精品解析：甘肃省白银市靖远县第二中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

2023—2024年度高一年级下学期期末考试模拟卷 数学试题 （120分钟 150分） 考试范围：必修第一册20%，必修第二册80%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A B. C. D. 2 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 4 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为 A B. C. D. 5. 函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（ ） A. B. C. D. 6. 直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正四面体的棱长为1，动点P在△ABC内（含边界），设点P到平面SAB的距离为，点P到平面SBC的距离为，点P到平面SCA的距离为.若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量，共线，则A，B，C，D必在同一条直线上 B. 若A，B，C为平面内任意三点，则 C. 若点G为的重心，则 D. 若向量，满足，且，方向相同，则 10. 如图，正方体棱长为2，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与BD所成的角为60° D. 三棱锥的体积为 11. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（ ） A B. C. D. 方程有实数解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则的最小值为______. 13. 某三棱台的各顶点都在一个半径为6的球面上，其上、下底面分别是边长为和的正三角形，则该三棱台的体积为______. 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积. 16. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的大小. 17. 已知. （1）求在上的单调递增区间； （2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求△ABC的面积的最大值. 18. 甲袋子中装有2个红球、1个白球，乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明，球除颜色外完全一样）. （1）现从甲、乙两个袋子中各任选1个球，求选出的2个球的颜色相同的概率； （2）从甲、乙两袋6个球中任选2个球，求选出的2个球来自同一袋子的概率. 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点. （1）若向量的“伴随函数”为，求向量； （2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，且已知，； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024年度高一年级下学期期末考试模拟卷 数学试题 （120分钟 150分） 考试范围：必修第一册20%，必修第二册80%. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算和复数的虚部概念即可. 【详解】，故该复数的虚部为2. 故选：D. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求模先求平方，再开方即可得到答案. 【详解】因为，，，所以，所以. 故选：C. 3. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理得到，由正弦定理得到. 【详解】因为， 所以，所以 故选：B 4. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中共有中，其中选中的花中没有红色共有种，故其概率为，故选A. 5. 函数，则下列直线不是图象的一条对称轴的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换公式化简，再根据正弦函数的对称性求出的对称轴方程即可得解. 【详解】由题得 ， 令， 分别取，0，1，对应得，，， 不存在使得，故不是图象的一条对称轴. 故选：B. 6. 直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作,可证平面，连接,可知即为所求线面角，计算即可求解. 【详解】如图，过作，连接， 在直三棱柱中，因为 所以平面， 故在平面上的射影为, 所以为直线与平面所成的角， 设，又 所以 故 故选：A 【点睛】方法点晴：求线面夹角一般有两种方法： （1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解； （2）向量法：建系用空间向量公式求解. 7. 数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意把5根算筹所能表示的两位数列举出来后，计算哪些能被4整除即可得概率． 【详解】1根算筹只能表示1，2根根算筹可以表示2和6，3根算筹可以表示3和7，4根算筹可以表示4和8，5根算筹可以表示5和9， 因此5根算筹表示两位数有14，18，41，81，23，27，63，67，32，72，36，76共12个，其中32，72，36，76，共4个可以被4整除， 所以所求概率为． 故选：A． 8. 已知正四面体的棱长为1，动点P在△ABC内（含边界），设点P到平面SAB的距离为，点P到平面SBC的距离为，点P到平面SCA的距离为.若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正四面体的几何特征结合求解出最大值. 【详解】设点A到平面SBC距离为h，由，知，，， 则P点在过△ABC的重心与BC平行且在△ABC内的线段DE上， D，E分别为边AC，AB靠近C，B的三等分点， 由正四面体的性质可知点P到平面SAB的距离的最大值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量，共线，则A，B，C，D必在同一条直线上 B. 若A，B，C为平面内任意三点，则 C. 若点G为的重心，则 D. 若向量，满足，且，方向相同，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断D，由三角形重心的性质可判断C，对于D，由向量无法比较大小即可判断. 【详解】对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反即可，则A，B，C，D不必在同一直线上，故A项错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B项正确； 对于C，由平面向量中三角形重心的性质，可得C项正确； 对于D，由于向量间无法比较大小，故D项错误. 故选：BC. 10. 如图，正方体的棱长为2，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与BD所成的角为60° D. 三棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A：借助正方体的性质可得，结合线面平行的判定定理即可得；对B：借助线面垂直的判定定理可得平面，平面，再利用线面垂直的性质定理可得，，进而可得，，即可得证；对C：借助等角定理可得等于异面直线与BD所成的角，计算出即可得解；对D：借助体积公式计算即可得. 【详解】对A：在正方体中，， 又平面，平面，所以平面，故A项正确； 对B：连接，，在正方体中，，， 平面，平面，因为平面， 平面，所以，， 又，平面，平面， 所以平面，因此，同理，， 又，平面，平面， 所以平面，故B项正确； 对C：因为，所以等于异面直线与BD所成的角， 又，即为等边三角形， 所以异面直线与BD所成的角为60°，故C项正确； 对D：三棱锥的体积 ，故D项不正确. 故选：ABC 11. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. B. C. D. 方程有实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用列举法及古典概型概率公式逐项分析可得答案. 【详解】先后抛掷一枚骰子两次，得到基本事件总数有36种. 对于选项A，满足的有，，，，，共5种， 故概率为，故A错误； 对于选项B，满足的有，，，，，，共6种， 故概率为，故B正确； 对于选项C，满足，即的有，，，，， ，共6种，故概率为，故C正确； 对于选项D，方程有实数解，则，即， 符合题意的有，，，，，，共6种，故概率为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，则的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据模的坐标计算公式以及向量不等式即可求解. 【详解】因为，所以，因为，所以，当且仅当与反向时取等号， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 13. 某三棱台的各顶点都在一个半径为6的球面上，其上、下底面分别是边长为和的正三角形，则该三棱台的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设H为上底面中心，O为下底面的中心，计算可得O为外接球的球心，求出的长度后可得三棱台的体积. 【详解】如图，设H为上底面的中心，O为下底面的中心， 由题意可得，所以， 故的中心即为球心O，所以， 又因为， 所以该三棱台的体积为. 故答案为：. 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设（，），若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】因为大三角形是等边三角形，所以可以通过建系的方法进行求解. 【详解】不妨设，则，如图，由题可知. 由， 得，所以，所以，，. 又，所以，所以， 所以，即. 所以，，， 因为，所以， 解得，所以. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求角A的大小； （2）若，求△ABC的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理对等式进行化简，进而可以求出角； （2）根据余弦定理求出相应的边长，再利用三角形的面积公式求面积. 【小问1详解】 因为， 所以， 因为 所以， 因为， 所以， 所以 因为, 所以. 【小问2详解】 在中，，且， 所以，① 又因为， 将其与①联立，解得， 所以， 所以， 于是， 即为等边三角形. 所以的面积为. 16. 如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面，，，且，. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需根据线面垂直的判定定理证明平面，进一步结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）首先说明是二面角的平面角，进一步结合解三角形知识即可求解. 【小问1详解】 由于底面是直角梯形且，所以由得， 因为底面，平面，所以， 而，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，平面，所以， 又因为，所以是二面角的平面角. 由得， 而，即， 所以在梯形中，由可得， 所以在直角中，，而， 所以，即二面角的大小为. 17. 已知. （1）求在上的单调递增区间； （2）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若，，求△ABC的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用整体法得到函数的单调递增区间； （2）由得，由余弦定理得到，得到面积的最大值. 【小问1详解】 由题意得， 又（），得（）， 令，得，令，得， 所以在上的单调递增区间是. 【小问2详解】 因为， 所以（），得， 又C是锐角，所以. 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以， 故△ABC的面积的最大值为. 18. 甲袋子中装有2个红球、1个白球，乙袋子中装有1个红球、2个白球（袋子不透明，球除颜色外完全一样）. （1）现从甲、乙两个袋子中各任选1个球，求选出的2个球的颜色相同的概率； （2）从甲、乙两袋6个球中任选2个球，求选出的2个球来自同一袋子的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由列举法求解古典概型概率即可； （2）直接由列举法求解古典概型概率即可. 【小问1详解】 甲袋子中2个红球分别用A，B表示，白球用C表示，乙袋子中红球用D表示，2个白球分别用E，F表示. 从甲、乙两袋中各任选1个球的所有可能结果为，，，，，，，，，共9种， 从中选出的2个球的颜色相同的有，，，，共4种， 故选出的2个球的颜色相同的概率. 【小问2详解】 从6个球中任选2个球的所有可能结果为 ，，，，，（B，C），，，，，，，，，，共15种， 从中选出2个球来自同一袋子的结果有，，，，，，共6种， 所以选出的2个球来自同一袋子的概率. 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点. （1）若向量的“伴随函数”为，求向量； （2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，且已知，； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由“源向量”与“伴随函数”的概念将化为形式求解即可. （2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可；（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合重要不等式求解即可. 【小问1详解】 , 所以 【小问2详解】 （ⅰ）由于函数的“源向量”为， 所以，，所以，，所以， 在中，由余弦定理得：， 即， 所以有基本不等式得：， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，所以周长的最大值为. （ⅱ）， 又，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 又当点无限接近点顶点时，边无限接近，即无限接近， 综上所述：， 令，则，， 从而， 所以， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$