5.2.3 简单复合函数的导数课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.2.3 简单复合函数的导数 【课标要求】 1.了解复合函数的概念,掌握复合函数的求导法则. 2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.复合函数的导数 复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数,称为复合函数 复合函数的求导法则 若 ， ,则 ，即 . 名师点睛 复合函数的求导,关键是弄清如何复合而成的,遵循原则是由外及里,层层求导. 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】求复合函数的导数 例1 求下列函数的导数: （1） ； 解 ,设 , ,则 （2） ； 设 , ,则 . 6 （3） ； 设 , ,则 . （4） . 设 , ,则 . 7 规律方法 （1）求复合函数的导数的步骤 （2）求复合函数的导数的注意点:①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁. 8 跟踪训练1 已知函数 ,求 的值. 解 ,则 . 9 【题型二】与复合函数有关的切线问题 例2 求曲线 在点 处的切线方程. 解 ,当 时, ,所以切线的斜率为 ,所以在点 处的切线方程为 ,即 . 规律方法 解决此类问题的关键点 （1）求复合函数的导数,注意把复合函数逐层分解,求导时不要有遗漏; （2）求切线方程,注意切线所过的点是否为切点. 10 跟踪训练2 设曲线 在点 处的切线 与 轴、 轴所围成的三 角形的面积为 ,求 的解析式. 解 ,故在点 处的切线 的斜率为 ,故切线 的方程为 令 ，得 .令 ，得 ,所以 . 11 【题型三】求导法则的综合应用 例3 已知函数 ,设曲线 在点 处的切 线为 ,若直线 与圆 也相切,求实数 的值. 解 因为 , ,所以 ,所以切线 的方程 为 ,即 . 因为直线 与圆 也相切,所以圆心到直线 的距离等于半径,即 ,解得 . 12 规律方法 关于复合函数导数的应用及其解决方法 （1）应用:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用. （2）方法:先求出复合函数的导数,若切点已知,则求出切线斜率、切线方程；若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标. 13 跟踪训练3 若将本例中条件改为“直线 与圆 相交”,求实数 的取值范围. 解 由例3知,直线 的方程为 因为直线 与圆 相交,所以圆心到直线 的距离小于半径,即 ,解得 . 故 的取值范围为 , . 14 成果验收•课堂达标检测 15 A层 基础达标练 1.已知函数 ，且 ，则 等于( ) A A.1 B. C.2 D. 2.设函数 ,则 ( ) C A. B. C. D. 3.函数 的导数为( ) B A. B. C. D. 4.曲线 在点 处切线的斜率 ( ) C A. B. C.6 D.2 16 5.函数 的导数是_ ___________________. <m></m> （ <m></m> ） <m></m> 6.已知函数 ，则 ___. 2 7.已知函数 ，若 ，则 _ ___. <m></m> 17 8.求下列函数的导数： （1） ; 解 令 ,则 . . （2） ; 令 ，则 , . （3） ; 设 , ,则 . 18 （4） . , . 19 B层 能力提升练 9.已知函数 ，则 ( ) C A. B.0 C.1 D.2 10.曲线 在点 处的切线与直线 和 所围成的三角形的面积 为( ) A A. B. C. D.1 11.（多选题）已知点 在曲线 上, 为曲线在点 处的切线的倾斜角,则 的 取值可以是( ) CD A. B. C. D. 20 12.（多选题）给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，则称 在 上为凸函数.以下四个函数在 上是凸函数的是 ( ) AB A. B. C. D. 21 [解析] 对于A， ，令 ,则 ，因为 ， ，所以 ，所以 在 ， 上是凸函数，故A正确；对于B， ，令 ,则 ， 故 在 ， 上是凸函数，故B正确；对于C, ，令 ,则 ，故 在 ， 上不是凸函数，故C错误；对 于D, ，令 ，则 ，故 在 ， 上不是凸函数，故D错误.故选 . 22 13.设函数 在 内可导，其导函数为 ，且 ，则 _ _____. <m></m> 14.设函数 ,若 是奇函数,则 __. <m></m> 15.设函数 ,曲线 与直线 在点 处相切,则 ___, _ ___. 0 <m></m> 23 16.已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是________.（填序号） ； ； ； ； . ①③⑤ [解析] ，则 ,解得 或 ，有“巧值点”； ， 无解，无“巧值点”； ，方程 有解， 有“巧值点”； ，方程 无解，无“巧值点”； ，方程 有解， ，有“巧值点”. 24 17.有一把梯子贴靠在笔直的墙上,已知梯子上端下滑的距离 单位: 关于时间 单位: 的函数为 .求函数在 时的导数,并解释它的实际意义. 解 函数 可以看作函数 和 的复合函数,其中 是中间变量. 由导数公式，得 , . 由复合函数求导法则，得 . 将 代入 ,得 它表示当 时,梯子上端下滑的速度为 . 25 18.已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，若 ，均有 ，则 称函数 为 上的“梦想函数”. （1）已知函数 ，试判断 是否为其定义域上的“梦想函数”， 并说明理由； 解 函数 不是其定义域上的“梦想函数”.理由如下： 的定义域为 ， ，存在 ，使得 ，故 不是其定义域上的“梦想函数”. 26 （2）若函数 ， 为其定义域上的“梦想函数”，求实数 的 取值范围. ，所以 .若函数 在 上为“梦想函 数”，则 在 上恒成立，即 在 上恒成立.因为 在 上的值域为 , ，所以 ，所以实数 的取值范围为 , . 27 $$