精品解析：河北省邯郸市三龙育华中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

育华中学23-24学年高一第二学期期中测试数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知复数，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算，即可得到结果. 【详解】由复数的运算可得. 故选：B 2. 设为实数，向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据列式计算. 【详解】因为， 所以， 解得或. 故选：D. 3. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算直观图的面积为，再根据直观图的面积与原图面积的关系为，计算得到答案. 【详解】直观图的面积，原图面积， 由直观图的面积与原图面积的关系为，得. 故选：B. 4. 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求出即可. 【详解】设圆台的母线长为l，高为h， 因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，母线， 因此圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故选：A 5. 已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合平行六面体的结构特征，利用几何法求出异面直线与所成角. 【详解】在平行六面体中，连接，， 则四边形是平行四边形，，于是是异面直线与所成角或其补角， 由，棱两两的夹角均为， 得都是正三角形，即，则， 所以异面直线与所成角为. 故选：C 6. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，，的中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出截面，得到截面为正六边形，从而可求出截面的面积 【详解】如图，分别取的中点，的中点,的中点，连接， 因为该几何体为正方体，所以∥,∥,∥,且 所以，，三点的平面截正方体所得的截面为正六边形， 所以该正六边形的面积为. 故选：D 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦推理判断即可. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 于是，而，则， 所以是等腰三角形. 故选：A 8. 半正多面体亦称“阿基米德体”“啊基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．某半正多面体由6个正方形和8个正六边形构成，其也可由正八面体（由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成）切割而成．在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 若平面平面，则 C. 该半正多面体的体积为 D. 该半正多面体的表面积为 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何体的特征即可求解A，根据线面平行的性质即可求解B，根据锥体的体积，结合相似即可求解C，根据面积公式即可求解. 【详解】如图所示： 对A选项，易知为正方形，，A选项正确； 对B选项，，平面，平面， 平面，又平面，且平面平面， ，又，，B选项正确； 对C选项，根据题意可知上、下两个正四棱锥的所有棱长都为3， 上、下两个正四棱锥的高为边长为3的正方形的对角线一半，即为， 一个大正四棱锥的体积为， 又截去的一个小正四棱锥与大正四棱锥的相似比为， 一个小正四棱锥的体积为， 该半正多面体的体积为，C选项错误； 对D选项，根据题意可得该半正多面体的表面积为： ，D选项正确． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面以及平面与平面的位置关系，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，若，，则或者异面，或者相交，故A错误， 对于B，若，，则，故B正确， 对于C，若，，则或者，故C错误， 对于D，若，，则，D正确， 故选：BD 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得. 【详解】设、； 对A：设，则， ，故A错误； 对B： ，又，即有，故B正确； 对C：，则， ，，则， 即有，故C正确； 对D： ， ， 故，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中不正确的结论是（ ） A. 直线MN与AC所成的角为 B. 直线AM与BN是平行直线 C. 二面角的平面角的正切值为 D. 点C与平面MAB的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用线线平行结合异面直线的夹角即可求解A，由异面直线的性质即可求解B，根据二面角的定义可得其平面角，即可根据三角形的边角关系求解C，根据等体积法即可求解D. 【详解】对于A，连接，，则直线与所成角为或其补角， 为等边三角形，，直线与所成角为，故A对； 对于B，取中点为，连接，由于，而相交，所以直线，异面，故B错误； 对于C，连接相交于，连接, 由于，所以, 所以为二面角的平面角， 在中，，故C错误， 对于D，，设到平面的距离为， 由得，故D正确， 故选：BC 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正棱台的侧面积得到斜高为1，再计算正棱台的高即可. 【详解】如图所示： 设正四棱台的侧高为，高为， 棱台的侧面积，所以. 所以. 故答案为： 13. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意可得，设角的平分线交于，即可得到，从而得到为等腰直角三角形，即可得解. 【详解】设角的平分线交于，因为，故，即， 又表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量， 设，（如图所示），，因为， 故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上. 因为，故，故. 综上，为等腰直角三角形且，所以. 故答案为： 14. 已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合条件可求，，即可根据等面积法求解内切球半径，即可根据面积公式求解. 【详解】因为， 所以，， 设的内切圆的半径为， 则， 即，解得， 由题可知三棱柱的内切球的半径为1，其表面积为， 故答案为：． 15. 已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求得当的面积最大时，易知，利用勾股定理可得两两垂直，通过构造正方体即可得三棱锥的外接球半径为，可得其表面积. 【详解】根据题意可知，如下图所示： 当的面积最大时，即取得最大值， 可得， 由对称性可知，可得； 又因为为的中点，所以， 又，由勾股定理可知棱两两垂直， 所以三棱锥的外接球半径为， 可得该外接球的表面积， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：在求解三棱锥的外接球问题时，可根据几何体特征通过构造出正方体求得外接球半径，即可求出结果. 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知复数，． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由纯虚数定义直接求得； （2）由在复平面内对应的点在第四象限建立不等式组即可求得． 【小问1详解】 是纯虚数， ， ． 【小问2详解】 在复平面内对应的点为,，在第四象限， ， ． 即的取值范围为． 17. 已知向量与的夹角为60°，＝1，． （1）求及； （2）求. 【答案】（1）2，1； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用模长坐标公式求，再由数量积的定义求； （2）应用向量数量积的运算律求即可. 【小问1详解】 由题设，则 【小问2详解】 由 ， 所以. 18. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求点到平面的距离． 【答案】（1） 连接交于，连接， 则为的中点，又是的中点， 所以是的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，即可得到，从而得证； （2）利用等体积法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 正方体中，易知平面， 设点到平面的距离为， 所以． 19. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得值，结合（1）的结论可得，进而根据向量的模长即可求解． 【小问1详解】 由正弦定理可得, 由于，所以，故， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，，的面积为， 所以， 由（1）知，可得， 因为， 所以， 解得，可得的长为． 20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. E，M分别为线段AB，PD的中点. （I）求证：PE⊥平面ABCD； （II）求证：PB//平面ACM； （III）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由． 【答案】 （1）因为为正三角形，E为AB的中点， 所以PE⊥AB， 又因为面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，平面PAB. 所以PE⊥平面ABCD. （2）证明：连接BD交AC于H点，连接MH， 因为四边形ABCD是菱形， 所以点H为BD的中点. 又因为M为PD的中点， 所以MH // BP. 又因为 BP 平面ACM, 平面ACM. 所以 PB // 平面ACM. （3）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面GAM⊥平面ABCD． 证明：连接．由（Ⅰ）得，PE⊥平面ABCD， 所以PE⊥CD，因为ABCD是菱形，∠ ABC＝60°，E为AB的中点， 所以是正三角形，EC⊥AB . 因为CD // AB， 所以EC⊥CD． 因为PE∩EC=E， 所以CD⊥平面PEC， 所以CD⊥PC． 因为M，G分别为PD，CD的中点， 所以MG//PC， 所以CD⊥MG． 因为ABCD是菱形，∠ADC＝60°， 所以是正三角形. 又因为G为CD的中点， 所以CD⊥AG， 因为MG∩AG=G， 所以CD⊥平面MAG， 因为平面ABCD， 所以平面MAG⊥平面ABCD． 【解析】 【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，可先证线线垂直，再根据线面垂直的判定得到线面垂直；（2）构造三角形的中位线得到线线平行，进而得到线面平行；（3）在棱CD上存在点G，G为CD的中点时，平面GAM⊥平面ABCD，先猜后证，先证线面垂直，由线面推出面面垂直．解析： （I）略 （II）略 （III）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育华中学23-24学年高一第二学期期中测试数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知复数，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 设为实数，向量，，且，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 某圆台上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，母线长为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知各棱长都为1的平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，，的中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为（ ） A. 4 B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 8. 半正多面体亦称“阿基米德体”“啊基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．某半正多面体由6个正方形和8个正六边形构成，其也可由正八面体（由八个等边三角形构成，也可以看作上、下两个正四棱锥黏合而成）切割而成．在如图所示的半正多面体中，若其棱长为1，则下列结论不正确的是（ ） A. B. 若平面平面，则 C. 该半正多面体的体积为 D. 该半正多面体的表面积为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知表示两条不同直线，a表示平面，则下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知复数均不为0，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，在棱长为2的正方体中，M，N分别为，的中点，其中不正确的结论是（ ） A. 直线MN与AC所成的角为 B. 直线AM与BN是平行直线 C. 二面角的平面角的正切值为 D. 点C与平面MAB的距离为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在正四棱台中，已知，，且棱台的侧面积为6，则该棱台的高为__________． 13. 在中，已知向量与满足，且，则角__________. 14. 已知在直三棱柱中，，， ，且此三棱柱有内切球，则此三棱柱的内切球的表面积为______． 15. 已知菱形的边长为2，且，将沿直线翻折为，记的中点为，当的面积最大时，三棱锥的外接球表面积为__________. 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 已知复数，． （1）若z是纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围． 17. 已知向量与的夹角为60°，＝1，． （1）求及； （2）求. 18. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）设正方体的棱长为1，求点到平面的距离． 19. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. E，M分别为线段AB，PD的中点. （I）求证：PE⊥平面ABCD； （II）求证：PB//平面ACM； （III）在棱CD上是否存在点G，使平面GAM⊥平面ABCD，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $