第3章 圆锥曲线与方程 章末总结提升课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第3章 圆锥曲线与方程 章末总结提升 网络构建·知识导图 2 3 要点归纳·典例提升 5 要点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.求圆锥曲线方程的常用方法 （1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系 “翻译”成含 ， 的等式就可得到曲线的轨迹方程. （2）定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量. （3）相关点法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程. （4）待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数. 2.求圆锥曲线方程体现了逻辑推理和数学运算、直观想象的数学素养. 6 【典例1】（1） 已知抛物线 的准线过双曲线 的一个 焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为_ __________. <m></m> [解析] 由题意得 解得 则 ,故双曲线的方程为 . 7 （2）在圆 上任取一点 ，设 轴于点 .当点 在圆上运动时，动 点 满足 ，求动点 形成的轨迹方程. 解 由 ,知点 为线段 的中点.设点 的坐标为 ,则点 的坐标为 ,点 的坐标为 . 因为点 在圆 上, 所以 ,整理，得 ， 所以动点 形成的轨迹方程为 8 题后反思 （1）应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件. （2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决. （3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决. 9 跟踪训练1（1） [2023启东模拟] 已知椭圆 的左、右焦点分别 为 ， ，右顶点为 ，上顶点为 ，以线段 为直径的圆交线段 的延长线于 点 .若 且线段 的长为 ，则该椭圆的方程为( ) D A. B. C. D. [解析] 设椭圆的半焦距为 ，因为点 在以线段 为直径的圆上，所以 ． 又因为 ，所以 .因为 ，所以 是等腰直角三 角形，于是 也是等腰直角三角形. 因为 ，所以 ，得 .又 ，所以 ，解得 ， ，得 ，所以椭圆的方程为 ．故选D. 10 （2）已知 ， 是抛物线 上两点，当线段 的中点到 轴的距离为3时， 的最大值为( ) C A.5 B. C.10 D. [解析] 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，线段 的中点为 ．如图，分别 过点 ， ， 作准线 的垂线，垂足分别为 ， ， ，连接 ， ．因为线 段 的中点到 轴的距离为3，抛物线 的准线 ，所以 ． 因为 ，当且仅当 ， ， 三点共线时 取等号，所以 ．故选C. 11 （3）已知双曲线 的左、右焦点分别是 ， ，点 是 右支上的一 点（不是顶点），过点 作 的平分线的垂线，垂足为 ， 是原点，则 ___. 4 [解析] 如图，延长 交 于点 . 12 因为 是 的平分线， ，所以 是等腰三角形，所以 ，且 是 的中点．根据双曲线的定义可知 ，即 .因为 是 的中点，所以 是 的中位线，所以 ． 13 要点二 圆锥曲线的几何性质 1.本类问题主要有两种考查类型： （1）已知圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考查重点. （2）已知圆锥曲线的性质求其方程，基本方法是待定系数法，其步骤可以概括为“先定位、后定量”. 2.圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学素养. 14 【典例2】（1）（多选题） 双曲线 的两个焦点为 ， ，以 的实轴为直径的圆 记为 ，过点 作 的切线与 交于 ， 两点，且 ，则 的离心率 为( ) AC A. B. C. D. [解析] 不妨设双曲线的标准方程为 ， ， ． 当两个交点 ， 在双曲线的两支上时，如图1， 图1 15 设过 的直线与圆 相切于点 ，连接 ，由题意知 ，又 ，所以 ． 过点 作 ，交 于点 ．由中位线的性质，可得 ， ．因为 ，所以 ，故 ， ， 所以 ．由双曲线的定义，可知 ，所以 ，所以 ．两边平方，得 ，即 .整理，得 ，所以 ，故 ，即 ． 16 当两个交点 ， 都在双曲线的左支上时，如图2，同理可得 ， ．因为 ，所以 ，可得 ， ， 所以 ，所以 .又 ， 所以 ，即 ，故 ．故选 ． 图2 17 （2）[2023厦门期中] 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，射线 与 轴交于点 ，与抛物线 的准线交于点 ， ，则 的值等于( ) B A. B.2 C. D.4 18 [解析] 如图， 设点 到抛物线的准线的距离为 ，抛物线的准线与 轴的交点记为 点 ． 由抛物线的定义，知 ． 因为 ，所以 ， 即 ， 所以 ， 即 ，解得 ．故选B. 19 题后反思 （1）在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合椭圆（或双曲线）的定义，运用平方的方法，建立与 的联系. （2）利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形（如三角形、直角梯形等）来联系已知量与 的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算. 20 跟踪训练2 （多选题）如图，已知双曲线 的左、右焦点 分别为 ， ，过点 的直线与双曲线的右支交于 ， 两点.若 ， 则( ) AB A. B.双曲线的离心率 C.双曲线的渐近线方程为 D.原点 在以 为圆心， 为半径的圆上 21 [解析] 设 ，则 .由双曲线的定义 知， ，即 ， ，即 ，所以 ， ，故选项A正确；在 中，由余弦定理知, ， 在 中， ，化简并整理，得 ，所以离心率 ，故选项B正确；双曲线的渐近线方程为 ，故选项C错误；若原点 在以 为圆 心， 为半径的圆上，则 ，与 相矛盾，故选项D错误．故选 ． 22 要点三 直线与圆锥曲线的位置关系 1.直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组 的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量 （或 ）得到关于变量 （或 ）的 一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式. 2.借用直线与圆锥曲线问题培养数学运算的核心素养. 23 【典例3】 已知双曲线 与直线 相交于 ， 两点， 为线段 的中点. （1）当 变化时，求点 的轨迹方程. 解 设 ， ， ， 联立直线 与双曲线 的方程，得 消去 ，得 ． 由 且 ，得 且 ． 由根与系数的关系，得 ， 24 所以 ， ． 由 消去 ，得 ． 由 且 ，得 或 . 综上，点 的轨迹方程为 ，其中 或 ． （2）若 与双曲线 的两条渐近线分别相交于 ， 两点，问：是否存在实数 ，使 得 ， 是线段 的两个三等分点？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 双曲线 的渐近线方程为 设 ， ，联立 得 ， 同理可得 . 因为 ，所以线段 的中点 也是线段 的中点． 若 ， 为线段 的两个三等分点，则 ，即 ，即 26 而 ， ， 所以 ，解得 ，所以存在实数 ，使得 ， 是线段 的两个三等分点． 27 题后反思 直线与圆锥曲线的位置关系的运用常常用到“设而不求”思想，“设而不求”是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.“设而不求”的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求. 28 跟踪训练3 [2023镇江调研] 已知椭圆 的离心率为 ，短轴 长为2. （1）求椭圆 的标准方程； 解 由题意可得 解得 ， ． 故椭圆 的标准方程为 ． 29 （2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 的面积为 （ 为坐标 原点），求直线 的方程. 由题意可知直线 的斜率不为0， 设直线 的方程为 ， ， ．联立 整理,得 ， ， 则 ， ， 故 . 因为 的面积为 ， 30 所以 . 设 ，则 ， 整理,得 ， 解得 或 （舍去），即 ． 故直线 的方程为 ， 即 ． 31 要点四 圆锥曲线的综合问题 1.圆锥曲线的综合问题包括位置关系证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解. 2.圆锥曲线的综合问题的解决培养学生的逻辑推理和数学运算素养. 【典例4】 已知椭圆 的左焦点为 ，左、右顶点及上 顶点分别记为 ， ， ，且 . （1）求椭圆 的方程. 解 依题意得 ， ， ，所以 ， . 由 ，可得 ，即 ，解得 或 （舍去）， 故 ， ， 所以椭圆 的方程为 ． 32 （2）设过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，若直线 ， 与直线 分别交于 ， 两点， 与 轴的交点为 ，则 是否为定值？ 若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由. 是定值. 设直线 的方程为 ， ， ， 联立 消去 并整理，得 ，所以 ， ， 33 直线 的方程为 ，令 ，得 ， 同理可得 ， 所以 ， 故 为定值9． 34 规律方法 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 （1）求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式，化简即可得出定值. （2）求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得. （3）求某线段长度为定值.利用两点间距离公式求得解析式,再根据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 35 跟踪训练4 已知椭圆 的右焦点为 ，圆 ，过点 且垂直于 轴的直线被椭圆 和圆 所截得的弦长分别为 和 . （1）求 的方程； 解 设椭圆 的半焦距为 ，过点 且垂直于 轴的直线被椭圆 所截得的弦长 为 ，则 ；过点 且垂直于 轴的直线被圆 所截得的弦长为 ，则 .又 ，解得 所以 的方程为 ． 36 （2）过圆 上一点 （不在坐标轴上）作 的两条切线 ， ，记 ， 的斜率分 别为 ， ，直线 的斜率为 ，求证： 为定值. 证明 设 ，则 ．① 设过点 且与椭圆 相切的直线方程为 ， 联立 得 ， 则 ， 整理，得 ．② 由题意知， ， 为方程②的两个根， 由根与系数的关系及①，可得 ． 又因为 ， 所以 ， 所以 为定值 ． 37 $$