12.3 角的平分线的性质（知识点+6种题型+练习题）2024-2025学年人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质 1、角平分线性质定理： 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 2、角平分线判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 3、三角形的角平分线： 三角形的三条角平分线交于三角形内一点，�并且这个点到三角形三边的距离相等。 【题型1】利用角平分线的性质求面积 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3，∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝8，AC＝6，若S△ACD＝12，则△ABC面积为（　　） A．24 B．28 C．32 D．48 【解答】解：过D点作DE⊥AB交于点E，DF⊥AC交于点F，如图， ∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF， ∵，AC＝6，∴DF＝4，∴， ∵AB＝8，DE＝DF＝4， ∴，∴S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝12+16＝28， 故选：B． 3．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝10，DE＝3，则△BCE的面积等于（　　） A．9 B．13 C．15 D．30 【解答】解：过E作EF⊥BC于F， ∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC， ∴EF＝DE＝3， ∵BC＝10， ∴△BCE的面积为． 故选：C． 4．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（　　）cm2． A．24 B．27 C．30 D．33 【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图， ∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB， ∴OE＝OD＝3， 同理可得OF＝OD＝3， ∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC OE×ABOD×BCOF×AC （AB+BC+AC）， ∵△ABC的周长是18， ∴S△ABC18＝27（cm2）． 故选：B． 5．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和40，则△EDF的面积为（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．20 【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF＝DH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中，， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△DEF＝S△DGH， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和40， ∴△EDF的面积（50﹣40）＝5． 故选：B． 【小结】 【题型2】利用角平分线的性质求长度 1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC， ∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2， 故选：A． 2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若AB＝14，S△ABD＝14，则CD＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD，∴S△ABDAB•DE14•DE＝14，解得DE＝2，∴CD＝2． 故选：C． 3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，若AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，则△BED的周长为（　　） A．10cm B．12cm C．14cm D．16cm 【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE， 在Rt△ACD和Rt△AED中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE＝6cm，∴BE＝4cm， ∴△BED的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝12cm， 故选：B． 4．如图，AB∥CD，AE，CE分别平分∠CAB和∠ACD，过点E分别作EF⊥AC于点F，EH⊥CD于点H，延长HE交AB于点G，若EF＝1，则GH的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：∵AB∥CD，EH⊥CD，∴EG⊥AB， ∵AE平分∠CAB，EF⊥AC，EG⊥AB，∴EG＝EF＝1， ∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，∴EH＝EF＝1，∴GH＝EG+EH＝1+1＝2．故选：A． 5．如图，AC平分∠DAB，CE⊥AB，BC＝DC，AB＝17，AD＝9，则AE的长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【解答】解：如图，过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于F， ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴CF＝CE，∠DFC＝∠BEC＝90°， 在Rt△DFC和Rt△BEC中，，∴Rt△DFC≌Rt△BEC（HL），∴BE＝DF， 在Rt△AFC和Rt△AEC中，，∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），∴AF＝AE， ∵AB＝17，AD＝9，∴AB+AD＝AE+BE+AF﹣DF＝2AE，∴AE＝13， 故选：A． 【小结】 【题型3】利用角平分线的性质证明 1．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM＝180°， ∴∠MAD+∠ADM＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM； （2）作NM⊥AD交AD于N， ∵∠B＝90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM＝MN，MN＝CM，∴BM＝CM， 即M为BC的中点． 2．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明： （1）CF＝EB． （2）AB＝AF+2EB． 【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC， 在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．∴CF＝EB； （2）∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE． 在Rt△ADC与Rt△ADE中，， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AC＝AE，∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB． 3．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F． （1）说明BE＝CF的理由； （2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长． 【解答】（1）证明：连接BD，CD， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°， ∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD， 在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF； （2）解：在△AED和△AFD中，， ∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF， 设BE＝x，则CF＝x， ∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF， ∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1， ∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4． 4．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE． （1）求∠CAD的度数； （2）求证：DE平分∠ADC； （3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°， ∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°； （2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H， ∵∠FAE＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG， ∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH， ∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC； （3）解：∵S△ACD＝15，∴AD×EGCD×EH＝15，即4×EG8×EG＝15， 解得，EG＝EH，∴EF＝EH，∴△ABE的面积AB×EF7． 5．已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB， （1）如图1，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数； （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC∠ABC60°＝30°， ∵CD平分∠ACB，∴∠DCB∠ACB40°＝20°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ＝180°﹣30°﹣20° ＝130°； （2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC， ∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC， ∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积DF•AC2×4＝4． 【题型4】角平分线的判定 1．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系． 【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDF均为直角三角形， ∵∴△BDE≌△CDF（HL）．∴DE＝DF， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴AD平分∠BAC； （2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD， ∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF． 在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（ASA）． ∴AE＝AF．∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE． 2．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP． （1）求证：CP平分∠ACB； （2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F， 则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离， ∵AP平分∠CAB，BP平分∠ABC，∴PD＝PF，PD＝PE，∴PF＝PE，∴CP平分∠ACB； （2）解：∵∠CAB＝60°，∴∠PAB＝30°，在Rt△PAD中，PA＝4，∴PD＝2， ∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CPA AB•PDBC•PECA•PF （AB+BC+CA）•PD 20×2 ＝20． 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，分别交BD、BC于点G、E，过点B作AE的垂线BF，分别交AE、AC于点H、F． （1）求证：BF平分∠DBC； （2）若∠ABF＝3∠C，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°， ∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠DBC+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C， ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE， ∵∠BGE＝∠ABD+∠BAE，∠BEG＝∠C+∠EAC，∴∠BGE＝∠BEG，∴BG＝BE， ∵BF⊥EG，∴BF平分∠DBC． （2）解：∵∠ABF＝3∠C，∠ABD＝∠C，BF平分∠DBC， ∴∠FBD＝∠FBC＝2∠C，∴5∠C＝90°，∴∠C＝18°． 4．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC． （1）求证：OC平分∠ACD； （2）求证：OA⊥OC； （3）求证：AB+CD＝AC． 【解答】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E， ∵∠ABD＝90゜，OA平分∠BAC，∴OB＝OE， ∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD，∴OC平分∠ACD； （2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，，∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL）， ∴∠AOB＝∠AOE，同理求出∠COD＝∠COE， ∴∠AOC＝∠AOE+∠COE180°＝90°，∴OA⊥OC； （3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得CD＝CE， ∵AC＝AE+CE，∴AB+CD＝AC． 5．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG． （1）求证：GA平分∠DGB； （2）若S四边形DGBA＝6，AF，求FG的长． 【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于H， ∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴S△ABC＝S△AED， 又∵AF⊥DE， 即DE×AFBC×AH， ∴AF＝AH， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG， ∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），∴∠AGF＝∠AGH， 即GA平分∠DGB； （注：由AF＝AH，AF⊥DE，AH⊥BC，也可以直接得到GA平分∠DGB．） （2）∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB， 又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH， ∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6， ∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴Rt△AFG的面积＝3， ∵AF，∴FG3，解得FG＝4． 【小结】 【题型5】尺规作角平分线 1．如图，在△ABC中． （1）作△ABC的角平分线BE，交AC于点E；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作图过程） （2）在线段AB上截取BD，使得BD＝DE，求证：DE∥BC． 【解答】（1）解：如图，射线BE即为所求； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵DE＝DB， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴∠DEB＝∠CBE， ∴DE∥BC． 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝90°，作∠BAC的角平分线，交BC于点D． （1）依题意补全图形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证BD＝2CD． 【解答】（1）解：补全图形如下： （2）证明：∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC＝30°， ∵∠C＝90°， ∴AD＝2CD， ∵∠BAC＝60°，∠C＝90°， ∴∠B＝30°， ∴∠B＝∠BAD， ∴BD＝AD， ∴BD＝2CD． 3．如图，在△ABC中，点E是边AB上的中点，点D是边BC上的点，且AC＝CD （1）用尺规完成以下基本作图：作∠ACD的角平分线CF交AD于F，连接EF．（不写作法和结论，保留作图痕迹） （2）根据（1）中作图，求证：EFBD． 【解答】（1）解：如图，CF为所作； （2）证明：∵AC＝CD，CF平分∠ACD，∴CF为AD的中线，即AF＝DF， ∵点E是边AB上的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EFBD． 4．如图，在△ABC中，BD是高，BE是角平分线，∠EBD＝10°，∠C＝60°． （1）尺规作图（保留作图痕迹）：作△BED的角平分线EF； （2）在满足（1）的条件下，求证：EF∥AB． 【解答】（1）解：如图，线段EF即为所求； （2）证明：∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠BDA＝90°， ∵∠C＝60°，∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°， ∵∠EBD＝10°，∴∠EBC＝∠EBD+∠CBD＝40°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE＝40°， ∴∠ABC＝2∠ABE＝80°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝40°， ∵∠∠BEC＝∠A+∠ABE＝80°，EF平分∠BED， ∴∠FEC∠BEC＝40°，∴∠FEC＝∠A＝40°，∴EF∥AB． 【小结】 【题型6】角平分线的性质与判定综合运用 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E． （1）求证：∠AEC＝∠ACE； （2）若∠AEC＝2∠B，AD＝2，求AB的长． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B， ∵CE平分∠BCD， ∴∠BCE＝∠DCE，∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE， 即∠AEC＝∠ACE； （2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，∴∠B＝∠BCE， 又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝4，∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝8． 2．已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：PE＝PF； （2）若∠BAC＝60°，连接AP，求∠EAP的度数． 【解答】解：（1）过点P作PD⊥BC于D， ∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PD＝PE，PD＝PF，∴PE＝PF； （2）∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC， ∵∠BAC＝60°， ∴∠EAP30°． 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，E为AC上一点，且DE＝CE． （1）求证：DE∥BC； （2）若∠A＝90°，S△BCD＝26，BC＝13，求AD的长． 【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ECD＝∠BCD， 又∵DE＝CE，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠BCD＝∠CDE，∴DE∥BC； （2）如图，过D作DF⊥BC于F， ∵∠A＝90°，CD平分∠ACB，∴AD＝FD， ∵S△BCD＝26，BC＝13，∴13×DF＝26，∴DF＝4，∴AD＝4． 4．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°， ∵∠CEH＝50°，∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°； （2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH， ∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF； （3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH， ∴S△ACD＝S△ACE+S△CEDAC•ENCD•EH（AC+CD）•EM＝21， 即，解得EM＝3，∵AB＝8.5，∴S△ABEAB•EM． 5．如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α． （1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数． （2）如图②，连接OA，求证：AO平分∠BAC． （3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC． 【解答】（1）解：∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°； （2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F， ∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC， ∴OD＝OE，OD＝OF， ∴OE＝OF， ∴OA平分∠BAC； （3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD， ∴∠ACO∠ACB，∠ACP∠ACD， ∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP ∠ACB∠ACD ∠BCD 180° ＝90°， ∴OC⊥CP． 【小结】 当堂检测 一．选择题（共10小题） 1．（2024春•焦作期末）如图所示，是一块三角形的草坪（△ABC），现要在草坪上修建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A．△ABC三条边的垂直平分线的交点 B．△ABC三个内角的角平分线的交点 C．△ABC三角形三条边上的高的交点 D．△ABC三角形三条中线的交点 【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点． 故选：B． 2．（2024春•驻马店期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，CD＝3，则△ABD的面积为（　　） A．60 B．30 C．15 D．10 【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE＝DC＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积AB•DE 10×3 ＝15， 故选：C． 3．（2023秋•新乡期末）如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝2，OD＝4，则△POD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【解答】解：过P作PK⊥OB于K，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，∴PK＝PC＝2， ∵OD＝4，∴△POD的面积OD•PK4×2＝4． 故选：A． 4．（2024春•驿城区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　） A．4 B．3 C．6 D．5 【解答】解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F， ∴DF＝DE＝2．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4， ∴7，∴74×2AC×2，∴AC＝3． 故选：B． 5．（2022秋•陕州区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【解答】解：作DF⊥AC于F，如图， ∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝4， ∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，∴4×74×AC＝24，∴AC＝5，故选：D． 6．（2022春•郫都区校级期中）如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是内心，∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4， 故选：C． 7．（2023秋•睢阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（　　） A．10 B．16 C．8 D．5 【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC， ∴AD＝DE， 在Rt△ABD和Rt△EBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）， ∴AB＝BE， ∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3， ∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3， ∴AB+BE＝10， ∴AB＝BE＝5． 故选：D． 8．（2024春•新郑市期中）如图，在△ABC中，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，若△ABC的周长为12cm，△ABC的面积为18cm2，则ED的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【解答】解：过E作EF⊥AC于F，EG⊥AB于G， ∵AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC， ∴EG＝EF＝ED， ∵△ABC的面积＝△EBD的面积+△AEF的面积+△AEB的面积， ∴BC•EDAC•EFAB•EG＝18， ∴（BC+AC+AB）•DE＝18， ∵△ABC的周长为12cm， ∴BC+AC+AB＝12，∴，∴DE＝3cm． 故选：C． 9．（2023春•泌阳县期末）如图，在直角三角形ABC中，AD为斜边上的高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　） A．BF＝CF B．∠C＝∠BAD C．∠BAE＝∠CAE D．S△ABE＝S△ACF 【解答】解：∵AF为斜边BC的中线，∴BF＝CF＝AF，所以A选项不符合题意； ∵AD为斜边上的高，∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD+∠B＝90°，∠C+∠B＝90°， ∴∠C＝∠BAD，所以B选项不符合题意； ∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，所以C选项不符合题意； ∵BF＝CF，∴S△ABF＝S△ACF，所以D选项符合题意． 故选：D． 10．（2023秋•临颍县期中）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作直线EF交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，有下列四个结论：①∠BOC＝2∠A；②；③点O到△ABC各边的距离相等；④设点OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEFmn，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A， ∴①不正确，②正确； 过点O作ON⊥BC于点N，过点O作OM⊥AB于点M，连接OA， ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴OM＝ON， 又∵OD⊥AC， ∴OD＝ON， ∴OM＝ON＝OD， ∴③正确， ∵S△AOEAE•OM，S△AOFAF•OD， ∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF（AE+AF）•OD， 设OD＝m，AE+AF＝n， 则S△AEFmn， ∴④正确． ∴正确的有②③④， 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．（2023秋•西峡县期末）如图，△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝12，BC＝8，△ABC的面积为50，则DE＝　 　． 【解答】解：过D点作DF⊥BC于F，如图， ∵BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF， ∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，∴AB×DEDF×BC＝S△ABC，∴6DE+4DE＝50，∴DE＝5． 12．（2024春•管城区月考）如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，，AB＝6，BC＝4，那么DE＝　 　． 【解答】解：过D作DF⊥BC于F， ∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，∴DE＝DF， ∵△ABC的面积＝△ABD的面积+△DBC的面积， ∴BC•DFAB•DE， ∵AB＝6，BC＝4，∴4DE+6DE＝25， ∴DE＝2.5． 13．（2022秋•吉首市期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为　 　． 【解答】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°，∠CBD+∠C＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD，由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，此时，DP＝AD＝3． 14．（2022秋•罗山县期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，∠BOC＝　 　． 【解答】解：∵OF＝OD＝OE，∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）110°＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°． 15．（2023秋•开封期末）如图，CO、BO是△ABC的两个外角∠PCB、∠QBC的角平分线，OM⊥AP，ON⊥AQ，且OM＝ON．下列结论中正确的个数有 　 　个． ①∠PAO＝∠QAO；②∠AOB∠ACB；③2∠COB＝180°+∠CAB；④∠PAQ+2∠COB＝180°． 【解答】解：∵OM⊥AP，ON⊥AQ，OM＝ON， ∴AO平分∠PAQ，∴∠PAO＝∠QAO∠PAQ，故①正确； ∵BO平分∠CBQ，∴∠OBQ∠CBQ， ∵∠CBQ＝∠PAQ+∠ACB，∠OBQ＝∠QOA+∠AOB，∴∠AOB∠ACB，故②正确； 过O作OE⊥BC于E，∴∠OMC＝∠OEC＝90°，OM＝OE， 在Rt△COM和Rt△COE中， ∴Rt△COM≌Rt△COE（HL）， ∴∠COM＝∠COE，即∠COE∠MOE，同理：∠BOE∠EON， ∴∠COB∠MON，即∠MON＝2∠COB， ∵∠CAB+∠MON+∠AMO+∠ANO＝360°，∠AMO＝∠ANO＝90°，∴∠CAB+∠MON＝180°， 即2∠COB+∠CAB＝180°，故③错误； ∴∠PAQ+2∠COB＝180°，故④正确． 即正确的个数有3个， 三．解答题（共8小题） 16．（2023秋•魏都区期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长． 【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF， ∵S△ABC＝S△ABD+S△ACDAB×DEAC×DF， ∴S△ABC（AB+AC）×DE， 即（16+12）×DE＝28， 解得DE＝2（cm）． 17．（2023秋•召陵区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°． （1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∠ABC的平分线如图所示． （2）作DH⊥AB于H． ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝3， ∴△ABC的面积＝S△BCD+S△ABDBC•CDAB•DH3BC3AB（BC+AB）3×16＝24． 18．（2024春•管城区月考）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝8，DE＝2，求AB的长． 【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°， ∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF， 在△CDE与△CBF中，，，∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB； （2）解：由（1）可得BF＝DE＝2， 在Rt△ACE和Rt△ACF中，，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AE＝AF＝8，∴AB＝AF﹣BF＝6． 19．（2023秋•西平县月考）如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝10，DE＝4，求AB的长． 【解答】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F． ∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°， ∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF， 在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB； （2）解：由（1）可得BF＝DE＝4，在Rt△ACE和Rt△ACF中，， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF＝10，∴AB＝AF﹣BF＝6． 20．（2023春•驿城区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于点E． （1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度数； （2）若DE＝4，BC＝9，求△BCD的面积． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC， ∴， ∵∠ABC＝40°， ∴， ∵CD平分∠ACB， ∴， ∵∠ACB＝70°， ∴， 在△BCD中，∠BDC＝180°﹣20°﹣35°＝125°； （2）过点D作DF⊥BC于点F， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF， ∵DE＝4， ∴DF＝4， ∵BC＝9， ∴． 21．（2022秋•渑池县期末）如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别取点M、N，连接MN．若MP平分∠AMN，NP平分∠MNB． （1）求证：OP平分∠AOB； （2）若MN＝8，且△PMN与△OMN的面积分别是16和24，求线段OM与ON的长度之和． 【解答】（1）证明：过点P作PC⊥OA，垂足为C，过点P作PD⊥MN，垂足为D，过点P作PE⊥OB，垂足为E， ∵MP平分∠AMN，PC⊥OA，PD⊥MN， ∴PC＝PD， ∵NP平分∠MNB，PD⊥MN，PE⊥OB， ∴PD＝PE， ∴PC＝PE， ∴OP平分∠AOB； （2）∵△PMN的面积是16，MN＝8， ∴MN•PD＝16， ∴8•PD＝16， ∴PD＝4， ∴PD＝PC＝PE＝4， ∵△OMN的面积是24， ∴四边形MONP的面积＝△PMN的面积+△OMN的面积＝16+24＝40， ∴△POM的面积+△PON的面积＝40， ∴OM•PCON•PE＝40， ∴OM•4ON•4＝40， ∴OM+ON＝20， ∴线段OM与ON的长度之和为20． 22．（2023秋•召陵区期末）如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE是∠BAD的角平分线，点F为AE上一点，连接BF，∠BFE＝45°． （1）求证：BF平分∠ABE； （2）连接CF交AD于点G，若S△ABF＝S△CBF，求证：∠AFC＝90°； （3）在（2）的条件下，当BE＝3，AG＝4.5时，求线段AB的长． 【解答】（1）证明：∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠BAD＝2∠BAF， ∵∠BFE＝45°，∴∠FBA+∠BAF＝45°，∴2∠FBA+2∠BAF＝90°， ∵AD为BC边上的高，∴∠EBF+∠FBA+2∠BAF＝90°， ∴2∠FBA＝∠EBA+∠FBA，∴∠EBF＝∠FBA，∴BF平分∠ABE； （2）证明：过点F作FM⊥BC于点M，FN⊥AB于点N， ∵BF平分∠ABE，FM⊥BC，FN⊥AB，∴FM＝FN， ∵S△ABF＝S△CBF，即AB•FNBC•FM，∴AB＝BC， 在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠AFB＝∠CFB， ∵∠BFE＝45°∴∠AFB＝135°，∴∠CFB＝135°， ∴∠CFE＝∠CFB﹣∠BFE＝135°﹣45°＝90°，∴∠AFC＝90°； （3）解：∵△ABF≌△CBF，∴AF＝FC， ∵∠AFC＝∠ADC＝90°，∠AGF＝∠CGD， ∴∠FAG＝∠FCE， 在△AFG和△CFE中，， ∴△AFG≌△CFE（ASA），∴AG＝EC＝4.5， ∵BE＝3，∴BC＝BE+EC＝7.5， ∵△ABF≌△CBF， ∴AB＝BC＝7.5． 23．（2023秋•浉河区校级月考）如图，△ABC，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，过点D作DE⊥BC于E． （1）如图1，若∠BAC＝68°，求∠BDC的度数． （2）如图2，连AD，求证：AD平分∠CAM． （3）如图3，若△ABC周长为20，求BE的长． （1）解：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠DCN， ∵∠BAC＝68°，∴∠ACN﹣∠ABC＝∠BAC＝68°，∴∠DCN﹣∠CBD∠BAC68°＝34°， ∵∠BDC＝∠DCN﹣∠CBD，∴∠BDC＝34°； （2）证明：如图2，过点P作DP⊥AB于P，DQ⊥AC于Q， ∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴DP＝DE，DQ＝DE， ∴DP＝DQ，∴AD平分∠CAM； （3）解：如图2，由（2）知：DP＝DQ， 在Rt△ADQ和Rt△ADP中， ， ∴Rt△ADQ≌Rt△ADP（HL），∴AP＝AQ， 同理得：BP＝BE，CQ＝CE， ∵△ABC的周长＝AB+BC+AC＝20，∴AB+BC+AP+CE＝20， ∵AB+AP＝BC+CE， ∴BC+CE＝10， 即BE＝10． 练一练 一．选择题（共8小题） 1．（2023秋•邹平市期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　） A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点 【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上． 所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A． 2．（2024春•雨花区校级期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【解答】解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 3．（2022秋•洛南县期末）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：过D作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DG＝DE＝2， ∵AB＝6，AC＝4，∴S△ABCAC•BF＝S△ABD+S△ACDAB•DEAC•DG， ∴4•BF6×24×2，∴BF＝5， 故选：C． 4．（2023秋•武威期末）如图，点P是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，则点P到边BC的距离是（　　） A．8cm B．3cm C．4cm D．6cm 【解答】解：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图， ∵点P是△ABC的内角平分线的交点，∴PE＝PF＝PD， 又△ABC的周长为24cm，面积为36cm2， ∴， ∴24×PE＝36，∴PE＝3cm． 故选：B． 5．（2023秋•长兴县月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 【解答】解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N， ∵DE＝DG，∴DM＝DG， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DN， 在Rt△DEF和Rt△DMN中，， ∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL）， ∵△ADG和△AED的面积分别为50和39， ∴S△MDG＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11， S△DNM＝S△EDFS△MDG11＝5.5． 故选：B． 6．（2021春•碑林区校级期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点P，且与AB垂直，若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD， ∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC，∴PE＝AP，同理可得：PE＝PD，∴PEAD， ∵AD＝8，∴PE＝4，即点P到BC的距离是4， 故选：B． 7．（2023秋•贵池区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE， ∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴∠C＝∠DEA＝90°， ∵AD＝AD，∴△DAC≌△DAE（AAS），∴∠CDA＝∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确； 无法证明∠BDE＝60°，∴③DE平分∠ADB错误； ∵BE+AE＝AB，AE＝AC，∵AC＝4BE，∴AB＝5BE，AE＝4BE， ∴S△ADB＝5S△BDE，S△ADC＝4S△BDE， ∴S△ABC＝9S△BDE， ∴④错误； ∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B， ∴∠BDE＝∠BAC， ∴②∠BAC＝∠BDE正确． 故选：B． 8．（2023秋•新宾县期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD，∴PN＝PD， ∵PN⊥BF，PD⊥AC， ∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB， ∴∠ACB＝2∠APB，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D． 二．填空题（共4小题） 9．（2024春•历下区期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．若CE＝2，则AB＝　 　． 【解答】解：∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF， ∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC， ∵AD平分∠BAC，∴DC＝BD， 在△CDE与△DBF中，， ∴△CDE≌△DBF（ASA）∴DE＝DF，CE＝BF＝2， ∵AE＝2BF，∴AC＝3BF，∴AB＝3BF＝6， 10．（2022秋•邗江区月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为27和16，则△EDF的面积为 　 　． 【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH， 在Rt△ADF和Rt△ADH中，， ∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S△ADF＝S△ADH， 在Rt△EDF和Rt△GDH中，， ∴Rt△EDF≌Rt△GDH（HL）， ∴S△EDF＝S△GDH，∴S△EDF+S△AED＝S△ADG﹣S△GDH， 即S△EDF+16＝27﹣S△EDF， ∴S△EDF＝5.5． 11．（2023秋•闽侯县期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积是28，AB＝4，AC＝3，则△ABE的面积是 　 　． 【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，过点D作DG⊥AC，垂足为G， ∵AD是∠BAC的平分线，DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF＝DG， ∵AB＝4，AC＝3，∴， ∵△ABC的面积是28，∴△ABD的面积△ABC的面积28＝16， ∵BE是△ABD边AD上的中线，∴△ABE的面积△ABD的面积＝8， 12．（2023秋•宁安市期末）如图，△ABC的外角∠ACN，∠MAC的平分线CP，AP交于点P，PE⊥AM于点E，PF⊥BN于点F，下列结论：①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CBA＝2∠CPB；④S△PAC＝S△EAP+S△FCP．其中结论正确的为 　 　． 【解答】解：过P作PH⊥AC于H， ∵∠ACN，∠MAC的平分线CP，AP交于点P，PE⊥AM，PF⊥BN， ∴PE＝PH，PF＝PH，∴PE＝PF，∴BP平分∠ABC，故①符合题意； ∵BP平分∠ABC∴∠PAE＝∠PAH， ∵∠PEA＝∠PHA＝90°，∴∠APE＝∠APH，∴∠EPH＝2∠APH， 同理∠FPH＝2∠CPH，∴∠EPH+∠FPH＝2（∠APH+∠CPH），∴∠EPF＝2∠APC， ∵∠ABC+∠EPF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②符合题意； ∵AP平分∠ABC，∴∠CBA＝2∠CBP， ∵∠CPB和∠CBP不一定相等，∴∠CBA不一定等于2∠CPB，故③不符合题意； ∵∠APE＝∠APH，AE⊥PE，AH⊥PH，∴AE＝AH， ∵PE＝PH，∴PE•AEPH•AH，∴△PAE的面积＝△PAH的面积，同理△PCF的面积＝△PCH的面积， ∴△PAH的面积+△PCH的面积＝△PAE的面积+△PCF的面积，∴S△PAC＝S△EAP+S△FCP， 三．解答题（共6小题） 13．（2023秋•龙山区期末）已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB． （1）如图1，若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，求∠BDC的度数． （2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝1，AC＝4，求△ADC的面积． 【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠DBC∠ABC60°＝30°， ∵CD平分∠ACB，∴∠DCB∠ACB40°＝20°， ∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB ＝180°﹣30°﹣20° ＝130°； （2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2， ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝1， ∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝1， ∴△ADC的面积DF•AC1×4＝2． 14．（2023秋•洪山区期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°． （1）求∠AOB的大小； （2）若CD＝2，AD＝5，求△AEC的面积． 【解答】（1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°， ∵AE，BF是角平分线，∴∠BAO∠BAC＝40°，∠ABO∠ABC＝15°， ∴∠AOB＝180°﹣15°﹣40°＝125°； （2）解：∵∠BAO＝40°，∠ABC＝30°，∴∠AEC＝30°+40°＝70°＝∠C， ∵AD是高，∴ED＝DC＝2，∴EC＝2DC＝4， ∴△AEC的面积． 15．（2022秋•和田地区期末）数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA于点A，PB⊥OB于点B． （1）探究：如图2，点M是OP上任意一点（不与O、P重合），连接MA、MB，问题：请判断MA与MB的数量关系，并证明你的结论； （2）如图3，连接AB．问题： ①OP垂直平分AB吗？请说明理由； ②若∠AOP＝30°，AB＝6，求△AOB的周长． 【解答】解：（1）结论：MA＝MB，理由如下： ∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠AOP＝∠BOP，∠OAP＝∠OBP＝90°， 又∵OP＝OP，∴△OAP≌△OBP（AAS），∴OA＝OB， ∵OM＝OM，∠AOM＝∠BOM，OA＝OB，∴△AOM≌△BOM（SAS），∴MA＝MB． （2）①结论：OP垂直平分AB，理由如下：如图3，记AB与OP的交点为C， 由（1）可知△OAP≌△OBP（AAS）， ∴OA＝OB， ∵OA＝OB，∠AOP＝∠BOP，OC＝OC， ∴△OAP≌△OBP（AAS）， ∴AC＝BC，∠ACO＝∠BCO＝90°， ∴OP垂直平分AB． ②∵OP平分∠AOB，∠AOP＝30°， ∴∠AOB＝60°， 又∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝6， ∴△AOB的周长为OA+OB+AB＝18， ∴△AOB的周长为18． 16．（2022秋•九台区期末）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD． （1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　； （2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）； （3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　． 【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E， ∵点D是BC边上的中点，∴BD＝DC， ∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1， （2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∵AD为∠BAC的角平分线，∴DE＝DF， ∵AB＝m，AC＝n， ∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n； （3）∵AD＝DE， ∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1， ∵S△BDE＝6， ∴S△ABD＝6， ∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB， ∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1， ∴S△ACD＝3， ∴S△ABC＝3+6＝9， 故答案为：9． 17．（2023秋•西山区校级期中）（1）如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线BO与∠ACB的平分线CO交于点O，求证：； （2）如图②，在△ABC中，E是边BC延长线上一点，∠ABC的平分线BO与∠ACE的平分线CO交于点O，求证：； （3）如图③，在△ABC中，D是边AB延长线上一点，E是边AC延长线上一点，∠CBD的平分线BO与∠BCE的平分线CO交于点O．试探求∠A与∠BOC的数量关系并证明你的结论． 【解答】（1）证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， 在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB） ＝180°（∠ABC+∠ACB） ＝180°（180°﹣∠A） ＝90°∠A． （2）证明：∵∠ABC的平分线BO与∠ACD的平分线CO相交于点O， ∴∠ABO＝∠CBO∠ABC，∠ECO＝∠ACO∠ACD， ∵∠BOC＝∠ECO﹣∠OBC ∠ACD∠ABC （∠ACD﹣∠ABC） ∠A． （3）解：∠BOC＝90°∠A，理由如下： 如图，∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线， ∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB+∠A， ∠ECB＝2∠2＝∠ABC+∠A， ∴2∠1+2∠2＝2∠A+∠ABC+∠ACB＝∠A+180°， 又∵∠1+∠2+∠BOC＝180°， ∴2∠BOC＝180°﹣∠A，∴∠BOC＝90°∠A． 18．（2023秋•江阳区校级月考）在△ABC中，AE、BF是角平分线，交于O点． （1）如图1，AD是高，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的度数． （2）如图2，若OE＝OF，AC≠BC，求∠C的度数． （3）如图3，若∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，AB＝10，求S△AOB． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°； ∵∠BAC＝50°，∠C＝70°，∴∠BAO＝25°，∠ABC＝60°， ∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠ABO＝30°， ∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣25°﹣30°＝125°； （2）连接OC，∵AE、BF是角平分线，交于O点，∴OC是∠ACB的角平分线，∴∠OCF＝∠OCE， 过O作OM⊥BC，ON⊥AC，则OM＝ON， 在Rt△OEM与Rt△OFN中，，∴Rt△OEM≌Rt△OFN，（HL）， ∴∠EOM＝∠FON，∴∠MON＝∠EOF＝180°﹣∠ACB， ∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°∠ACB， 即90°∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°； （3）连接OC，过O作OD⊥AB于D，OG⊥BC于G，OH⊥AC于H， ∵AE、BF是角平分线，交于O点，∴OD＝OG＝OH， ∴S△ABC8×610OD6×OG8×OH， ∴OD＝2，∴S△AOB10×2＝10． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$