5.3.1 单调性（第2课时 含参数的函数单调性问题）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.3.1 单调性 第2课时 含参数的函数单调性问题 【课标要求】 1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系. 2.会利用分类讨论的思想解决含参数的函数的单调性问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点.分类讨论思想研究函数的单调性 讨论含参数的函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况，所以讨论 的关键是抓住导函数解析式中的符号变化部分.讨论时要考虑参数所在的位置及参数取 值对导函数符号的影响，一般来说需要进行四个层次的分类：（1）最高次幂的系数是 否为0；（2）导函数是否有变号零点；（3）导函数的变号零点是否在函数定义域或指 定区间内；（4）导函数的变号零点之间的大小关系. 对于 进行求导得到 ，对 初步处理（如通分），提出 的 恒正部分，将该部分省略，留下的部分称为 的有效部分 如： ，则记 为 的有效部分 . 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】有效部分为一次函数型 例1 已知函数 ,讨论 的单调性. 解 ， .①当 时， 恒成立， 在区间 上单调递增；②当 时，令 ，得 ；令 ， 得 ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.综上， 当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；当 时， 在区间 上单调递增． 6 题后反思 求解此类题目的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求函数 的导数 ； （3） 为一次函数或者通分后的分子是一次函数；（4）若一次项系数含参数,则 对参数进行讨论；（5）令 或者通分后的分子等于0,求根为 ；（6）结合一 次函数的单调性和定义域判断 异侧的正、负情况,然后判断函数 的单调性. 7 解 函数 的定义域为 ， 当 时，对任意的 ， ，此时， 函数 的减区间为 ，无增区间；②当 时，由 ，得 ，由 ，得 .此时，函数 的减区间为 ，增区间为 .综上，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；当 时，函数 的减区间为 ，增区间为 . 跟踪训练1 设函数 ，其中 ，求 的单调区间. 8 【题型二】有效部分为二次函数型 角度1 可因式分解的二次函数型 例2 已知函数 , .讨论 的单调性. 解 根据题意，可得 的定义域为 ． ， 由 ，得 .①若 ，则 ，当 时， ；当 时， ，故 在区间 上单调递增，在区间 上单调 递减．②若 ，则 ，当 时， ，当 时， ，故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．综上，当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增． 9 题后反思 求解此类题目的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求函数 的导数 ； （3） 为二次函数或者通分后的分子是二次函数；（4）先讨论二次项系数是确定 的常数还是不确定的参数,若确定，则定开口方向;若不确定,则分为 , , 三种 情况；（5）若二次项系数可以等于0,则转化为一次型,同一次型方法,不等于0时,因式分 解；（6）因式分解后,令分子等于0,求根 和 （若根是分母含参数的分数,又对分母 等于0时单独讨论）；（7）结合开口方向、 和 的大小和二次函数的图象,判断在 定义域内的正、负情况,进而确定函数的单调性. 跟踪训练2 已知函数 .讨论 的单调性. 10 解 由题意，得 ①当 ，即 时， 恒成立，故 在区间 上单调递减；②当 ， 即 时，由 ，得 或 ；由 ，得 ， 所以 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增； ③当 ，即 时，由 ，得 或 ；由 ， 得 ，所以 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增.综上,当 时， 在区间 上单调递减；当 时， 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调递增； 当 时， 在区间 和 上单调递减，在区间 上单调 递增. 11 角度2 不可因式分解的二次函数型 例3 已知函数 .讨论 的单调性. 解 . 的 判别式 .当 ，即 时， ，函数 在区间 上单调递增；当 ，即 时，方程 的两根为 , ，当 时， ，当 时， , 单调递减，当 时， , 单调递增；当 时， ， 当 时， , 单调递增，当 12 时， , 单调递减，当 时， , 单调递增. 综上，当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 , 上单调递增；当 时， 在区间 , 上单调递增，在区间 , 上单调递减. 题后反思 求解此类题目的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求函数 的导数 ； （3） 为二次函数或者通分后的分子是二次函数；（4）先讨论二次项系数是确定 的常数还是不确定的参数,若确定，则定开口方向，若不确定,则分为 , , 三 种情况；（5）若二次项系数可以等于0,则转化为一次型,同一次型方法,不等于0时,不可 因式分解；（6）结合开口方向先判别 的情况.开口向上，则函数单调递增,开口 向下，则函数单调递减；（7） 时,用求根公式求出 和 ,结合开口方向和二次 函数的图象,判断在定义域内的正、负情况,进而确定函数的单调性. 跟踪训练3 已知函数 , ，函数 的导函数为 .讨论 的单调性. 14 解由 ，得函数的定义域为 ，且 .令 ，即 ，①当 ，即 时， 恒成立， 在区间 上单 调递增；②当 ，即 时，令 ， ，当 时， ， 的解为 或 ， 的解为 ,故 在区间 ， 上单调递增，在区间 上单调递减； 当 时， ，同理, 在区间 上单调递减，在区间 上 单调递增． 15 角度3 准二次函数型 例4 已知函数 .讨论 的单调性. 解 的定义域为 ， .当 时， 恒成 立， 在 上单调递减；当 时，当 时， ，当 时， ，则 在区间 上单调递减，在区间 上单调 递增.综上，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增． 16 题后反思 函数求导后,导函数是可分解成两个因式相乘的非二次函数,讨论函数的单调性可以参考可因式分解型的二次函数方法. 17 跟踪训练4 设函数 , .讨论 的单调性. 解 当 时， ，令 ，得 ，故当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.②当 时，令 ,得 ， ,当 ，即 时，当 和 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减； 当 ，即 时， ， 单调递增；当 ，即 时，当 和 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.综上，当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；当 时， 在区间 和 上单调递增，在区间 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 和 上单调 递增，在区间 上单调递减． 【题型三】有效部分为指数型或对数型 例5 已知函数 .讨论 的单调性. 解 .当 ， 恒成立， 在 上单调递增；当 ， 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 20 题后反思 求解此类题目的步骤：（1）求函数的定义域；（2）求函数 的导数 ； （3） 为含有指数（或对数）的类一次型函数,或者通分后的分子是这类；（4） 若系数含参数,则对参数分为正数、0、负数进行讨论,先讨论分子恒 或者恒 时 的情况；（5）令 或者通分后的分子等于0,求根为 ；（6）结合类一次函数 的单调性和定义域判断 异侧的正、负情况,然后判断函数 的单调性. 跟踪训练5 已知函数 ， ，其中 是 的导函数.讨论 的单调性. 21 解 ， ， .当 时， ， 恒成立，故 在 上单调递增； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 ，故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上 单调递增. 22 成果验收•课堂达标检测 23 A层 基础达标练 1.若函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是 ( ) B A. B. C. D. 2.定义在 上的函数 与函数 在 上具有相同的单 调性，则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 24 3.已知函数 .讨论函数 的单调性. 解 由 ，得 ， .当 时， ， 所以 在 上单调递减；当 时， .当 时， ， 在 , 上单调递增；当 时， ， 在 , 上 单调递减. 综上，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 , 上单调递 减，在 , 上单调递增. 25 B层 能力提升练 4.（多选题）若函数 恰好有三个单调区间，则实数 的取值 可以是( ) AB A. B. C.0 D.3 [解析] 当 时， ，显然不满足题意；当 时， .因为 恰好有三个单调区间，所以 有两个零点，即 ，解得 .综上， 的取值范围为 .故选 . 26 5.设函数 .讨论 的单调性. 解 由 ，定义域为 ，得 .当 时，因为 ， 所以 ，故 在 上单调递减；当 时，因为 ，所以由 ，得 ，由 ，得 ，故 在 , 上单调递减，在 , 上单调递增. 27 6.已知函数 .讨论 的单调性. 解 .当 时， ， 在 上单调递增；当 时，令 ，则 ，当 , 时， ， 单调递减，当 , 时， ， 单调递增. 综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 , 上单 调递减，在 , 上单调递增. 28 C层 拓展探究练 7.函数 在定义域内的一个子区间 上不是单调函数，则 实数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 29 8.设函数 ，其中 .当 时，求函数 的单调区间. 解 ， .当 时， 恒成立，则 在 上单调递减；当 时， 令 ，得 ，则 ，解得 ，令 ，得 . 综上，当 时， 的单调递减区间为 ；当 时， 的单调递增 区间为 , ，单调递减区间为 , . 30 $$