河南省中考数学新动向中考最值系列1-垂线段最短专项练习

中考最值系列1-------------垂线段最短专项练习 一、知识回顾 问题：如图，点A为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使AP的值最小． 解题思路： 一找：过点A作直线l的垂线交直线l于点P； 二证：证明AP是点A到直线l的最短距离． 请写出解题思路“二证”的过程． 1．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC＝8，∠BAC＝30°，点P是对角线AC上一动点，连接BP． （1）线段BP的最小值为 　 　； （2）若以AP，BP为邻边作▱APBQ，连接PQ，则线段PQ的最小值为 　 　． 2．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，S△ABC＝12，点D为AB中点，点M，N分别是CD和BC上的动点，则BM+MN的最小值是 　 　． 3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为 　． 4．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线 y＝x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 　 　． 5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是对角线BD上一点，EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG，则EF+FG的最小值为 　 　． 6．（3分）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　． 7．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，cos∠ABC＝，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，则BD长的最大值为 　 　，BD长的最小值为 　 　． 8． （3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是AC延长线上的一点，CD＝2．M是边BC上的一点（点M与点B、C不重合），以CD、CM为邻边作▱CMND．连接AN并取AN的中点P，连接PM，则PM的取值范围是 　 　． 9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为　 　． 10.（9分）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，求线段OP长的最小值. 11．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE， ①DE2的最小值为 　 　． ②求△ADE面积的最大值． 12．（10分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C，M为直线BC上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值 ． 二、模型分析 问题：如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，试确定点P的位置，使kAP+BP（0＜k＜1）的值最小． 解题思路： 一找：找带有系数k的线段AP； 二构：在直线l下方构造以线段AP为斜边的直角三角形； ①在直线l上找一点P′，以定点A为顶点作角∠NAP′，使sin∠NAP'＝k； ②过点B作BE⊥AN于点E，交直线l于点P，构造Rt△APE； 三转化：化折为直，将kAP转化为PE； 四证：证明kAP+BP的最小值为BE的长． 请根据“解题思路”写出求kAP+BP最小值的完整过程． 1．(3分)如图，四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，AB＝4，点E为AD上的定点，且AE＜ED，F为AC上的动点，则EF+FC的最小值为 　 　． 2．(3分)如图，在正方形ABCD中，AB＝10，对角线AC，BD相交于点O，点E是AO的中点，点F为对角线BD上的动点，则EF+BF的最小值为 　 　． 3．(3分)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是　 　． 4．(3分)如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD+CD的最小值为 　 　． 5．(3分)如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于 　 　． 6．(9分)如图，已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．若点Q为线段OC上的动点，求AQ+CQ的最小值． 7．(10分)如图，抛物线y＝x2﹣x+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）当0＜x≤2时，求y＝x2﹣x+c的函数值的取值范围； （3）将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+PM的最小值． 参考答案 1．（1）当BP⊥AC时，BP取最小值， ∵AC＝8，∠BAC＝30°， ∴AB＝AC•cos30°＝4， ∴BP 最小＝AB•sin30°＝2； 故答案为：2； （2）根据题意，作图如下： ∵四边形APBQ是平行四边形， ∵AO＝AB＝2，PQ＝2OP， ∴要求PQ的最小值，即求OP的最小值，当OP⊥AC时，OP取最小值， ∴OP＝AO•sin30°＝， ∴PQ的最小值为2． 2．解：如图，∵CA＝CB，D是AB的中点， ∴CD是∠ACB的平分线， ∴点N关于CD的对称N′在AC上， 过点B作BH⊥AC于点H． ∵AC＝6，S△ABC＝12， ∴×6•BH＝12， 解得BH＝4， ∵BM+MN＝BM+MN′≥BH＝4， ∴BM+MN的最小值为4． 故答案为：4． 方法二：∵CA＝CB，D是AB的中点， ∴CD是AB的垂直平分线， ∴BM＝AM， BM+MN＝AM+MN， 当AN⊥BC时最小， ∴BM+MN的最小值为4． 3.解：在Rt△ABC中， tanB＝， ∴AC＝． ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD＝． 在Rt△ACD中， tan∠CAD＝， ∴CD＝． ∵AD平分∠CAB，且DC⊥AC， ∴点D到AB边的距离等于线段CD的长， 即线段DE长度的最小值为2． 4.解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD， ∴当AC最小时，BD最小． ∵点A在抛物线y＝x2﹣2x+2上运动， ∴AC的长为yA的值． ∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1， ∴当x＝1时，yA最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 5.解：如图，在AD上取一点P，使得PD＝PB，连接BP，PC，EC，过点C作CJ⊥BP于点J，过点E作EK⊥BP于点K． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝6，AD∥BC，∠A＝90°， 设PD＝PB＝x，则x2＝（6﹣x）2+42， ∴x＝， ∵S△PBC＝•PB•CJ＝×6×4， ∴CJ＝， ∵AD∥CB， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵PD＝PB， ∴∠PDB＝∠PBD， ∴∠PBD＝∠PBC， ∵EK⊥BC，EK⊥BP， ∴EF＝EK， ∵EG⊥CD， ∴∠EFC＝∠FCG＝∠CGF＝90°， ∴四边形EFCG是矩形， ∴FG＝EC， ∴EF+FG＝EK+CE≥CJ＝， ∴EF+FG 的最小值为． 6.解：如图，连接MP、MQ， ∵PQ是⊙M的切线， ∴MQ⊥PQ， ∴PQ＝＝， 当PM最小时，PQ最小， 当MP⊥AB时，MP最小， 直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝OB＝4， ∴∠BAO＝45°，AM＝8， 当MP⊥AB时，MP＝AM•sin∠BAO＝8×＝4， ∴PQ的最小值为：＝＝2， 故答案为：2． 7.解：∵将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP， ∴BP＝PD， ∴△BPD是等腰三角形， ∴∠PBD＝30°， 过点P作PH⊥BD于点H， ∴BH＝DH， ∵cos30°＝＝， ∴BH＝BP， ∴BD＝BP， ∴当BP最大时，BD取最大值，即点P与点A重合时，BP＝BA最大， 过点A作AG⊥BC于点G， ∵AB＝AC，AG⊥BC， ∴BG＝BC＝3， ∵cos∠ABC＝， ∴， ∴AB＝9， ∴BD最大值为：BP＝9． 8.解：∵AB＝AC＝4， ∴AD＝6， ∵△ABC是等腰直角三角形，四边形CNMD是平行四边形， ∴DN∥BC，DN＝BC，CD∥MN，CD＝MN， ∴∠ADN＝∠ACB＝45°＝∠ABC＝∠CMN， 当M与B重合时，如图M1，N1，P1，∠ABN1＝90°， ∴AN1＝＝2， ∵P1是中点， ∴MP1＝AN1＝， 当MP⊥BC时，如图P2，M2，N2， ∵P1，P，P2是中点， ∴P的运动轨迹为平行于BC的线段，交AC于H， ∴CH＝3﹣2＝1， ∵∠ACB＝45°， ∴PH与BC间的距离为P2M2＝CH＝， ∵M不与B、C重合， ∴． 9.解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△AHB中， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴BH＝1，AH＝， 在Rt△AHC中，∠ACB＝45°， ∴AC＝＝＝， ∵点D为BC中点， ∴BD＝CD， 在△BFD与△CKD中， ， ∴△BFD≌△CKD（AAS）， ∴BF＝CK， 延长AE，过点C作CN⊥AE于点N， 可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN， 在Rt△ACN中，AN＜AC， 当直线l⊥AC时，最大值为， 综上所述，AE+BF的最大值为． 10.解：如图，不妨假设点P在AB的左侧， ∵S△PAB+S△ABC＝S△PBC+S△PAC， ∴S1+S0＝S2+S3， ∵S1+S2+S3＝2S0， ∴S1+S1+S0＝2， ∴S1＝S0， ∵△ABC是等边三角形，边长为6， ∴S0＝×62＝9， ∴S1＝， 过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T． ∵△PAB的面积是定值， ∴点P的运动轨迹是直线PM， ∵O是△ABC的中心， ∴CT⊥AB，CT⊥PM， ∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝， ∴RT＝， ∴OT＝OR+TR＝， ∵OP≥OT， ∴OP的最小值为， 当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为， 如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为， ∵＜， 11.解：作CF⊥AB于点F， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝6， ∴AF＝BF，∠CAB＝∠B＝45°， ∴CF＝AF＝BF＝AB＝3， ∵△CDE是等腰直角三角形，且∠DCE＝90°， ∴EC＝DC， ∴DE2＝DC2+EC2＝2DC2， ∵DC≥CF， ∴DC≥3， ∴DC的最小值为3， 当DC＝3时，DE2＝2×32＝18， ∴DE2的最小值为18； ∵∠ACE+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE＝BD＝6﹣AD，∠CAE＝∠B＝45°， ∴∠DAE＝90°， ∴S△ADE＝AD•AE＝AD（6﹣AD）＝（AD﹣3）2+， ∴当AD＝3时，S△ADE最大＝， 12．解：将x＝0代入y＝﹣x2+x+2得y＝2， ∴点C坐标为（0，2）， 令0＝﹣x2+x+2， 解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（4，0）， ∴AC＝＝，BC＝＝2，AB＝5， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴△ACB为直角三角形，∠ACB＝90°， ∴点A关于直线BC的对称点A'坐标为（1，4）， ∵BC是AA'的垂直平分线， ∴A'M＝AM，即AM+MN＝A'M+MN， ∴当A'N⊥x轴时，AM+MN的最小值为A'N的长度4． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$