第一章全等三角形( 知识点 + 分层练习)2024-2025学年苏科版数学八年级上册

· 第一章 全等三角形 【一点就过】 知识点1：能完全重合的图形叫做全等图形，两个图形全等，它们的形状、大小相同 1．下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 2．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（   ） A．  B．  C．  D．   3．在如图所示的正方形网格中，等于 ．    4．把如图所示的由16个小正方形组成的图形，用三种不同的方法沿网格线分割成两个全等图形． 知识点2：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形，它们的对应边相等，对应角相等 5．如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是 ．（填序号）    6．一个三角形的三条边的长分别是，，，另外一个三角形的三条边的长分别是，，，若这两个三角形全等，求的值． 7．如果，那么 8．如图，，其中点A、E、B、D在一条直线上． (1)若，求的大小； (2)若，求的长． 知识点3：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”） 9．如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使，若以“”为依据，则需添加一个条件是 ． 10．如图，点，，，在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 11．如图，已知，，．求证：． 12．如图，在长方形中，，点从点出发，以的速度沿向点运动(到点停止运动)，设点的运动时间为秒： (1)___________．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 知识点4：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”） 13．如图，一块玻璃碎成如图所示的四块，聪明的小强同学只带了第4块去玻璃店，就能配成与原来一样大小的三角形，那么这两块三角形玻璃完全一样的依据是（    ）    A． B． C． D． 14．已知：如图，，，点F、点C在上，．求证：．    15．如图，已知分别交于点M、N．试说明. (1); (2) 16．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 知识点5：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 17．如图，点在上，，，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 18．如图，D是的边上一点，，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，是经过顶点C的一条直线，，E、F分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且E、F在射线上． ①如图1，若，，试判断和的数量关系，并说明理由； ②如图2，若，请添加一个关于α与关系的条件，使①中的条件仍然成立，并说明理由． (2)如图3.若直线经过的外部，，请提出关于，，三条线段数量关系的合理猜想，并说明理由． 20．综合与实践： (1)【问题情境】在综合与实践课上，何老师对各学习小组出示了一个问题：如图1，，，，，垂足分别为点，．请证明：． (2)【合作探究】“希望”小组受此问题的启发，将题目改编如下：如图2，，，点是上一动点，连接，作且，连接交于点．若，，请证明：点为的中点． (3)【拓展提升】“创新”小组在“希望”小组的基础上继续提出问题：如图3，，，点是射线上一动点，连接，作且，连接交射线于点．若，请直接写出的值． 知识点6：三条边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”） 21．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ） A． B． C． D． 22．如图，在和中，，且点在同一条直线上．求证：．    23．①尺规作图，需保留作图痕迹．已知：．求作：，使； ②在用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程中，依据的数学原理是：______    24．在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 知识点7：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 25．如图，在和中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（    ） A． B． C． D． 26．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN． (1)求证△AMB≌△CNA； (2)求证∠BAC＝90°． 27．如图，相交于点O，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 28．如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为 秒时，△ABC才能和△PQA全等． 【知识回顾】 【基础过关】 29．下列四个图形中，属于全等图形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．③和④ 30．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（   ） A．30° B．45° C．60° D．135° 31．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（  ） A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC 32．如图，，若，，则的度数为 ． 33．如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 34．如图，是的中点，．求证：．    35．如图，在和中，，，． 求证：． 36．已知：如图，，，，．求证：．    37．已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，，，． 求证：． 38．如图，在四边形中，，，，垂足分别为E，F，且．求证：． 【巩固提高】 39．如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）． A．4 B．3 C．2 D．1 40．如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．如图，点C是线段AE上一动点（不与A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，有以下5个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的结论有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 42．如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t=_________s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 43．（1）已知如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． （2）思考：已知如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 44．【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 45．模型的发现： 如图 (1)如图1，在中，， ， 直线经过点，且两点在直线的同侧，， ，垂足分别为点，请直接写出和的数量关系； (2)模型的迁移1：位置的改变 如图2，在（1）的条件下，若两点在直线的异侧， 请说明和的数量关系，并证明； (3)模型的迁移2：角度的改变 如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角， 即，其中，（1）的结论还成立吗？若成立 ，请你给出证明 ；若不成立，请说明和的关系 ，并证明． 46．如图1，，，，，连接、，交于点． (1)写出和的数量关系及位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，若、分别平分和，求的度数； (3)如图3，连接、，设的面积为，的面积为，探究与的数量关系，并说明理由． 47．如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．    (1)如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； (2)如图2，将“，”为改“”，其他条件不变，若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能使与全等． (3)在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 48．【问题情境】 如图1，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，，求证：F为的中点． 【探究实践】 （1）小明发现：分别过点A、D向直线作垂线段，利用全等三角形的知识就能解决问题．请你根据小明的发现完成证明过程 【拓展应用】 小华想到了我们研究数学命题的思路，提出问题：这个问题的逆命题成立吗？于是小华写出了已知、求证，并画出了图形 已知：如图2，和均为等腰直角三角形，且顶点O重合，F为中点，求证：． （2）小聪说：我利用倍长中线的方法和全等三角形的知识就能解决这个问题． 请你根据小聪的思路在图2中作出辅助线，并完成证明过程． （3）小刚说：我不但证明了小华的问题，还发现了新结论：线段与线段，与的面积都有一定的数量关系． 请你直接写出小刚说的数量关系． 试卷第18页，共18页 试卷第17页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 2．A 3．/225度 4．见解析 5．②④ 6．的值为或． 7． 8．(1) (2) 9． 10．(1)证明见解析 (2)证明见解析 11．见解析 12．(1) (2) (3)存在，的值为或 13．B 14．见解析 15．(1)见详解 (2)见详解 16．A 17．B 18．(1)见解析 (2)1 19．(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 20．(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)9 21．A 22．见解析 23．①见详解；②全等三角形的对应角相等 24．（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 25．D 26．(1)证明见解析 (2)证明见解析 27．(1)见详解 (2) 28．2或4/4或2 29．A 30．B 31．C 32．/100度 33．（1）见解析；（2）35° 34．见解析 35．见解析 36．见解析 37．见解析 38．见解析 39．B 40．D 41．D 42．1或或12 43．（1）；（2）且 44．【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 45．(1) (2)，见详解 (3)结论成立，见详解 46．(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 47．(1)全等，理由见解析；垂直 (2) (3) 48．（1）见解析；（2）见解析；（3），． 全等图形 全等三角形 两个三角形全等的条件 对应边相等，对应角相等 边角边（SAS） 角角边（AAS） 角边角（ASA） 斜边、直角边（HL） 答案第2页，共3页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$