直线，且开口向上，进而可得，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，根据对称性可知，与关于直线对称，由点A在点B左侧可得，点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且到对称轴的距离相等，然后分和两种情况讨论，再分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：， 对称轴为直线，且开口向上， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 点，，A在点B左侧 ，A与B关于直线对称，且点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧， 当时， ， y随x的增大而增大， ， 当时， ， y随x的增大而减小， ， 故选：A． 8. 如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角和为180度可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：，， 圆的周长， 四边形内接于圆， ， ， ， ， ， ， 故选B． 9. 甲袋中装着分别标有数字2，，，的同质同大小的四个球，乙袋中装着分别标有运算符号“”、“”的同质同大小的两个球，先从甲袋中任意摸出两球，再从乙袋中摸出一球，让甲袋中摸出的两球上标的数按乙袋摸出球的运算符号计算，则结果是有理数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用列表法求概率，列表得到所有的情况总数，找出结果是有理数的情况数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：由题可列表如下： 乘法运算结果 2 2 加法运算结果 2 2 由表可知：总共有24种结果，其中结果是有理数的有8种， 结果是有理数的概率为， 故选：B． 10. 如图，在中，，，以点为圆心、为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求最值问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理．在上取一点，使得，先证，将转化为，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，在上取一点，使得， ∵，，， ∴，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当共线时，的值最小，最小值为， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 故选：B． 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，满分20分） 11. _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根，直接利用算术平方根的性质化简得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分解因式，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式． 13. 如图所示，是的直径，弦，过点C作的切线交的延长线于点D，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；连接，证明，结合相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴，， ∵为的切线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知反比例函数（）的图象经过斜边的中点，且与直角边相交于点．若的面积为9，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象与性质，设，则，，结合图象经过斜边的中点，得到，根据点D，点C都在图象上，得到，得到，继而得到，结合的面积为9，得到，计算得，解答即可． 【详解】设，则，， ∵图象经过斜边的中点， ∴， ∵点D，点C都在图象上， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，经过点C的直线分别与，的延长线相交于点P，Q，，相交于点O． （1）线段，，之间的数量关系为______； （2）若，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由平行线的性质得，，证明得，再证明是等边三角形可证结论成立； （2）证明得，再证明得，代入数值可求出的长． 【详解】（1）四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ； （2）∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：（1）（2）． 三、解答题（本大题共小题，满分80分，请在答题卷的相应位置作答） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查立方根，绝对值，零次幂，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】原式 ． 17. 在如图所示的正方形网格中，的顶点均在网格上，请在所给的平面直角坐标系中按要求作图并完成填空： （1）作出向下平移5个单位的，写出点的坐标：_________； （2）作出绕点O逆时针旋转的，写出点的坐标：_________． 【答案】（1） 如图，即为所求，点的坐标为， （2） 如图，即为所求，点的坐标为， 【解析】 【分析】（1）将的三个顶点分别向下平移5个单位，得到对应点，顺次连接即可得到； （2）将的三个顶点分别绕点O逆时针旋转，得到对应点，顺次连接即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形的平移、旋转，解题的关键是根据平移、旋转的性质在坐标系中找出对应点的位置． 18. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面： （1）观察图形，填写下表： 图形 ① ② ③ … 黑色瓷砖的块数 4 7 ______ … 黑白两种瓷砖的总块数 9 15 ______ … （2）依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为______，黑白两种瓷砖的总块数为______（用含n的代数式表示）； （3）白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2024块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由． 【答案】（1）10，21 （2） （3）不能， 理由如下： 假设白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数是2024块， 则可得：， 即， ∴，不是整数 因为2024不能被6整除，所以假设不成立． 【解析】 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． （1）第一个图形有黑色瓷砖4块，黑白两种瓷砖的总块数为9；第二个图形有黑色瓷砖7块，黑白两种瓷砖的总块数为15；第三个图形有黑色瓷砖10块，黑白两种瓷砖的总块数为21；由此填表即可； （2）由（1）可知每一个图形的黑色瓷砖块数比前一个图形多3，总块数多6，由此求得答案即可； （3）利用（2）的规律根据“白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数是2024块”这个假设成立，联立方程，求得整数解就能，否则不能． 【小问1详解】 解：填表如下： 图形 ① ② ③ … 黑色瓷砖的块数 4 7 10 … 黑白两种瓷砖的总块数 9 15 21 … 故答案为：10，21； 【小问2详解】 解：第一个图形：黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为； 第二个图形：黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为； 第三个图形：黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为； …… 第n个图形中黑色瓷砖的块数为；黑白两种瓷砖的总块数为， 故答案为： 【小问3详解】 略 19. “金山银山不如绿水青山”，为了响应这一号召，各地加强绿化建设，某乡镇决定在某村的一条河上修建一座观光桥．如图，河的边上有座小山，山高，从山顶B处测得河岸一边一点E和对岸一点F的俯角分别为，，且点C、A、E、F在同一水平线上，若在此处建桥，求河宽EF的长．（结果精确到1m）（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】、本题考查了俯角有关的解直角三角形的应用，先通过平行线的性质，得，结合代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则 ∵ ∴ ∴ 20. 如图，在四边形中，，过点B作交于点E，点F为边上一点，，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，即，， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形； （2）10 【解析】 【分析】（1）由题意易证四边形为平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判定； （2）由题意易证，即得出，代入数据，即可求出的长，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握上述知识是解题关键． 21. 应用题：深圳某学校为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书．已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台． （1）求甲、乙两种书柜的进价； （2）若该校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍．请您帮该校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱． 【答案】（1）每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元． （2）购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元． 【解析】 【分析】（1）设每个乙种书柜的进价为x元，每个甲种书柜的进价为元，根据“用3300元购进的甲种书柜的数量比用4200元购进的乙种书柜的数量少5台”列方程求解即可； （2）设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y元，然后根据意义列出y与m的函数关系式，然后再根据“乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍”列不等式确定m的 取值范围，最后根据函数的增减性求最值即可解答． 【小问1详解】 解：设每个乙种书柜的进价为x元，则每个甲种书柜的进价为元， 根据题意得，，解得， 经检验，是原方程的根． （元）． 答：每个甲种书柜的进价为330元，每个乙种书柜的进价为300元． 【小问2详解】 解：设购进甲种书柜m个，则购进乙种书柜个，购进两种书柜的总成本为y元，根据题意得：，即， ∵， ∴y随x的增大而增大， 当时，（元）． 答：购进甲种书柜20个，购进乙种书柜40个时花费最少，费用为18600元． 22. 综合与实践 优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为． 信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 问题解决 任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； （2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； 任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】（1），最大射程为 （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型． （1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为时的的值即可求喷出水的最大射程； （2）根据对称轴为直线可得点的对称点为,则是由向左平移得到的，即可求出点的坐标； （3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案． 【详解】解：（1）如图, 由题意得是外边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ， ， ∴外边缘抛物线的函数解析式为， 当时, ，解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为； 对称轴为直线 ∴点的对称点为， 是由向左平移得到的， 由（1）可得， ∴点的坐标为； （3）∵， ∴点的纵坐标为， ， 解得 ， ∵， ， 当时， 随的增大而减小， ∴当时, 要使， 则， ∵当时, 随的增大而增大，且时， ， ∴当时，要使，则， ∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为， 综上所述，的取值范围是． 23. 如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，连结DE，BE，且∠C＝∠BED． (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若OA＝10，AD＝16，求AC的长． 【答案】（1）证明：∵∠BED＝∠BAD，∠C＝∠BED， ∴∠BAD＝∠C． ∵OC⊥AD于点F， ∴∠BAD＋∠AOC＝90°， ∴∠C＋∠AOC＝90°， ∴∠OAC＝90°． ∴OA⊥AC， ∴AC是⊙O的切线． （2）AC＝． 【解析】 【分析】（1）首先证明∠BAD=∠C，然后证明∠C+∠AOC=90°，即可证得∠OAC=90°，即OA⊥AC，从而得证； （2）根据垂径定理和勾股定理求出OF的长，再根据△OAF∽△OCA，得出比例式，从而求出AC的长． 【详解】解：(1)略 (2)∵OC⊥AD于点F， ∴AF＝AD＝8，在Rt△OAF中，OF＝＝6． ∵∠AOF＝∠AOC，∠OAF＝∠C， ∴△OAF∽△OCA， ∴=，∴ ∴AC＝． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，以及垂径定理，三角形相似的性质和判定，圆周角定理的推论，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 已知二次函数（且为常数），当a取不同的值时，其图象不同． （1）求二次函数的顶点坐标（用含a的式子表示）； （2）若抛物线与x轴交于两点，当时， ①求抛物线的解析式； ②若抛物线顶点为C，其对称轴与x轴交于点D，直线与x轴交于点E．点M为抛物线对称轴上一动点，过点M作，垂足N在线段上．试问是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在，或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等： （1）把抛物线解析式化为顶点式即可得到答案； （2）①根据题意可得，进而得到，解方程即可得到答案；②先求出，，，则，可得，则；证明是等腰直角三角形，得到；设，如图所示，当点M在x轴下方时，则，，可得方程，解方程即可得到答案；同理求出当点M在x轴上方时的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①∵抛物线与x轴交于两点， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为； ②由（2）①可得，则， ∵直线与x轴交于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 设， 如图所示，当点M在x轴下方时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（正值舍去）， ∴； 同理当点M在x轴上方时，可求得， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $