精品解析：2024年山东省青岛市九年级中考数学模拟预测试题

2024年山东省青岛市中考数学模拟预测试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 文化和旅游部5月6日发布数据显示，2024年“五一”假期，全国国内旅游出游合计295000000人次．数据“295000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将先向下平移3个单位，再绕原点O按逆时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　） A. 1﹣2a＞1﹣2b B. ﹣a＜﹣b C. a+b＜0 D. |a|﹣|b|＞0 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图所示．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图是正确使用该工具时的示意图．如图，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若mm，mm，则这个紫砂壶的壶口半径的值为（ ） A. B. C. D. 8. 反比例函数和在第一象限的图象如图所示，A，B分别为图象上两点，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②AF+BE=EF；③当点E与点B重合时，MH=；其中正确结论的个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，①；②；③若，为函数图象上的两点，则；④若关于x的一元二次方程（）有整数根，则p的值有2个．其中正确的结论为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：（）﹣2+（π﹣3）0﹣＝_____． 12. 如图，正八边形边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）． 13. 下表是小明参加科技创新比赛的得分表（百分制），则小明的综合成绩是______分． 姓名 小明 综合成绩 ☆ 项目 理论知识 创新设计 现场展示 得分 85 88 90 权重 14. 代数式与代数式的值相等，则x＝______． 15. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为__________． 16. 如图，在正方形中，，点E为边上一点，，点F为延长线上一点，，连接，交对角线于点O．下列结论：①是等腰三角形；②；③；④．其中正确的是______．（只填写序号） 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上． 四、解答题（本大题共9小题，共68分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. （1）解不等式组：. （2）化简： 19. 为了解某县年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按，，，四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图． 请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生有 名；请补全条形统计图； （2）根据调查结果，请估计该县名初中毕业生数学质量检测成绩为级的人数是多少？ （3）等级中有甲、乙、丙、丁名学生成绩并列第一，现在要从这位学生中抽取名学生在校进行学习经验介绍，用树状图或列表格求出恰好选中甲乙两位学生的概率． 20. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） （1）求新传送带的长度． （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 21. 随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？ 22. 已知，如图．在中，，是中线．是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； 23 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 24. 如图，是直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时D点的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使为以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 26. 已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值； （3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省青岛市中考数学模拟预测试卷 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图所示，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图是从上面看来解答即可. 【详解】首先俯视是从上面看，这样的话，B就不对了，是从侧边看的，在利用空间想象，中间的一块会比较大，两边分别等大在侧，所以CD也可以排除了，所以选A. 故选A 【点睛】本题考查了图形的俯视图，明确三视图是从哪面看是关键. 2. 文化和旅游部5月6日发布数据显示，2024年“五一”假期，全国国内旅游出游合计295000000人次．数据“295000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法指一个数可写成（其中，为整数）的形式，根据题意，逐项判断即可． 【详解】解：． 故选：C． 3. 中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美．下列纹饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项正确，符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的概念，能够正确找出轴对称图形的对称轴和中心对称图形的对称中心是解题的关键． 4. 如图，将先向下平移3个单位，再绕原点O按逆时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形的旋转变化、平移变换等知识点，正确作出图形成为解题的关键． 根据题意画出图形，然后再确定点的坐标即可． 【详解】解：如图，． 故选：C． 5. 如图，数轴上两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（　　） A. 1﹣2a＞1﹣2b B. ﹣a＜﹣b C. a+b＜0 D. |a|﹣|b|＞0 【答案】A 【解析】 【分析】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次分析即可得到答案． 【详解】解：由题意得：a＜b， ∴﹣2a＞﹣2b， ∴1﹣2a＞1﹣2b， ∴A选项的结论成立； ∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， ∴B选项的结论不成立； ∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3， ∴， ∴， ∴a+b＞0， ∴C选项的结论不成立； ∵ ∴， ∴D选项的结论不成立． 故选：A． 【点睛】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识． 6. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】计算出根的判别式的大小，判断正负即可确定出方程根的情况． 【详解】解：方程x2+5x−3=0， 这里a=1，b=5，c=-3， ∵b2-4ac=52-4×1×(-3)=25+12=37>0， ∴有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】此题考查了根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式的意义． 7. 紫砂壶是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图所示．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证需要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图是正确使用该工具时的示意图．如图，为某紫砂壶的壶口，已知，两点在上，直线过点，且于点，交于点．若mm，mm，则这个紫砂壶的壶口半径的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，在中，利用勾股定理进行求解即可．掌握垂径定理，是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点，且于点， ∴， 连接，则， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 故选：A． 8. 反比例函数和在第一象限的图象如图所示，A，B分别为图象上两点，且轴，若的面积为2，则k的值为（　　） A. 4 B. 6 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查反比例函数比例系数与几何图形及面积关系，延长交y轴于点C，根据比例系数的几何意义，得到，进而得到，即可求出． 【详解】解：延长交y轴于点C， ∵点A在图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点B在图象上， ∴， 故选：A． 9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②AF+BE=EF；③当点E与点B重合时，MH=；其中正确结论的个数是(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可对①作出判断；如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而对③作出判断；如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可对②作出判断，进而得到答案； 【详解】：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形， ∴，故①正确； 如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合， ∴MB⊥BC，∠MBC=90°， ∵MG⊥AC， ∴∠MGC=90°=∠C=∠MBC， ∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形， ∴MH=MB=CG， ∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=∠ACF=45°， ∴CF=AF=BF， ∴FG是△ACB的中位线， ∴当点E与点B重合时，MH=，故③正确； 如图2所示， ∵AC=BC，∠ACB=90°， ∴∠A=∠5=45°． 将△ACF顺时针旋转90°至△BCD， 则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF； ∵∠2=45°， ∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°， ∴∠DCE=∠2． ， ∴△ECF≌△ECD（SAS）， ∴EF=DE． ∵∠5=45°， ∴∠DBE=90°， ∴，即：，故②错误； 综上，有两个结论正确， 故选：C； 【点睛】本题主要考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，综合性较强，有一定的难度． 10. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，①；②；③若，为函数图象上的两点，则；④若关于x的一元二次方程（）有整数根，则p的值有2个．其中正确的结论为（ ） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图像与一元二次方程的整数根的情况判断，掌握以上知识是解题的关键．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，再根据对称轴方程可判断与0的关系，从而可判断①，由对称轴方程可得：当时，函数取最大值，可判断②，由＞，可得的位置，结合二次函数的性质可判断③，先求解，再由函数图像得当时，，其中x为整数时，，1，2，从而可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴，故①正确； ∴当时，y最大，即，故②正确； ∵＞ 在对称轴上或右侧，随的增大而减小， ∴，故③错误； ∵抛物线的对称轴是，与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另个交点是， 把代入得，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 解得，． ∴， ∴顶点坐标为， 由图象得当时，，其中x为整数时，，1，2， 又∵与时，关于直线轴对称 当时，直线恰好过抛物线顶点． 所以p值可以有2个．故④正确； 故选C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：（）﹣2+（π﹣3）0﹣＝_____． 【答案】2 【解析】 【详解】本题解析：分别计算零指数幂、负整数指数幂及二次根式的化简可得：原式=4+1-3=2.故答案为2. 12. 如图，正八边形的边长为4，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先利用正八边形求出圆心角的度数，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积，正多边形的每个内角度数为． 13. 下表是小明参加科技创新比赛的得分表（百分制），则小明的综合成绩是______分． 姓名 小明 综合成绩 ☆ 项目 理论知识 创新设计 现场展示 得分 85 88 90 权重 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的求解，根据题意利用加权平均数的定义进行求解即可． 【详解】解：小明的综合成绩是分， 故答案为：88． 14. 代数式与代数式的值相等，则x＝______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据题意列出分式方程，求出方程的解，得到x的值即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的值相等， ∴， 去分母 ， 去括号号 ， 解得， 检验：当时，， ∴分式方程的解为． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 15. 如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【详解】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4）， ∴D（﹣3，2）， ∵双曲线y=经过点D， ∴k=﹣3×2=﹣6， ∴的面积=|k|=3． 又∵的面积=×6×4=12， ∴的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9． 故答案为：9． 16. 如图，在正方形中，，点E为边上一点，，点F为延长线上一点，，连接，交对角线于点O．下列结论：①是等腰三角形；②；③；④．其中正确的是______．（只填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ∴①的结论正确； ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴和不是相似三角形， ∴②的结论不正确； 设与交于点G， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴③的结论正确； 过点E作交于点H， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 由①知：， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴④的结论正确． ∴正确的结论是：①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：． 求作：点P，使，且点P在边的高上． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作的垂直平分线和边上的高，它们的交点为P点． 【详解】解：如图，点P为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质． 四、解答题（本大题共9小题，共68分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. （1）解不等式组：. （2）化简： 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可； （2）首先把括号里的式子进行通分，然后进行因式分解，再约分化简即可求解． 【详解】解：（1）解不等式①：，， 解不等式②：，， ∴不等式的解集为：； （2）原式 ， . 故答案为（1）；（2）. 【点睛】本题考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的基本步骤及分式的混合运算顺序、法则． 19. 为了解某县年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况，随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩，按，，，四个等级进行统计分析，并绘制了如下尚不完整的统计图． 请根据以上统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生有 名；请补全条形统计图； （2）根据调查结果，请估计该县名初中毕业生数学质量检测成绩为级的人数是多少？ （3）等级中有甲、乙、丙、丁名学生成绩并列第一，现在要从这位学生中抽取名学生在校进行学习经验介绍，用树状图或列表格求出恰好选中甲乙两位学生的概率． 【答案】（1）；补全条形统计图1见解析 （2）名 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图与扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． （1）用A的人数除以A所占的百分比求出总人数，求出C的人数即可补全图形； （2）用该校初中毕业的人数乘以A级的人数所占的百分比即可； （3）先根据题意画出树状图，再根据概率公式即可得出答案． 小问1详解】 本次抽取的学生有（名）； 故B组人数为：名， 补全统计图如图所示； 【小问2详解】 根据题意得：（名）， 答：该县名初中毕业生数学质量检测成绩为级的人数是286名． 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好抽到甲乙的有2种结果， ∴恰好选中甲乙两位学生的概率为． 20. 如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为，已知原传送带长为4米．（计算结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） （1）求新传送带的长度． （2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物是否需要挪走，并说明理由． 【答案】（1）新传送带AC的长度为6.1米 （2）货物需要搬走，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题． （1）过A作，在和中，利用解直角三角形求解即可； （2）在和中，求得和的长，根据，代入数据计算即可求解． 【小问1详解】 解：过A作， 在中， ， 米， 在中， ， 米， 答：新传送带AC的长度为6.1米； 小问2详解】 解：在中， ， 米， 在中，， 米， ， ， 货物需要搬走． 21. 随着人们环保意识的提高和技术的飞速发展，新能源汽车已成为汽车市场的一股不可忽视的力量．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩．已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用万元购买甲型充电桩与用万元购买乙型充电桩的数量相等． （1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的倍，则如何购买所需总费用最少？ 【答案】（1）甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元； （2）购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少． 【解析】 【分析】（）设乙型充电桩的单价是元，根据题意，列出分式方程即可求解； （）设购买甲型充电桩的数量为个，根据题意，列出不等式求出得取值范围，又设所需费用为元，求出与的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，列出分式方程和一次函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设乙型充电桩的单价是元，则甲型充电桩的单价是元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价为元，乙型充电桩的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得，， 解得， 设所需费用为元，由题意得，， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时，， 答：购买甲型充电桩个，乙型充电桩个，所需费用最少． 22. 已知，如图．在中，，是中线．是的中点，连接并延长到，使，连接、． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中线性质可得，再题目已知条件可证得； （2）根据直角三角形中线性质得，再由（1）结论可证，进而可求解． 【小问1详解】 是的中点， ， ，， ． 【小问2详解】 ，是中线， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 23. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且和的长均不小于，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）；4；2；（2）不能围出，理由见解析；（3）图见解析，；（4） 【解析】 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， 将点代入，得：， 解得； （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意； 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 24. 如图，是的直径，点是上的一点，与的延长线交于点，，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，若的半径为4，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理的应用等知识点，解答此题的关键是理解过半径的外端垂直于半径的直线是圆的切线． （1）连接，利用等边对等角求得，，利用三角形内角和定理求得，即可证明是的切线； （2）证明是的中位线，利用，根据扇形面积公式即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， 在 中，由三角形内角和得： ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：由（1）得， 为直角三角形， ，， ，，， ， ，， ，， ， 图中阴影部分的面积为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交x轴于点，交y轴于点，在y轴上有一点，连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时D点的坐标； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使为以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标即可；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）面积的最大值为，此时D点坐标为 （3）存在，点P的坐标为． 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数表达式，等腰三角形的判定等知识，数形结合与分类讨论数学思想是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解即可； （2）可求得直线的表达式为过点D作 轴于点G， 交于点F， 设则所以，则 ，即可求得面积的最大值是； （3）先求得抛物线的对称轴为直线设再分三种情况讨论，一是为等腰三角形，且以为底边，二是为等腰三角形，且以为底边，三是为等腰三角形，且以为底边，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ， ， 解得 ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为则 解得 ∴直线的表达式为 如图1，过点D作轴于点G，交于点F， 设则 ， ， ， ∴当时， 面积的最大值是 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线 如图3， 为等腰三角形，且以为底边， 解得 ， 如图4， 为等腰三角形，且以为底边， 解得 综上所述，点P的坐标为． 26. 已知：如图，在四边形和中，，，点在上，，，，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点．设运动时间为． 解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值； （3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） t=；（2）t=3;（3）S与t的函数关系式为；（4）存在，t=, 【解析】 【分析】（1）要使点M在线段CQ的垂直平分线上，只需证CM=MQ即可； （2）由矩形性质得PH=QN，由已知和AP=2t，MQ=t，解直角三角形推导出PH、QN，进而得关于t的方程，解之即可； （3）分别用t表示出梯形GHFM的面积、△QHF的面积、△CMQ的面积，即可得到S与t的函数关系式； （4）延长AC交EF与T，证得AT⊥EF，要使点P在∠AFE的平分线上，只需PT=PH，分别用t表示PT、PH，代入得关于t的方程，解之即可． 【详解】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为： 由题意，CE=2，CM∥BF， ∴即：， 解得：CM=， 要使点在线段的垂直平分线上， 只需QM=CM=， ∴t=； （2）如图，∵，，， ∴AC=10，EF=10，sin∠PAH=，cos∠PAH=，sin∠EFB=， Rt△APH中，AP=2t， ∴PH=AP·sin∠PAH=， 在Rt△ECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=， 在Rt△QNF中，QF=10-t-=， ∴QN=QF·sin∠EFB=()×=， 四边形为矩形， ∴PH=QN， ∴=， 解得：t=3； （3）如图，过Q作QN⊥AF于N， 由（2）中知QN=，AH=AP·cos∠PAH=， ∴BH=GC=8-， ∴GM=GC+CM=，HF=HB+BF=， ∴ = = =， ∴S与t的函数关系式为：； （4）存在，t=． 证明：如图，延长AC交EF于T， ∵AB=BF,BC=BF, ， ∴△ABC≌△EBF， ∴∠BAC=∠BEF， ∵∠EFB+∠BEF=90º， ∴∠BAC+∠EFB=90º， ∴∠ATE=90º即PT⊥EF， 要使点在的平分线上，只需PH=PT， 在Rt△ECM中，CE=2,sin∠BEF=， CT=CE·sin∠BEF =， PT=10+-2t=，又PH=， =， 解得：t=． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$