5.3.1 单调性（第1课时 单调性）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.3.1 单调性 第1课时 单调性 【课标要求】 1.结合实例，借助图象直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.导数与函数的单调性 一般地,在某区间上函数 的单调性与导数 有如下关系: 条件 结论 单调递增 单调递减 常数函数 4 名师点睛 （1）直观表示 （2）一般地,可导函数 在区间 上单调递增（减）的充要条件是:对 任意的 ,都有 ,且 在区间 的任何子区间上都不 恒等于0. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】函数图象与导函数图象的关系 例1 （多选题）在同一坐标系中作出三次函数 及其 导函数的图象,下列一定不正确的是( ) CD A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& [解析] 易知 ,它是二次函数,图象为抛物线. 当 时, 单调递增；当 时, 单调递减 ,B中函数 图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的；C中导函数为负的区间内相应的函数 不单调递减,故错误；D中导函数为正的区间内相应的函数不单调递增,故错误.故选 . 7 规律方法 函数图象的升降可以通过导数的正负来分析判断,即符号为正,图象上升；符号为负,图象下降.看导函数图象时,主要是看图象在 轴上方还是下方,即关心导数值的正负,而不是其单调性.解决问题时,一定要分清是函数图象还是其导函数图象. 8 跟踪训练1 若偶函数 为 的导函数, 的图象如图所示,则 函数 的图象可能为( ) B A.&5& B.&6& C.&7& D.&8& [解析] 由题意，得 为偶函数,设 的图象与 轴的两个交点的横坐标分别为 , , .由图象可得,当 时, ,则 单调递增,当 时, ,则 单调递减,当 时, ,则 单调递 增,故选项A错误,选项D错误；由 的图象可知, 在 左右的值是变化的, 而选项C中, 的图象在 左右是一条直线,其切线的斜率为定值,即导数 为 定值,故选项C错误,选项B正确.故选B. 9 【题型二】判断（证明）函数的单调性 例2（1） 求证:函数 在区间 上是单调递增的,在区间 上是单调递减的； 证明 因为 ,所以 当 时, ,即 ，故函数 在区间 上是单调递增的； 当 时, ,即 ，故函数 在区间 上是单 调递减的. 10 （2）判断函数 在区间 上的单调性. 解 因为 , 所以 . 因为 ,所以 , 故 ， 所以函数 在区间 上单调递增. 11 规律方法 （1）利用导数证明函数 在给定区间上的单调性,实质上就是证明 或 在给定区间上恒成立. （2）利用导数判断可导函数 在区间 上的单调性,步骤是:①求 ；② 确定 在区间 上的符号；③得出结论. 跟踪训练2 已知函数 求证: 在区间 上单调递增. 证明 因为 ,所以 在区间 上单调递增. 12 【题型三】求函数的单调区间 例3 求下列函数的单调区间: （1） ； 解 的定义域为 , .由 ,得 ,解 得 或 ；由 ,得 .故 的增区间是 和 ，减区间是 . （2） . .因为 ,所以 恒成立,故所求的减区间为 ,无增区间. 13 规律方法 求函数 的单调区间的步骤 14 跟踪训练3 求下列函数的单调区间： （1） ； 解 的定义域为 , . 令 ,得 或 ； 令 ,得 或 .故 的增区间是 和 ，减区间是 和 . 15 （2） . 函数 的定义域为 , .令 ,即 解得 ；令 ,即 解得 . 故函数 的增区间为 ，减区间为 . 16 成果验收•课堂达标检测 17 A层 基础达标练 1.函数 的单调递减区间是( ) B A. B. C. D. 2.已知 在 上是可导函数, 的图象如图所示,则不等式 的解集为( ) C A. B. C. D. 3.函数 的单调递增区间为( ) A A. B. C. D. 18 4.（多选题）函数 在区间 上的单调性是( ) AC A.在 上单调递减 B.在 上单调递增 C.在 上单调递增 D.在 上单调递减 5.函数 的图象如图所示, 为函数 的导函数,则不 等式 的解集为______________________. （ <m></m> , <m></m> ） <m></m> （0,1） 19 6.判断函数 的单调性. 解 函数 的定义域为 , . 当 时, ； 当 时, ； 当 时, . 故 在 和 上单调递增,在 上单调递减. 20 B层 能力提升练 7.[2023南京期末] 函数 的单调递增区间为( ) C A. B. C. D. 8.已知函数 的导函数 的图象如图所示,则该函数的图象可能是( ) B A.&1& B.&2& C.&3& D.&4& 21 9.函数 的导函数 在区间 上的图象大致是( ) A A.&5& B.&6& C.&7& D.&8& 22 10.（多选题）已知函数 的定义域为 ,其导函数 的图象 如图所示,则对于任意 , ,下列结论正确的是( ) AD A. B. C. D. [解析] 由题图可知, 是 上的减函数,且递减速度越来越慢,所以 图象的割线 斜率 为负,即 ,故A正确,B错误； 表示 对应的函数值, 表示 和 时所对应的函数值 的平均值,显然有 ,故C错误,D正确.故选 . 23 11.函数 的减区间为_ ____________. （ <m></m> , <m></m> ） 12.函数 的单调递减区间为________. （0,1） 13.[2023淮安期末] 已知定义在区间 上的函数 ，则 的单 调递增区间为_ ______. <m></m> , <m></m> [解析] 因为 ,则 .令 ,即 ,且 ,所以 , ,所以 的单 调递增区间为 , . 24 14.已知函数 是 上的偶函数,且在 上有 ,若 ,则关于 的不等式 的解集是_ _______________________. （ <m></m> , <m></m> ） <m></m> （0,1） [解析] 因为在 上， ,所以 在 上单调 递增. 又 为偶函数,所以 ,且 在 上单 调递减, 的草图如图所示, 所以 的解集为 . 25 15.已知函数 的图象在点 处的切线方程为 . 26 （1）求函数 的解析式； 解 因为 的图象在点 处的切线方程为 ,所以 ,且 ,解得 , 所以 .① 又 , 所以 由①②，得 , （因为 ，所以 舍去）， 所以所求函数的解析式是 . 27 （2）求函数 的单调区间. 由（1）知, . 令 ,解得 , ,当 或 时, ；当 时, .所以 的单调递增区间是 ；单调递减区间是 和 . 28 C层 拓展探究练 16.（多选题）若函数 是自然对数的底数 在 的定义域上是 增函数,则称函数 具有 性质,则下列函数中具有 性质的是( ) AB A. B. C. D. 29 17.已知函数 为常数, 为自然对数的底数 ,曲线 在点 处的切线与 轴平行. （1）求实数 的值； 解 由 ,得 . 因为曲线 在点 处的切线与 轴平行,所以 ,即 ,解得 . 30 （2）求函数 的单调区间. 由（1）知, . 设 , 则 . 可知 在 上单调递减.由 知,当 时, ,故 ； 当 时, ,故 . 综上, 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 . 31 $$