5.1.2 瞬时变化率——导数（第2课时 导数）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.1.2 瞬时变化率——导数 第2课时 导数 【课标要求】 1.理解导数及导函数的概念. 2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.函数在 处的导数定义及导函数的定义 （1）函数在 处的导数定义 设函数 在区间 上有定义, ,若 无限趋近于0时,比值 无限趋近于一个常数 ,则称 在 处可导,并称该常数 为 函数 在 处的导数,记作 . . （2）导函数的定义 若 对于区间 内任一点都可导,则 在各点处的导数也随着自变量 的 变化而变化,因而也是自变量 的函数,该函数称为 的导函数,记作 . 在 处的导数 就是导函数 在 处的函数值. 4 知识点2.导数的几何意义与物理意义 （1）导数 的几何意义是曲线 在点 处的切线的斜率. （2）导数的物理意义 ①瞬时速度是运动物体的位移 对于时间 的导数,即 . ②瞬时加速度是运动物体的速度 对于时间 的导数,即 . 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】导数概念中的极限计算 例1（1） 设函数 在 处可导,则 等于( ) C A. B. C. D. [解析] 由于 , 故 .故选C. 7 （2）已知 是函数 的导函数,若 ,则 ( ) C A.4 B.2 C.8 D. [解析] 由导数的定义，得 .故选C. 8 （3）已知 是定义在 上的可导函数,若 ,则 ( ) B A.0 B. C.1 D. [解析] 由于 ,故 .故选B. 9 （4）已知函数 在 处可导,则 ( ) D A. B. C. D. [解析] , 当 时, , 所以 .故选D. 10 题后反思 根据函数 在 处的导数 .从形式上看,就是分 子括号里的差要和分母完全对称,如果不对称,那么配凑一下即可.如: 由 ,得 ; 由 ,得 ， ; 由 ,得 . 11 跟踪训练1（1） 若函数 可导，则 等于( ) B A. B. C. D. [解析] 因为函数 可导， 所以 ， 所以 ．故选B. 12 （2）已知 ， 等于( ) C A.1 B. C.3 D. [解析] 因为 ，所以 ．故选C. 13 （3）已知函数 在 处可导，若 ，则 等于 ( ) D A..1 B. C..3 D. [解析] 因为 ， 所以 ．故选D. 14 （4）已知函数 在 处的导数为 ，则 等于( ) A A. B. C. D. [解析] .故选A． 15 【题型二】函数在某点的导数 例2 函数 在 处的导数为( ) D A.2 B. C. D. [解析] ， 所以函数 在 处的导数为 .故选D. 16 规律方法 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 简称：一差、二比、三极限. 17 跟踪训练2 已知函数 在 处的导数为3，则函数 的解析式可能为( ) A A. B. C. D. [解析] 对于A， ，故A正确； 对于B， ，故B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D错误.故选A. 18 【题型三】导数的意义 角度1 导数的物理意义 例3 一个物体做直线运动，位移 与时间 之间的函数关系式为 ， 则该物体在 时的瞬时速度为( ) C A.4 B.5 C.6 D.7 [解析] 由题意， , .故 选C. 19 题后反思 瞬时速度是运动物体的位移 对于时间 的导数，即 ；瞬时加速度 是运动物体的速度 对于时间 的导数，即 . 跟踪训练3 某物体的运动方程为 （位移单位： ，时间单位： ），若 ，则下列说法正确的是( ) C A. 是物体从开始到 这段时间内的平均速度 B. 是物体从 到 这段时间内的速度 C. 是物体在 这一时刻的瞬时速度 D. 是物体从 到 这段时间内的平均速度 20 角度2 导数的几何意义 例4（1） 已知函数 ，则该函数在 处的切线斜率为( ) C A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 因为 ，所以斜 率 ．故选C. 21 （2）已知函数 在 上可导,其部分图象如图所示,设 , 则下列不等式正确的是( ) B A. B. C. D. [解析] 由图象可知,函数在 上的增长越来越快,故函数图象在点 的切线的斜率越来越大.因为 ,所以 .故选B. 22 规律方法 导数的几何意义就是切线的斜率,所以比较导数的大小可以根据函数图象,观察对应切线的斜率的大小. 跟踪训练4（1） 曲线 在点 处的切线的倾斜角为___. <m></m> （2）已知点 是抛物线 上一点，且在点 处的切线斜率 为0，则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，所以点 的坐标为 ．故选B． 23 （3）已知 的图象如图所示,则 与 的大小关系是 ( ) B A. B. C. D.不能确定 [解析] 由导数的几何意义，得 , 分别是切线在点 , 处切线的斜率,由图象可知 故选B. 24 成果验收•课堂达标检测 25 A层 基础达标练 1.函数在某一点处的导数是( ) C A.在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比 B.一个函数 C.一个常数 D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 2.已知某质点的运动方程为 ,其中 的单位是 , 的单位是 ,则 ( ) C A. B. C. D. 26 3.已知曲线 的一条切线的斜率是3,则该切点的横坐标为( ) D A. B. C.1 D.2 4.函数 的图象如图所示，则 与 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 5.[2023扬州期末] 已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ( ) A A. B. C.1 D. 27 6.（多选题）若函数 在 处存在导数,则 的值( ) AD A.与 有关 B.与 有关 C.与 无关 D.与 无关 7.求函数 在 处的导数. 解 , 所以 ， 所以 28 8.一条水管中流过的水量 （单位: ）与时间 （单位: ）之间的函数关系为 ，求函数 在 处的导数 ,并解释它的实际意义. 解 因为 , 所以 . 的实际意义是水流在 时的瞬时流速为 . 29 B层 能力提升练 9.设 ，则曲线 在点 处的切线的倾斜角是 ( ) C A. B. C. D. 10.设 为可导函数，且满足条件 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为( ) A A.10 B.3 C.6 D.8 30 11.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是 （距离单位： ，时间单位： ），则他在 时的瞬时速 度为( ) D A. B. C. D. [解析] ,所以 ，则他在 时的瞬时速度为 .故选D. 31 12.若奇函数 满足 ，则 等于( ) C A.1 B. C.2 D. 32 13.（多选题）已知某物体的运动方程为 ，则( ) ABD A.该物体在 时的平均速度是28 B.该物体在 时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在 时的瞬时速度是70 [解析] 该物体在 时的平均速度是 ，故A正确； ，故B正确； 当 时， ，故C错误； ，故D正确.故选 . 33 14.如图，已知直线 是曲线 在 处的切线，则 的值为_ ___. <m></m> 34 15.已知直线 是函数 的图象在点 处的切线,则 __, ___. 5 3 [解析] 由题意知， , 因为 ,所以曲线 在点 处 的切线斜率为 .由 ,得 ,所以 , , 35 16.将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第 时，原油的温度（单位： ）为 .计算第 和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 36 解 依题意，在第 时，原油温度的瞬时变化率为 ， 其意义表示当 时，原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度.也就是 说，在第 附近，原油温度大约以 的速率下降.在第 时，原油温度的瞬时 变化率为 ，其意义表示当 时，原油温度的瞬时变化率 即原油温度的瞬时变化速度.也就是说，在第 附近，原油温度大约以 的速率 上升. 17.试求过点 且与曲线 相切的直线的斜率. 解 设切点的坐标为 ，则有 .因为 ， 所以 .切线方程为 ，将点 代入，得 ，所以 ，解得 或 .当 时， ；当 时， .故所求直线的斜率为 或6. 38 C层 拓展探究练 18.已知二次函数 的导数为 , ,且对于任意实数 都 有 ,则 的最小值为___. 2 [解析] 由导数的定义,得 . 又 所以 ,所以 ， 所以 ,当且仅当 时,等号成立. 39 19.已知直线 与抛物线 相交于 , 两点, 是坐标原点,若曲线 上存在一点 ,使 的面积最大,求点 的坐标. 解 分析可知点 位于 轴的下方. 当 时, , 则 ,则 . 设曲线 在点 处的切线与直线 平行,则 ,解得 ,所以切点坐标为 ,此时该点到线段 的距离最大, 的面积最大.故点 的坐标为 . 40 $$