专题三 勾股定理中的分类讨论思想-2024-2025学年北师大版数学八年级上册核心素养专项培优

专题三 勾股定理中的分类讨论思想 方法归纳：在运用勾股定理的过程中当直角边和斜边不明时需分类讨论.当已知三角形两边,及第三边上的高，不明确三角形形状时，应分以下两种情况讨论: 类型一 直角边和斜边不明确时需分类讨论 1. 直角三角形的两边长为5和12，它的斜边长为（ ）. A. 13 B. C. 13或 D. 13或12 2. 已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（ ）. A. 5 B. C. 12 D. 12或 3. 如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接. （1） 求的长； （2） 当是直角三角形时，求的长. 4. 在四边形中，，，，，. （1） 求的长； （2） 若是直角三角形，求的值. 类型二 腰和底不明确时需分类讨论 5. 已知在中，，，边上的高，则的长是（ ）. A. 21 B. 15 C. 6 D. 21或9 6. 在中，，，则的长为 . 7. 如图，在等腰中，，，垂足为点.已知，. （1） 求与的长； （2） 点是线段上的一动点，当为何值时，为等腰三角形. 类型三 分类讨论思想在勾股定理中的综合应用 8. 如图，在中， ，，，若动点从点出发，以的速度沿折线运动.设运动时间为.当点运动到恰好到点和点的距离相等的位置时，的值为 . 9. 如图，在中， ，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动.设点的运动时间为. （1） 求斜边上的高； （2） ① 当点在上时， ；（用含的代数式表示） ② 若点在的平分线上，求的值. 10. 如图，在中， ，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往点运动，当运动到点时停止，设点运动的时间为，速度为每秒2个单位长度. （1） 当为何值时，是直角三角形； （2） 若是等腰三角形，求的值. 11. 如图，已知在中， ，，，点，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为. （1） 出发后，求的面积； （2） 当点在边上运动时，求能使成为直角三角形的运动时间； （3） 当，两点中有一点落在某内角的平分线上时，请直接写出满足条件的的值. 专题三 勾股定理中的分类讨论思想 类型一 直角边和斜边不明确时需分类讨论 1．D 2．D 3．（1） 解：在 中，，，， ， 是直角三角形，且 . ，， 在 中，. （2） ， ， ， 是直角三角形需分两种情况. ①当 时，， 在 中，， ； ②当 时，，即， 解得，， . 综上所述，的长为 或. 4．（1） 解：，，， ，即 的长度是5. （2） 分两种情况： ①如图1，当 时，由勾股定理，得； ②如图2，当 时，由勾股定理得. 综上所述，的值是13或. 类型二 腰和底不明确时需分类讨论 5．D 6．或 7．（1） 解：由勾股定理，得. 设，则. 在 中，由勾股定理,得， 解得，. （2） 当 时，为等腰三角形. 当 时，如图1，. ， ， ， ，. 当 时，如图2，过点 作 于点. .设，则. ，即， 解得，. 综上，当 或3或3.6时，为等腰三角形. 类型三 分类讨论思想在勾股定理中的综合应用 8．或19 【解析】在 中， ，，， 由勾股定理得 当点 在 上时，设存在点，使得， 此时，. 在 中，， 即，解得， 当 时，. 当点 在 上时，点 为 的中点，，， 当 时，.故答案为 或19. 9．（1） 解：在 中， ，，， . 设边 上的高为，则， ，. 答：斜边 上的高为. （2） ① 【解析】当点 在 上时，点 的运动路程为， . 故答案为. ② 当点 在 的平分线上时，过点 作，如图. 平分，，，. 由①知，，. 在 和 中， . .又，. 在 中，由勾股定理得，解得. 10．（1） 解：由题意得. ，，， ， . ①当 时，， 即，解得， ， . ②当 时，点 和点 重合，. 综上所述，当 或12.5时，是直角三角形. （2） ①当 时，，. ②当 时，. ， ，， ，. ③当 时，如图，过点 作 于点，根据等腰三角形三线合一的性质可得. ，， ， . 综上所述，当 或7.5或9时，是等腰三角形. 11．（1） 解：当 时，，， ，， . （2） 当 时，如图1. ，,， 由勾股定理，得， . 在 中，由勾股定理，得， . 当 时，点 与点 重合， . 综上所述，能使 成为直角三角形的运动时间为4.8或8秒. （3） 当点 落在 的平分线上时，如图2，作 于点. 则， ，解得. 当点 与 重合时，. 当点 落在 的平分线上时，如图3，作 于点. 则，，解得. 当点 与点 重合时，. 当点 落在 的平分线上时，如图4，作 于点，于点. 则， 四边形 是正方形， ， ，， ，. 当点 与 重合时，，此时点 与点 也重合. 综上，或 或 或8或3时，，两点中有一点落在 某内角的平分线上. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$