3.2.1 双曲线及其标准方程 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线 3.2.1双曲线及其标准方程 1 新课导入 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题. 2 一 二 三 学习目标 理解并掌握双曲线的定义 掌握双曲线的标准方程，了解其推导过程 能根据条件求简单的双曲线的标准方程 3 复习回顾 问题1 椭圆的定义和标准方程分别是什么？ 1.椭圆定义: 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 2.椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上： (2)焦点在y轴上： 4 我们知道, 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆. 一个自然的问题是:平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 下面我们借助信息技术进行探究. 新知探究 探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内, 取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆. 新知探究 F1 . F2 . . 探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内, 取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆. 新知探究 . 情景1:当点 P在线段AB上运动时 如果，则两圆相交，交点的轨迹是椭圆； |PA|+|PB|= F1 F2 . . 如果，两圆不相交，不存在交点轨迹. 探究：如图，在直线l上取两个定点A，B，P是直线l上的动点，在平面内, 取定点F1, F2，以点F1为圆心、线段PA为半径作圆，再以F2为圆心、线段PB为半径作圆. 新知探究 . F1 F2 . . 情景2：当点P在线段AB外运动时 情景2：点在线段外运动， 如图，，两圆的交点的轨迹是什么形状？动点满足什么几何条件？ 双曲线 点的轨迹是不同于椭圆的曲线，它分左右两支. 当点靠近定点时，； 当点靠近定点时，. 点与两个定点，距离的差的绝对值是一个常数(). 9 概念生成 对比迁移 椭圆 双曲线 两定点 、 两定点 、 ||MF1|-|MF2||=常数 |MF1|+|MF2|=常数 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． ？ 双曲线定义 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点， 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 概念生成 一般用2a表示 一般用2c表示 2 F F 1 M 符号表述： 双曲线定义 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零 常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 2 F F 1 M 符号表述： 追问：定义中有哪些关键词？ 思考1：去掉“绝对值”，动点的轨迹是什么？ ：表示靠近的一支． ：表示靠近的一支． F1 F2 M F1 F2 M 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. 概念辨析 双曲线定义 我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零 常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线． 2 F F 1 M 符号表述： 概念辨析 思考2：若2a=2c, 即||MF1|-|MF2||= |F1F2|，则轨迹是什么？ 思考3：若2a>2c, 即||MF1|-|MF2|| > |F1F2|，则轨迹是什么？ 思考4：若2a=0, 即|MF1|=|MF2|，则轨迹是什么？ 此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 F1 F2 M F1 F2 M [练习1] 已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a， 则当a＝3时，P点的轨迹为(　　) A．双曲线 B．一条射线 C．双曲线的一支 D．轨迹不存在 概念深化 [变式1] 当a＝5时，P点的轨迹为？ [变式2] 动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，则当a＝4时，P点的轨迹为？ 14 新知探究二：双曲线的标准方程 问题2 类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？ 设 M(x, y) 是双曲线上任意一点 双曲线的焦距为 2c（ c > 0)， 则有F1(-c , 0) , F2 (c , 0). F1 F2 M x y O 我们取经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 (如图). 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合： ①建系 ②设点 建系 设点 限式代入 化简 ③限式 15 新知探究二：双曲线的标准方程 (1) ④代入 ⑤化简 将方程(1)左边的一个根式移到右边，得 (2) 对方程(2)两边平方，得 整理，得 (3) 对方程(3)两边平方，得 16 新知探究二：双曲线的标准方程 对方程(3)两边平方，得 整理，得 两边同时除于 ，得 由双曲线的定义知， 即 所以 类比椭圆标准方程的建立，令 其中， 代入上式，得 我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2. 17 问题3 类比椭圆，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 新知探究二：双曲线的标准方程 这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2. 18 应用探究 例1 下列哪些方程是双曲线的方程？ 问题4 双曲线标准方程的特征？ 相同点 不同点 方程等号左边是平方差的形式，右边是1； ② a>0, b>0，但a, b大小不定； ③ c2=a2+b2, 其中c最大； 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上. 化为标准方程， 焦点跟着正项走 19 双曲线 定 义 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图像 方 程 焦 点坐标 焦点位置判断 a, b, c的关系 a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 ||MF1|－|MF2||=2a (2a<2c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 化为标准方程，焦点跟着正项走 20 应用探究 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，a=4，b=3； （2）焦点为(0,-6),(0,6)，且经过点(2,-5). (1)解：∵焦点在x轴上，故可设双曲线的标准方程为 所以双曲线的标准方程为 21 应用探究 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，a=4，b=3； （2）焦点为(0,-6),(0,6)，且经过点(2,-5). (2) 解1（待定系数法）: ∵焦点在y轴上，故可设双曲线的标准方程为 22 应用探究 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，a=4，b=3； （2）焦点为(0,-6),(0,6)，且经过点(2,-5). (2) 解2: (定义法) 23 (1)求双曲线标准方程的步骤： ①定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点 位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式. ②定量：是指确定 的数值，常由条件列方程组求解. (2)求双曲线标准方程的两种方法： ①定义法：根据双曲线的定义得到相应的 ，再写出双曲线的标准方程. ②待定系数法： 先设出双曲线的标准方程 或者 然后根据条件求出待定的系数代入方程即可. 24 课堂小结 （2）双曲线的图形及标准方程： 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. （1）双曲线的定义: 问题5 通过今天的学习,你有什么收获？ 25 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 问题6 双曲线与椭圆之间的区别与联系有哪些？ ||MF1|－|MF2||=2a (2a<2c) |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 26 作业布置 （课本121页） 27 $$