5.3.1 单调性（第3课时 函数单调性的应用）课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.3.1 单调性 第3课时 函数单调性的应用 【课标要求】 1.掌握函数的单调性与导函数符号之间的关系. 2.能够根据函数的单调性求出参数的值或取值范围. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.导数与函数单调性的关系 对于函数 ，如果在某区间上 ，那么 在该区间上单调递增；如果在某区间上 ，那么 在该区间上单调递减. 4 知识点2.由函数 的单调性求参数的取值范围的方法 （1）已知函数 在区间 上单调. ①已知 在区间 上单调递增 ， 恒成立. ②已知 在区间 上单调递减 ， 恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数 在区间 上存在单调区间. ①已知 在区间 上存在单调递增区间 ，使得 有解. ②已知 在区间 上存在单调递减区间 ，使得 有解. （3）已知函数 在区间 上不单调 ，使得 有变号零点. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】已知函数 在区间 上单调递增或递减问题 例1 已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的 取值范围为( ) D A. B. C. D. [解析] .因为 在区间 上单调递增，所以 在区间 上恒成立.令 ，则要满 足 或 .由①得 ，由②得 . 综上，实数 的取值范围是 ．故选D. 7 题后反思 （1）已知可导函数 在区间 上单调递增，则在区间 上 恒成立； （2）已知可导函数 在区间 上单调递减，则在区间 上 恒成立. 8 跟踪训练1（1） 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的 取值范围是( ) B A. B. C. D. [解析] 依题意，得 在区间 上恒成立，即 在区 间 上恒成立.令 ，则 ，所 以 在区间 上单调递增，则 ，所以 .故选B. 9 （2）已知函数 在区间 ， 上单调递增，在区 间 上单调递减，则实数 的取值范围为_ _________. <m></m> [解析] 由 ，得 .因为 在区间 ， 上单调递增，在区间 上单调递减，所以方程 的两 个根分别位于区间 和 上，所以 即 解得 . 10 【题型二】已知函数 在区间 上存在单调区间问题 例2 若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是 _____________. （ <m></m> , <m></m> ） [解析] .由题意知， 在区间 上有解， 即 有解，当 时，显然满足；当 时，只需 ，解得 .综上， 的取值范围是 . 11 题后反思 （1）已知可导函数 在区间 上存在增区间，则 在区间 上有解； （2）已知可导函数 在区间 上存在减区间，则 在区间 上有解. 12 跟踪训练2 设 . （1）若 在区间 上存在单调递增区间，求 的取值范围； 解 ，当 时， ，则当 时，令 ，得 ，所以当 , 时， 在区间 上存在单调递增区间. 13 （2）若 在区间 上单调递减，求 的取值范围. 由（1）得，当 时， ，则当 时，令 ，得 ，所以当 , 时， 在区间 , 上单调递减. 14 【题型三】已知函数 在区间 上不单调问题 例3 已知函数 在区间 上不单调，则 的取值范围是 ( ) A A. B. C. D. [解析] 依题意， ，故 在区间 上有零点.令 ，令 ，得 .令 ， 则 .由 ，得 ， 单调递增.又由 ，得 ，故 ，所以 的取值范围是 .故选A. 15 题后反思 可导函数在已知区间上不单调，转化为导数在区间内存在变号零点.通常有两种方法:①用分离变量法求解参变量范围；②转化为导函数 在区间 上有解，且解不取区间 的端点. 16 跟踪训练3 已知函数 在区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 17 [解析] 因为 在区间 上不是单调函数，所以 在区间 上有解，即 在区间 上有解．令 ，则 ．当 时， ；当 时， ．故 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．又因为 , , ，且当 时， ,所以 在区间 上单调递增，所以 ，解得 .故选A. 18 【题型四】已知函数 的单调区间为 ，求参数的值 例4 已知函数 的单调递减区间为 ，则( ) B A. B. C. D. [解析] 由 ，得 .又 的单调递减区间是 ，所以 和1是方程 的两个根，代入得 .经检验,满足题意.故 选B. 19 题后反思 已知函数 的单调区间为 ,则 和 是函数的导数等于0的解,代入 和 可求参数. 20 跟踪训练4（1） 若函数 的单调递减区间为 ，则 ( ) A A. B. C.8 D.10 [解析] ，由题意，知 是不等式 的解集，所以 ，3是 的两个根，所以 ， ，所以 .故选A． 21 （2）已知函数 的单调递减区间为 ，若 ， 则 的最大值为___. 6 [解析] 由 ，得 ．令 ,即 ，解得 ，所以函数 的单调递减区间为 , ，所以 ，解得 ，所以 的最大值为6. 22 成果验收•课堂达标检测 23 A层 基础达标练 1.若函数 的单调递增区间为 ，则 的取值范围为( ) A A. B.6 C.6或 D. 2.函数 在 上单调递增，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 3.若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围 是( ) D A. B. C. D. 24 4.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围 是_ __________. <m></m> , <m></m> 5.[2023南京期末] 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围为 _ _____. <m></m> , <m></m> 25 6.已知函数 , . （1）若 在 处的切线与直线 垂直，求 的值； 解 因为 , ， 所以 ,所以 ， 所以 在 处的切线的斜率为 . 因为 在 处的切线与直线 垂直， 所以 ， 即 ，解得 . 26 （2）若 存在单调递减区间，求实数 的取值范围. 因为 ,所以 . 存在单调递减区间等价于 在 上有解,即 在 上有解. 令 ,所以只需 因为 ,即 ,所以实数 的 取值范围为 27 B层 能力提升练 7.“函数 在 上是增函数”是“ ”的( ) A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 9.已知函数 在区间 上存在单调递增区间，则实数 的 取值范围是( ) A A. B. C. D. 28 10.（多选题）已知函数 在 上单调递增，则实数 的所 有可能取值是( ) ABC A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 由题意，得 在 上恒成立，即 ，整理 得 ，即 .又 在 上单调递增， 所以最小值为 ，故 ，结合选项知， 可取0，1，2.故选 . 29 11.若函数 在 上存在单调递减区间，则 的取值范围是 _ ________. <m></m> , <m></m> [解析] ，则原命题等 价于 在 , 上有解，即 在 , 上有解，即 在 , 上有解.因为 ，且 在 , 上单调递减，所以当 时， ，所以 . 30 12.已知函数 ， . 解 ， ,所以 . （1）若函数 存在单调递减区间，求实数 的取值范围； 若函数 在 上存在单调递减区间，则当 时， 有解，即 有解.设 ，所以只要 又 ，所 以 ,所以 ,即实数 的取值范围是 . 31 （2）若函数 在 上单调递减，求实数 的取值范围. 因为 在 上单调递减，所以当 时， 恒成立， 则 恒成立.设 ， ,所以 又 ， ，因为 ，所以 , ，所以 （此时 ），所以 .又当 时， .因为 ，所以 ，当且 仅当 时，等号成立,所以 在 上单调递减.故实数 的取值范围是 , . 32 C层 拓展探究练 13.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为 _ _________. <m></m> , <m></m> [解析] 由 ，得 . 若函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立. 令 ， ，则 ， 再令 ， ，则 . 因为 ，所以 ，所以 在 上恒成立， 33 则 在 上单调递增，故 . 当 时， ，此时 ，则 在 上单调递增， 则 ，此时符合 在 上恒成立. 当 时， ， ，使得 ，故当 时， ，即 ；当 时， ，即 .故 在 上单调递减，则当 时， ，此时 ，不符合题意. 综上，实数 的取值范围为 , . 14.已知函数 ， ，其中 .若存在区间 ，使得 与 在区间 上具有相同的单调性，求实数 的取值范围. 解 由题意，知 ， .当 时， ，即 在 上单调递增，而 在 , 上单调递增，故必存在区间 ，使得 与 在区间 上单调递增；当 时， ，故 在 上单调递减，而 在 上单调递增，故不存在满足条件的区间 ；当 时， ，即 在 上单调递减，而 在 , 上单调递减，在 , 上单调递增，若存在区间 ，使得 与 在区间 上具有相同的单调性，则有 ，解得 .综上，实数 的取值范围为 . 35 $$