5.1.2 瞬时变化率——导数（第1课时 瞬时变化率）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.1.2 瞬时变化率——导数 第1课时 瞬时变化率 【课标要求】 1.理解切线与割线的关系. 2.理解瞬时变化率的含义. 3.会求曲线上某点处的切线斜率、瞬时速度、瞬时加速度. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.割线与切线 如图,设曲线 上一点 ,过点 的一条割线交曲线 于另一点 ,则割线 的斜率为 . 当点 沿曲线 向点 运动,并无限逼近点 时,割线 逼近点 的切线 ,从而割 线的斜率逼近切线 的斜率,即当 无限趋近于0时, 无限趋近于点 处的切线的斜率. 4 知识点2.瞬时变化率与瞬时速度、瞬时加速度 （1）一般地,如果当 无限趋近于0时,运动物体位移 的平均变化率 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 时的瞬时速度,也就 是位移对于时间的瞬时变化率. （2）一般地,如果当 无限趋近于0时,运动物体速度 的平均变化率 无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在 时的瞬时加速度,也 就是速度对于时间的瞬时变化率. 5 （3）瞬时变化率 ①定义：对于一般的函数 ，在自变量 从 变到 的过程中，若设 ， ，则函数的平均变化率是 .而当 趋于0时，平均变化率就趋于函数在 点的瞬 时变化率. ②作用：刻画函数在一点处变化的快慢. 6 题型分析·能力素养提升 7 【题型一】曲线上某一点处的切线问题 例1 已知曲线 上一点 .求： （1）点 处的切线斜率； 解 由 ,得 ,当 无限 趋近于0时, 无限趋近于 ,所以点 处的切线斜率等于4. （2）点 处的切线方程. 点 处的切线方程是 ,即 . 8 规律方法 解决此类问题的关键是理解割线逼近切线的思想,即求曲线上一点处切线的斜率时, 先表示出曲线在该点处的割线的斜率,则当 无限趋近于0时,可得到割线逼近的切线的 斜率,然后利用直线方程的点斜式可求出相应的切线方程. 跟踪训练1 利用割线逼近切线的方法分别求曲线 在 , , 处的 切线斜率. 解 设 , ,则割线 的斜率 .当 无限趋近于0时, 无限趋近于 ,从而 曲线 在 , , 处的切线斜率分别为0, ,8. 9 【题型二】瞬时速度和瞬时加速度问题 例2 一质点按 （位移单位： ，时间单位： ）做直线运动.求： （1）该质点在前 内的平均速度； 解 , 所以该质点在前 内的平均速度为 . （2）该质点在 到 内的平均速度； ,所以该质点在 到 内 的平均速度为 . 10 （3）该质点在 时的瞬时速度. , 当 无限趋近于0时, 无限趋近于14，所以该质点在 时的瞬时速度为 . 规律方法 （1）平均速度可反映物体在某一时间段内的平均变化状态,而瞬时速度反映物体 在某一时刻的运动变化状态,瞬时速度是平均速度当 趋于0时的极限值. （2）已知运动物体在 解析式的前提下才可求某一时刻的瞬时速度. 11 跟踪训练2 有一做直线运动的物体,其速度 （单位: ）与时间 （单位: ）的关系 是 ,求该物体在 时的瞬时加速度. 解 因为 ,所以 ,当 无限趋近于0时, 无限趋近于 ，所以该物体在 时的瞬时加速度为 . 12 成果验收•课堂达标检测 13 A层 基础达标练 1.抛物线 在点 处的切线的倾斜角是( ) B A. B. C. D. 2.已知曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则实数 的值是( ) B A. B.1 C. D.2 3.某物体的运动速度与时间的关系为 ，则 时的加速度为( ) C A.2 B. C.8 D. 4.已知曲线 上两点 ， ， ，当 时，割线 的斜率为_ ___. <m></m> 14 5.当 无限趋近于0时, 无限趋近于___, 无限趋近于__. 8 <m></m> 15 6.一做直线运动的物体,其位移 与时间 的关系是 （位移单位: ,时间 单位: ）. （1）求 到 的平均速度； 解 . （2）求此物体在 时的瞬时速度. . 当 无限趋近于0时, 无限趋近于 ,所以 时的瞬时速度为 . 16 B层 能力提升练 7.一辆汽车按规律 做直线运动，若汽车在 时的瞬时速度为4，则 ( ) C A. B. C.2 D.3 8.已知函数 的图象上四点 , , , ,割 线 , , 的斜率分别为 , , ,则( ) A A. B. C. D. 9.火车开出车站一段时间内,速度 （单位: ）与行驶时间 （单位: ）之间的关系 是 ,则当火车加速度为 时, ( ) B A. B. C. D. 17 10.若曲线 在 处的切线与直线 平行,则 _ ___. <m></m> [解析] 根据题意,得 ,当 无限接近于0时, , 所以 , 当 时, ,切点是 ,切线的斜率 ,故切线方程是 , 即 ,和直线 重合,故 . 18 11.[2023连云港模拟] 已知蜥蜴的体温与阳光照射的关系可近似为 ，其 中 为蜥蜴的体温（单位： ）, 为太阳落山后的时间（单位： ）.当 时，蜥蜴体温的瞬时变化率为_ ____ . <m></m> [解析] ，当 无限趋近于0时， 无限趋近于 ， 所以瞬时变化率为 . 19 12.子弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，其运动方程为 ，如果它的 加速度 ，子弹在枪筒中的运动时间为 ，求子弹射出枪口 时的瞬时速度. 解 运动方程为 .因为 ,所以 , 所以当 无限趋近于0时, 无限趋近于 . 由题意知, , ,所以 ,即子弹 射出枪口时的瞬时速度为 . 20 C层 拓展探究练 13.某人拉动一个物体前进，他所做的功 是时间 的函数 ，则当 无限 趋近于0时， 表示的物理意义为_______________. <m></m> 时的功率 [解析] 由题意知,当 无限趋近于0时, 表示 时的功率. 21 14.若一物体运动方程如下（位移单位： ，时间单位： ）: 求： （1）物体在 内的平均速度； 解 在 时，其时间变化量为 ，其位移变化量为 ，故所求平均速度为 22 （2）物体的初速度 ； 求物体的初速度 ，即求物体在 时的瞬时速度.因为物体在 附近位移的平 均变化率为 ，所以当 无限趋 近于0时， 无限趋近于 ，所以物体在 处位移的瞬时变化率为 ，即物 体的初速度 . （3）物体在 时的瞬时速度. 因为物体在 附近位移的平均变化率为 ，所以当 无限趋近于0时， 无限趋近于 ，所以物体在 时位移的瞬时变化率为 ，即物体在 时 的瞬时速度为 . 23 $$