汇编212022-2024年数学中考真题 圆的有关概念与性质（湖南专版）

2022-2024年中考数学真题知识点汇编《圆的有关概念与性质》 湖南专版 1．【2022•株洲】如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接，，则的度数为　　 A． B． C． D． 2. （2024•长沙）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 3 （2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度． 4（2023•邵阳）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　50°　． 5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　1　． 6. 【2023•怀化】近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生人数为__________； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 7 【2022•衡阳】为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是____人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）； （2）图②中扇形的圆心角度数为_____度； （3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少； （4）计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率． 8．（2023•株洲）如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD＝45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G，且满足∠CFE＝45°． （1）求证：直线l⊥直线CE； （2）若AB＝DG． ①求证：△ABC≌△GDE； ②若，求四边形ABCD的周长． 9. （2022•衡阳）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． （1）直线与⊙相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 10．（2023•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF． （2）若AF，sin∠ABD，求⊙O的半径． 11．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长； （3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE． 12. 【2023•怀化】如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）延长与的延长线交于点D，求证：； （3）若，求阴影部分的面积． 13. 【2023•岳阳】如图1，在中，，点分别为边的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长． 深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】初步尝试：（1）；；（2）特例研讨：（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1），点分别为边的中点，则是的中位线，即可得出结论； （2）特例研讨：（1）连接，，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；（2）连接，证明，则，设，则，在中，，则，在中，，勾股定理求得，则； （3）当点在同一直线上时，且点在上时，设，则，得出，则在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当在上时，可得在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解． 14.（2024•长沙） 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 15. （2024•长沙）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ） （2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． （3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 2022-2024年中考数学真题知识点汇编《圆的有关概念与性质》 湖南专版解析版 1．【2022•株洲】如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接，，则的度数为　　 B． B． C． D． 2. （2024•长沙）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离， ∴，， 在中，， 故选：B． 3 （2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度． 【答案】60 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：设扇形圆心角的度数为， ， 扇形的半径为6， ． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，解题的关键在于熟练掌握扇形的面积公式： ． 4（2023•邵阳）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为 　50°　． 【考点】切线的性质；圆周角定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力． 【分析】利用圆的切线的性质定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵BC与⊙O相切于点B， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°． ∵∠ABC＝65°， ∴∠OBA＝∠OBC﹣∠ABC＝25°． ∵OB＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA＝25°， ∴∠BOD＝2∠OAB＝50°． 故答案为：50°． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键． 5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为 　1　． 【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力． 【分析】连接OB，利用圆周角定理及垂径定理易得∠AOD＝60°，则∠OAE＝30°，结合已知条件，利用直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案． 【解答】解：如图，连接OB， ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∵OD⊥AB， ∴，∠OEA＝90°， ∴∠AOD＝∠BOD∠AOB＝60°， ∴∠OAE＝90°﹣60°＝30°， ∴OEOA2＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查圆与直角三角形性质的综合应用，结合已知条件求得∠AOD＝60°是解题的关键． 6. 【2023•怀化】近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）所抽取的学生人数为__________； （2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； （3）该校共有学生人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 【答案】（1）人 （2）统计图见解析， （3）人 【解析】 【分析】（1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数； （2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数； （3）用乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴所抽取的学生人数为人， 故答案为：； 【小问2详解】 解：中度近视的人数为人，“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为 ∴高度近视的人数为人， 补全统计图如下： 小问3详解】 解：人， ∴估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 7 【2022•衡阳】为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是____人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）； （2）图②中扇形的圆心角度数为_____度； （3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少； （4）计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率． 【答案】（1）120，见解析 （2） （3）300人 （4）见解析， 【解析】 【分析】（1）由B的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题； （2）用C的人数除以调查总数再乘以360°即可得到答案； （3）用样本估计总体进行计算即可； （4）列出表格或画出树状图，得到所有可能的结果数，找出符合条件的结果数，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 因为参与活动的人数为36人，占总人数， 所以总人数人， 则参与活动的人数为：人； 补全统计图如下： 故答案为：120； 【小问2详解】 扇形的圆心角为：， 故答案为：90； 【小问3详解】 最喜爱“测量”项目的学生人数是：人； 答：估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是300人； 【小问4详解】 列表如下： 第一项 第二项 —— —— —— —— —— 或者树状图如下： 所以，选中、这两项活动的概率为：. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可 8．（2023•株洲）如图所示，四边形ABCD是半径为R的⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠ABD＝45°，直线l与三条线段CD、CA、DA的延长线分别交于点E、F、G，且满足∠CFE＝45°． （1）求证：直线l⊥直线CE； （2）若AB＝DG． ①求证：△ABC≌△GDE； ②若，求四边形ABCD的周长． 【考点】圆的综合题．版权所有 【专题】与圆有关的计算；推理能力． 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠ACD＝∠ABD＝45°，结合已知∠CFE＝45°，利用三角形内角和定理求出∠CEF＝90°，即可得到直线l⊥直线CE； （2）①根据圆内接四边形对角互补得到∠ABC+∠ADC＝180°，再根据邻补角的定义得出∠GDE+∠ADC＝180°，从而得到∠ABC＝∠GDE，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，结合（1）中∠CEF＝90°，可以得到∠ACB＝∠GED，最后利用AAS证得△ABC≌△GDE； ②由①已证△ACB≌△GED可以得出BC＝DE，于是有BC+CD＝DE+CD＝CE，再根据圆的半径求出直径AB的长，再证△ABD为等腰直角三角形，从而求出AD的长，即可求出四边形ABCD的周长． 【解答】（1）证明：在⊙O中，， ∴∠ACD＝∠ABD＝45°， 即∠FCE＝45° ∵∠CFE＝45°， ∴∠CEF＝180°﹣∠CFE﹣∠FCE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， 即直线l⊥直线CE； （2）①证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠GDE+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠GDE， ∵AB为σO的直径， ∴∠ACB＝90°， 由（1）知∠CEF＝90°，即∠GED＝90°， ∴∠ACB＝∠GED， 在△ACB和△GED中， ， ∴△ACB≌△GED（AAS）； ②解：已证△ACB≌△GED， ∴BC＝DE， ∴BC+CD＝DE+CD＝CE， ∵R＝1， ∴AB＝2R＝2， ∵AB为σO的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴AD＝BD， 由勾股定理得AD2+BD2＝AB2， 即2AD2＝AB2＝22＝4， ∴， ∴四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD＝2． 【点评】本题考查了同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，三角形全等的判定与性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理以及四边形的周长的计算，涉及的知识点较多，需熟练掌握． 9. （2022•衡阳）如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接． （1）直线与⊙相切吗？并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1）相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案； （2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可． 【小问1详解】 证明：连接． ∵为切线， ∴， 又∵， ∴，， 且， ∴， 在与中； ∵， ∴， ∴， ∴直线与相切． 【小问2详解】 设半径为； 则：，得； 在直角三角形中，， ，解得 【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 10．（2023•衡阳）如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，交⊙O于点H，DB交AC于点G． （1）求证：AF＝DF． （2）若AF，sin∠ABD，求⊙O的半径． 【考点】圆周角定理；解直角三角形；圆心角、弧、弦的关系．版权所有 【专题】三角形；圆的有关概念及性质；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力． 【分析】（1）由D是弧AC的中点，得出，再由垂径定理得出，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH＝∠CAD，即可证明出结论． （2）证明出∠ADE＝∠B，得出tan∠ADE，设AE＝x，根据勾股定理求出x，再求出直径即可． 【解答】（1）证明：∵D是弧AC的中点， ∴， ∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴∠ADH＝∠CAD， ∴AF＝DF． （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAB+∠B＝90°， ∵∠DAE+∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝∠B， ∴sin∠ADE， ∴tan∠ADE， 设AE＝x，则DE＝2x， ∵DF＝AF， ∴EF＝2x， ∵AE2+EF2＝AF2， ∴x＝2， ∴AD2， ∴AB， ∴AB＝10， ∴⊙O的半径为5． 【点评】本题考查了圆的相关性质的应用，解直角三角形、勾股定理的计算是解题关键． 11．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G． （1）求证：ED是⊙O的切线； （2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长； （3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE． 【考点】圆的综合题．版权所有 【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力；应用意识． 【分析】（1）由AB是⊙O的直径得∠ACB＝90°，故∠BAC+∠ABC＝90°，由∠BAC＝∠BDA得∠BDA+∠ABC＝90°，有∠BAD＝90°，即可得证； （2）证明△ACB∽△DCA，则 ，可得 ，解得BC＝2 或BC＝3，由AC＞CD即可得到BC的长； （3）先证明△ABC∽△DAC，则 ，得到AC•AD＝CD•AB，由 DE•AM＝AC•AD得到DE•AM＝CD•AB，故 ，由同角的余角相等得∠BAM＝∠CDE，有△AMBB∽△DCE，得∠E＝∠ABM，进一步得到∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，则∠BNG＝90°，即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC+∠ABC＝90°， ∵∠BAC＝∠BDA， ∴∠BDA+∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝90°， ∴ED是⊙O的切线； （2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°， ∴△ACB∽△DCA， ∴， ∴， 解得BC＝2或BC＝3， 当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3， 当BC＝3时，CD＝BD﹣BC＝2， ∵AC＞CD，即CD， ∴BC＝3； （3）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠DCA＝90°， ∵∠BAC＝∠BDA， ∴△ABC∽△DAC， ∴， ∴AC•AD＝CD•AB， ∵DE•AM＝AC•AD， ∴DE．AM＝CD•AB， ∴， ∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°， ∴∠BAM＝∠CDE， ∴△AMB∽△DCE， ∴∠E＝∠ABM， ∵∠EGA＝∠BGN， ∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°， ∴∠BNG＝90°， ∴BM⊥CE． 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 12. 【2023•怀化】如图，是的直径，点是外一点，与相切于点，点为上的一点．连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）延长与的延长线交于点D，求证：； （3）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，即可得证； （2）根据，即可得证； （3）根据圆周角定理得出，进而勾股定理求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的切线， ∴ 如图所示，连接 在与中， ∴ ∵为上的一点． ∴是的切线； 【小问2详解】 ∵是的切线； ∴， ∴ ∴ 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13. 【2023•岳阳】如图1，在中，，点分别为边的中点，连接． 初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________． 特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接． （1）求的度数； （2）求的长． 深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】初步尝试：（1）；；（2）特例研讨：（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1），点分别为边的中点，则是的中位线，即可得出结论； （2）特例研讨：（1）连接，，证明是等边三角形，是等边三角形，得出；（2）连接，证明，则，设，则，在中，，则，在中，，勾股定理求得，则； （3）当点在同一直线上时，且点在上时，设，则，得出，则在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出，表示与，即可求解；当在上时，可得在同一个圆上，设，则，设，则，则，表示与，即可求解． 【详解】初步尝试：（1）∵，点分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴；； 故答案是：； （2）特例研讨：（1）如图所示，连接，， ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵将绕点顺时针旋转（为锐角），得到， ∴； ∵点在同一直线上时， ∴ 又∵在中，是斜边的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即旋转角 ∴ ∴是等边三角形， 又∵， ∴, ∴, ∴, ∴ （2）如图所示，连接， ∵，， ∴，, ∵, ∴ ∴, 设，则， 在中，，则， 在中，, ∴, 解得：或（舍去） ∴, （3）如图所示，当点在同一直线上时，且点在上时， ∵， ∴， 设，则， ∵是的中位线， ∴ ∴， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴，， ∴ ∴， ∵点在同一直线上， ∴ ∴， ∴在同一个圆上， ∴ ∴ ∵， ∴； 如图所示，当在上时， ∵ ∴在同一个圆上， 设，则， 将绕点顺时针旋转，得到， 设，则，则， ∴， ∵, ∴， ∵ ∴ ∴ 综上所述，或 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14.（2024•长沙） 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 15. （2024•长沙）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ） （2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． （3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】（1）①×；②√；③√ （2）①外接型单圆；②见解析 （3），， 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； （3）①连接、、、、，根据四边形是“完美型双圆”四边形，结合四边形的内角和定理可推导出，，，进而可得，，然后利用圆周角定理可推导出，即可证得结论； ②连接、、、，根据已知条件证明，进而证明得到，再利用勾股定理求得，，同理可证求解即可． 【小问1详解】 解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确， 故答案为：①×；②√；③√； 【小问2详解】 解：①∵四边形中，， ∴四边形无内切圆，又该四边形有外接圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， 故答案为：外接型单圆； ②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即和均为半圆， ∴是的直径． 【小问3详解】 ①证明：如图，连接、、、、， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，， ∵四边形是“完美型双圆”四边形， ∴该四边形有外接圆，则， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接、、、， ∵四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H， ∴∴，，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，由得， 解得； 在中，， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形性质、正方形的性质、菱形的性质、圆周角定理、内切圆的定义与性质、外接圆的定义与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、勾股定理、角平分线的判定等知识，理解题中定义，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判定是解题的关键．另外还要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$