第七章 平行线的证明 同步训练-2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第七章 平行线的证明 1 为什么要证明 A.基础夯实 1. 下列说法正确的是（ ） A. 经验、观察或实验完全可以判断一个数学结论的正确与否 B. 推理是科学家的事，与我们没有多大关系 C. 对于自然数，一定是质数 D. 有10个苹果，将它们放进9个筐中，则一定有一个筐中的苹果有2个 2. 骑自行车的速度是每小时，骑摩托车的速度是每小时，则下列结论中你能肯定的是（ ） A. 从A地到B地，骑摩托车的人比骑自行车的人一定先到达 B. 从A地到B地，骑自行车的人比骑摩托车的人后到达 C. 从A地到B地，骑自行车的人和骑摩托车的的人不可能同时到达 D. 从A地到B地，骑自行车的人有可能比骑摩托车的人先到达 3. 布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况： ①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是（ ） A. 布鲁斯先生 B. 布鲁斯先生的妹妹 C. 布鲁斯先生的儿子 D. 布鲁斯先生的女儿 4. 在一次比赛中，有如下的判断：甲说：丙第一，我第三；乙说：我第一，丁第四；丙说：丁第二，我第三.结果是每人的两句话中都只说对了一句，则可判断第一名是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 图中小圆圈表示网络的结点，结点之间的连接表示它们有网线相连，相连标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点向结点传递信息，若信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ） A. 11 B. 10 C. 8 D. 7 6. 老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程： 证明：如图，， .， ，. 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ） A. 在同一平面内，若，且，则 B. 在同一平面内，若，且，则 C. 同位角相等，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 7. 当时，代数式；当时， ；当时， ；当时， .因此，小明推断，不论取任何正整数，的值都是 ，这个推断是 的.（填“正确”或“错误”） 8. 在乒乓球比赛中是没有平局的，都要分出胜负，甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中甲胜4局负2局，乙胜3局负3局，若丙负了3局，则丙胜了 局. 9. 观察下列各式： …… （1） 根据你发现的规律写出第为正整数个等式： ； （2） 如果一个正整数能表示成连续的两个偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”. 在，28，，这四个数中，是“神秘数”的有 . C.拓展思维 10. 【基础知识】 古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯，公元前6世纪最早从拼图实践中发现了“三角形的内角和等于 ”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明.之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明.其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理.请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整. 已知：如图1，在中. 求证： . 证明：延长线段至点，并过点作. （已作）， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）. （平角的定义）， （等量代换）. 【实践运用】 如图2，线段，相交于点，连接，，试证明：. 【变化拓展】 （1） 如图3，，分别平分，，若 ， ，则的度数为 ； （2） 如图4，直线平分，平分，若 ， ，则的度数为 . 2 定义与命题 第2课时 公理与定理的概念、证明 A.基础夯实 1. 下列命题中，不属于基本事实的是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 2. 下列所学过的真命题中，不是公理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 同位角相等，两直线平行 D. 三边分别相等的两个三角形全等 3. 下列选项中，可以用来证明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 4. 命题“如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”的条件是 . 5. 指出下列命题的条件和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例. （1） 两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； （2） 内错角相等； （3） 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. B.能力提升 6. 已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对内错角的平分线互相平行”. （1） 写出命题的条件和结论； （2） 画出符合命题的几何图形； （3） 用几何语言叙述这个命题； （4） 判断这个命题的真假，并说明理由. 7. 问题情境：如图1，. （1） 观察猜想：若 ， .则的度数为 ； （2） 探究问题：在图1中探究，与之间有怎样的数量关系？并说明理由； （3） 拓展延伸：若将图1变为图2，其他条件不变，此时，与之间有怎样的数量关系？并说明理由. C.拓展思维 8. 【问题提出】 课堂上，李老师提出了这样一个问题：“已知一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角是什么关系？” 【问题探索】 为了解答李老师的问题，小明与小颖分别画出了下面图形，请你根据这两位同学画的图形，解答下列问题： （1） 如图，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 或 D. 以上答案都不对 （2） 请你选择其中一位同学所画的图形，给出你的结论并证明. 我用 画的图形，证明如下： 已知：如图，，. 求证： . 证明： （3） 结合李老师提出的问题，请你总结出一个结论（请你用语言文字概括出来，要求按命题的叙事方式表达： ； 【结论应用】 若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的2倍少 ，求这两个角分别是多少度. 4 平行线的性质 A.基础夯实 1. 三条直线，，，若，，则与的位置关系是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 2. 如图所示，下列推理正确的有（ ） 第2题图 ①若，则； ②若，则 ； ③若 ，则； ④若，则. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3. 如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则（ ） 第3题图 A. B. C. D. 4. 若， ，则 . 5. 如图为某椅子的侧面图， .与地面平行， ，则 . 6. 如图，的一边为平面镜， ，在上有一点，从点射出一束光线经上一点反射，此时，且反射光线恰好与平行，则的度数是 . 7. 如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点处发出的光线，经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光线，若 ，于点，则的度数为 . B.能力提升 8. 如图，已知，若平分，且 ，则的度数为 ． 9. 如图，，，. 求证：. 10. 如图，已知，， ，试判断与的位置关系，并说明理由. C.拓展思维 11. 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），，分别平分和，且分别交射线于点，. 【探索发现】 （1） 当 时，求证：； （2） “快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系. ① 当 时， 度； 解：与 存在的数量关系是，理由如下： ，. 由（1）可知， . ② 当 时， 度；（用含的代数式表示） 【操作探究】 （3） “智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系.他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变.请写出它们的关系，并说明理由. 5 三角形内角和定理 第2课时 三角形的外角 A.基础夯实 1. 如图，在中， ， ，那么的度数为（ ） 第1题图 A. B. C. D. 2. 如果将一副三角板按如图的方式叠放，则的度数为（ ） 第2题图 A. B. C. D. 3. 如图，下列结论中不一定正确的是（ ） 第3题图 A. B. C. D. 4. 图1是一路灯的实物图，图2是该路灯的平面示意图， ， ，则图2中的度数为（ ） 第4题图 A. B. C. D. 5. 如图，若 ， ，则的度数为 . 6. 中， ，比小 ，则与相邻的外角为 . 7. 如图，点，在边上，，，的大小关系是 . 第7题图 8. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为 . 第8题图 B.能力提升 9. 工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求，工人师傅量出 ， ， ，则该零件 .（填“合格”或“不合格”） 10. 如图，在中，平分， ， ，求，的度数． 11. 如图，直线，在中，，点在线段上，直线经过点．若，求的度数． C.拓展思维 12. （1） 【发现】如图1，直线，被直线所截，平分，平分.若 ， ，试判断与是否平行，并说明理由； （2） 【探究】如图2，若直线，点在直线，之间，点，分别在直线，上， ，点是上一点，且平分，若 ，求的度数； （3） 【延伸】若直线，点，分别在直线，上，点在直线，之间，且在直线的左侧，点是折线上的一个动点， 保持不变，移动点，使平分或平分.设 ， ，请判断 与 之间的数量关系，并说明理由. 第七章 平行线的证明 1 为什么要证明 A.基础夯实 1．D 2．D 3．D 4．B 5．C 6．A 7．； 1； 1； 1； 错误 8． 9．（1） （2） 28 C.拓展思维 10．【基础知识】 ； ； 【实践运用】 解：证明： ， ，. ，. 【变化拓展】 （1） 26 （2） 26 【解析】如图，在 的延长线上取一点，设，. 则有 可得 . 2 定义与命题 第2课时 公理与定理的概念、证明 A.基础夯实 1．B 2．A 3．A 4．三角形两边的平方和等于第三边的平方 5．（1） 解：条件：两个角的和等于平角，结论：这两个角互为补角.是真命题. （2） 条件：两个角是内错角，结论：这两个角相等.是假命题，如图，与 是内错角，. （3） 条件：两条平行线被第三条直线所截，结论：同旁内角互补.是真命题. B.能力提升 6．（1） 解：条件：两条平行线被第三条直线所截，结论：一对内错角的平分线互相平行. （2） 如图所示： （3） 如图，已知，，分别平分 和，求证：. （4） 真命题，理由：，. 又，分别平分 和， ，， ，. 7．（1） . （2） 解：，理由如下： 如图1所示，过点 作. ，，， ，， . （3） ，理由如下： 如图2所示，过点 作. ，，， ， . ，， . C.拓展思维 8．【问题探索】 （1） C （2） 解：我用小明画的图形，证明如下： 已知：如图，，. 求证：. 证明：，. ，，. 我用小颖画的图形，证明如下： 已知：如图，，. 求证： . 证明：， . ，， . （3） 结论：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补. 【结论应用】 设一个角为. 一个角的两边分别平行于另一个角的两边， 另一个角为 或. 一个角比另一个角的2倍少 ， 或， 或 ，当 时，另一个角也是 ； 当 时，另一个角为 ， 这两个角分别是 ， 或 ， . 4 平行线的性质 A.基础夯实 1．B 2．C 3．A 4． 5． 6． 7． B.能力提升 8． 9．证明：，， ， ，. ，，，. 10．解：与 的位置关系是. 理由：，，. 又 ， ，. ，. C.拓展思维 （1） 证明：， ， . ，分别平分 和， ，， ， ， . （2） ① 解：与 存在的数量关系是，理由如下： ，. 由（1）可知， . （2） ① 70 【解析】当 时， ，故答案为70. ② 【解析】当 时， .故答案为. （3） 解：与 之间的数量关系是，理由如下： ，，. 平分，，. 5 三角形内角和定理 第2课时 三角形的外角 A.基础夯实 1．B 2．A 3．D 4．C 5． 6． 7． 8． B.能力提升 9．合格 10．解：平分， ， . ， ， . 是 的外角， ． 11．解：， . 由三角形外角的性质，得 . 与 垂直， . ， . . C.拓展思维 12．（1） 解：平行. 理由： ，平分， . ，平分， ， ，. （2） 过点 作，如图1所示. ，，， ， ， . 平分， . （3） 与 之间的数量关系为 或 .理由：若 平分，如图2所示，则 . 同上可得 ， ， ，即 ； 若 平分，如图3所示，则 . 同上可得 ， .综上， 与 之间的数量关系为 或 . 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$