5.3.3 最大值与最小值课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 5.3.3 最大值与最小值 【课标要求】 1.理解最值的概念. 2.了解最值与函数极值的区别与联系. 3.会求某闭区间上的最值和生活中的最值问题. 2 要点深化·核心知识提炼 3 知识点1.函数的最大值与最小值 （1）如果在函数定义域 内存在 ,使得对任意的 ,总有 ,那么 为函数在定义域上的最大值. （2）如果在函数定义域 内存在 ,使得对任意的 ,总有 ,那么 为函数在定义域上的最小值. 名师点睛 求可导函数 在区间 上的最大值与最小值的步骤 （1）求 在区间 上的极值； （2）将第一步中求得的极值与 , 比较,得到 在区间 上的最大值 与最小值. 4 知识点2.导数的实际应用 导数在实际生活中有着广泛的应用,如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题,从而可用导数来解决. 名师点睛 用导数解决实际生活问题的基本思路 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】求函数的最大值与最小值 例1 求下列函数的最大值与最小值: 7 （1） , ； 解 .令 ,得 或 . 当 变化时, , 的变化情况如下表: 0 2 4 0 - 0 极大值3 极小值 35 当 时, 取得最大值35; 当 时, 取得最小值 . 故 的最大值为35,最小值为 . 8 （2） , , 为正实数. .当 时, 恒成立,即 在区间 上单调递减.故当 时, 有最小值 ；当 时, 有最大值 .故 的最小值为 ,最大值为0. 规律方法 求解函数在闭区间上的最大值与最小值,需注意以下几点 （1）对函数进行准确求导,并检验 的根是否在给定区间内; （2）研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值; （3）比较极值与端点函数值的大小,确定最大值与最小值. 9 跟踪训练1 求下列函数的最大值与最小值： （1） , ； 解 . 因为 在区间 内恒大于0,所以 在区间 上单调递增.故当 时, ；当 时, .故 的最小值为 ,最大值为2. （2） , . , ，令 ,解得 或 . 又 , , , ，所以当 时, 有 最小值 ；当 时, 有最大值 . 10 【题型二】求含参数函数的最大值与最小值 例2 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）求 在区间 上的最大值 . 11 （1） 因为 , 所以 . ①当 时,令 ,解得 ；令 ,解得 ,故 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. ②当 时, 恒成立, 在区间 上单调递减.综上,当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减;当 时, 在区间 上单调递减. 解 的定义域是 . 12 （2） 由（1）知,当 时, 在区间 , 上单调递减,则 ; 当 时, 在区间 , 上单调递增,在区间 上单调递减, 则 ; 当 时, 在区间 , 上单调递增, . 综上,当 时, ； 当 时, ； 当 时, . 13 规律方法 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0这三种情况.若导函数恒大于0或恒小于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得；若导函数可能等于0,则先求出极值,再与端点的函数值比较后确定最值. 跟踪训练2 已知 为常数,求函数 的最大值. 解 若 ,则 ,函数 单调递减,所以 当 时,有最大值 .若 ,令 ,解得 .因为 ,所 以只考虑 的情况. 14 当 时, 有最大值 .若 ,即 时,则当 时, ,函数 在区间 上单调递增,当 时, 有最大值 . 综上,当 时, 有最大值0；当 时, 有最大值 ;当 时, 有最大值 . 0 1 0 - 0 若 ,即 ,当 变化时， ， 的变化情况如下表： 15 【题型三】由函数的最值求参数问题 例3 已知函数 ,当 时, 的最大值为3,最小值为 ,求 , 的值. 解 由题设知 ,否则 为常数,与题设矛盾. . 令 ,得 , （舍去）. 16 ①当 时, 变化时, , 的变化情况如下表: 0 2 0 - 由表可知,当 时, 取得最大值，所以 ,即 . 又 , ,所以 ,解得 . ②当 时,同理可得,当 时, 取得最小值 ,所以 . 又 , ,所以 ,解得 . 综上, , 或 , . 17 规律方法 已知函数在某区间上的最值求参数的值（或取值范围）是求函数最值的逆向思维,一般先求导数,然后利用导数研究函数的单调性及极值,探索最值,根据已知最值列方程（或不等式）解决问题. 跟踪训练3 已知函数 在区间 上的最大值是28,求实数 的取值范围. 18 解 因为 , 所以 . 令 ,得 , , 当 变化时, , 的变化情况如下表: 1 0 - 0 28 当 时, 有极大值28； 当 时, 有极小值 . ,若 在区间 上的最大值为28,则 ， 所以 的取值范围为 . 19 【题型四】实际生活中的最值问题 角度1 面积、体积的最值问题 例4 请你设计一个包装盒,如图, 是边长为 的正方形硬纸片,切去阴影部分的四个全 等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 , , , 四个点重合于图中的点 ,正好形成一个正 四棱柱形状的包装盒, , 在 上,是被切去的 一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设 . 20 （1）某广告商要求包装盒的侧面积 单位: 最大, 应取何值? （1） , 所以当 时, 取得最大值. 解 设包装盒的高为 ,底面边长为 . 由已知，得 , , （2）某厂商要求包装盒的容积 单位: 最大, 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值. 21 , . 由 ,得 （舍去）或 . 当 时, ；当 时, .故当 时, 取得极大值,也是 最大值， 此时 ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . 22 规律方法 （1）解决面积、体积的最值问题要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导数求解函数的最值. （2）在实际应用时应注意: ①列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域； ②当利用导数的方法解决实际问题,在定义区间内只有一个点使 时,如果函数在这点有极大（小）值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点取得最大（小）值. 23 跟踪训练4 将一张长为 ，宽为 的矩形钢板按如图所 示划线,要求①~⑦全部为矩形,且其中①与③,②与④分别是全 等的矩形, ,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接 （1）写出 关于 的函数关系式; 解 由水箱的高为 , ,得水箱底面的宽为 ,长为 ， 故水箱的容积为 . 成一个以⑦为底,⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为 ,容积为 . 24 （2） 取何值时,水箱的容积最大? 令 , 解得 （舍去）， ， 所以 在区间 , 上单调递增,在区间 , 上单 调递减,所以当 的值为 时,水箱的容积最大. 25 角度2 用料最省、成本（费用）最低问题 例5 如图，位于 , 两点处的甲、乙两村合用一个变压器, 若两村用同型号线架设输电线路,问变压器设在输电干线何 处时,所需电线总长最短. 解 设 ,则 ，所需电线总长 , 从而 . 令 ,即 ,解得 或 （舍去）. 当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增. 故当 时, 取得最小值,即变压器设在 之间离点 的距离为 处时,所需电线总长最短. 26 规律方法 用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中常见的问题,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象,正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答. 27 跟踪训练5 甲、乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米 /时,已知该汽车每小时的运输成本 （单位:元）关于速度 （单位:千米/时）的函数关 系是 . （1）求全程运输成本 （单位:元）关于速度 的函数关系式. 解 由题意,得 . 28 （2）为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?求运输成本的最小值. ,令 ,解得 （舍去）或 .当 时, ；当 时, .故当 时,全程运输成本取得极小值,也是最小值, （元）. 29 角度3 利润（收益）最大问题 例6 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售价 格 （单位：元/千克）满足关系式 ,其中 , 为常数.已 知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. （1）求 的值； 解 因为当 时, ,所以 , . 30 （2）若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. 由（1）知,该商品每日的销售量 ,所以商场每日销售该商品所获得 的利润 ,从而 ,当 变化时, , 的变化情况如下表： 4 0 - 极大值42 所以当 时,函数 取得极大值,也是最大值,且最大值为42. 故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 31 规律方法 利润（收益）最大问题的求解策略 利用导数解决利润（收益）最大问题,关键是灵活运用题设条件,建立利润（收益） 的函数关系式,然后再利用导数方法求出该函数的最大值,即可得到最大利润（收益）. 常见的基本等量关系如下: （1）利润（收益） 收入-成本； （2）利润（收益） 每件产品的利润（收益） 销售量. 解决此类问题需注意两点：①销售价格要大于或等于成本,否则就会亏本；②销售 量要大于0,否则不会获利. 32 跟踪训练6 本例条件换为：该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售价格 单位： 元/千克, 满足：当 时, , 为常数 ；当 时, .已知当销售价格为2元/千克时,每日可销售出该商品800 千克；当销售价格为3元/千克时,每日可售出150千克. （1）求 , 的值,并确定 关于 的函数关系式； 解 由题意知,当 时, ,所以 ;当 时, ,所以 , 所以 .故 33 （2）若该商品的成本为1元/千克,试确定销售价格 的值,使商场每日销售该商品所获 利润 最大. 由题意知， 当 时, 由 ,得 ； 由 ,得 或 , 34 所以 在区间 , 和 上单调递增,在区间 , 上单调递减. 因为 , 所以当 时， 有最大值, . 当 时, ,当 且仅当 ,即 时取等号,所以当 时, 有最大值， . 因为 ,所以当 时, 有最大值1 840. 故当销售价格为5.3元/千克时,商场每日销售该商品所获利润最大. 成果验收•课堂达标检测 36 A层 基础达标练 1.函数 , 的最大值是( ) C A. B. C. D. 2.函数 在区间 上的最大值和最小值分别是( ) C A.1, B.1, C.3, D.9, 3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为 元,销量为 件,则销量 （单位:件）与零售价 （单位:元）有如下关系: ， 则最大毛利润为（毛利润 销售收入-进货支出）( ) D A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元 4.函数 在区间 上的值域为_______. <m></m> , <m></m> 37 5.已知 在区间 上的最大值就是函数 的极大值,则 的取值范围是_ ____________. （ <m></m> , <m></m> ） 38 6.求下列函数的最值: （1） , ； 解 .令 ,即 ,且 , ,所以 . 又因为 , , ,所以当 时,函数的最大值为 ,最小值为 . 39 （2） , . , .令 ,化简为 ,解得 （舍 去）, .当 时, , 单调递增；当 时, , 单调递减,所以 为函数 的极大值.又 , , ,所以 为函数 在 上的最小值, 为函数 在 上的最大值. 40 7.如图,某段铁路 长为80千米, ,且 千米,为 将货物从 地运往 地,现在 上距点 为 千米的点 处修 一公路至点 .已知铁路运费为每千米2元,公路运费为每千米4元. （1）将总运费 表示为 的函数. 解 依题意,铁路 上的运费为 元,公路 上的运费为 元,则由 地到 地的总运费 . 41 （2）如何选点 才能使总运费最少? .令 ,得 或 （舍去）.当 时, ；当 时, .故当 时, 取得最小值,即 当在距离点 为 千米的点 处修一公路至点 时，总运费最少. 42 B层 能力提升练 8.已知函数 ,若对于区间 上的任意 , ,都有 ,则实数 的最小值是( ) A A.20 B.18 C.3 D.0 43 9.函数 与 的最小值分别为 , ,则( ) A A. B. C. D. , 的大小不能确定 [解析] 的定义域是 , .令 ,得 ,令 ,得 ,则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值是 ,故 . ,定义域为 , . 令 ,则 , ，则 在 上单调 递增,且 , ,故存在 使得 ,即 ,即 ,当 时, , , 单调递减； 当 时, , 单调递增,故当 时,函数取得最小值 ,即 ,所以 .故选A. 44 10.当 时，函数 取得最大值 ，则 ( ) B A. B. C. D.1 45 11.已知函数 若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根 , ，则 的最小值为( ) D A. B. C. D. 46 12.（多选题）定义在 上的函数 的导函数的图象如图所 示，则下列说法正确的是( ) ACD A.函数 在 上单调递减 B. C.函数 在 处取得极小值 D.函数 存在最小值 47 [解析] 在 上恒成立，则 在 上单调递减，故A正确； 在 上恒成立，则 在 上单调递增，则 ，故B错误；在 上， ，在 上， ,则函数 在 处取得极小值，故C正确;由导函数图象可知 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，故 在两个极小值 和 中产生，故存在最小值，故D正确.故选 . 48 13.若 是直线 上的一点， 是曲线 上的一点，则 的最小值 为_ ___. <m></m> [解析] 因为 是曲线 上的一点，故设 , ，所以点 到直线 的距离为 .令 ，则 .当 , , 单调递增；当 , , 单调递减，所以 ，所以 ，所以 的最小值为 . 49 14.如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形, 再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,当这个正六棱柱容器的底 面边长为_ _时,其容积最大. <m></m> [解析] 如图,设被切去的全等四边形的一边长为 ,则正六棱柱的底面边 长为 ,高为 ,所以正六棱柱的体积 ,则 .令 ,得 （舍去）或 .当 , 时, ;当 , 时, . 故当 时, 有极大值,也是最大值,此时正六棱柱的底面边长为 . 50 15.已知函数 的导数 的最大值为5,则函数 在点 处的切线方程是_________________. <m></m> [解析] 因为 ,所以 . 因为 ,所以 ， 所以 , , . 又 , 所以所求切线方程为 ,即 . 51 16.已知函数 , , ,且曲线 在 处与直线 相切. （1）求 , 的值； 解 . 由曲线 在 处与直线 相切,得 即 解得 52 （2）求 在 上的最大值. 由（1）,得 ,定义域为 . 令 ,得 ；令 ,得 . 所以 在 上单调递增,在 上单调递减,所以 在 上的最大值为 . 53 C层 拓展探究练 17.（多选题）下列说法正确的是( ) AC A. 的最小值为1 B. 的最小值为1 C. 的最小值为1 D. 的最小值为1 54 18.已知函数 . （1）若 ,求函数 的极值； 解 当 时, , ,显然 在 上单调递增,注意到 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 ,无极大值. 55 （2）当 时, ,求 的取值范围. 因为 , , ,所以 ,显然 在 上单调递增,且 , , 所以存在唯一的 , 使 ,即 ,可得 , 且当 时, , 单调递减; 当 时, , 单调递增,所以 ,解得 或 ,所以 , , . 56 $$