18.4 相似多边形（第1课时 相关概念 2大题型提分练）数学北京版九年级上册

18.4 相似多边形 相关概念 同步练习 题型一 相似图形 1．观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 3．下面各组图形中，不是相似形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（　　） A．在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝90°，∠A＝30°，∠C'＝60°，则△ABC和△A'B'C'不相似 B．在△ABC和△A'B'C'中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，A'C'＝16，B'C'＝14，A'B'＝10，则△ABC∽△A'B'C' C．两个全等三角形不一定相似 D．所有的菱形都相似 题型二．相似多边形的性质 5．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值． 6．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 8．如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？ 9．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． （1）∠D'的度数为 　 　，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为 　 　； （2）分别求边BC与边CD的长度． 10．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度． 四．相似多边形的性质（共1小题） 11．已知，矩形的一组邻边长分别为6和a，画一线段把它分割成两个矩形，若这两个矩形相似，且其中一个矩形有一边长为4，求a的值． 1．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 2．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（　　） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 3．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形DABC相似，则AB：BC的值为（　　） A．2 B． C． D． 4．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 　 　． 5．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么AB与AD的比值是多少？ 6．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应． （1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数； （2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.4 相似多边形 相关概念 同步练习 题型一 相似图形 1．观察下列每组图形，是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：A．两图形形状相同，故是相似图形； B．两图形形状不同，故不是相似图形； C．两图形形状不同，故不是相似图形； D．两图形形状不同，故不是相似图形； 故选：A． 2．下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个平行四边形不一定相似，故本选项错误； B、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确； C、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误； D、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误． 故选：B． 3．下面各组图形中，不是相似形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、两幅国旗相似，故不符合题意； B、顶角不相等的两个等腰三角形不相似，故符合题意； C、两个五角星相似，故不符合题意； D、所有的圆都相似，故不符合题意， 故选：B． 4．下列说法正确的是（　　） A．在△ABC和△A'B'C'中，∠B＝∠B'＝90°，∠A＝30°，∠C'＝60°，则△ABC和△A'B'C'不相似 B．在△ABC和△A'B'C'中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，A'C'＝16，B'C'＝14，A'B'＝10，则△ABC∽△A'B'C' C．两个全等三角形不一定相似 D．所有的菱形都相似 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵∠B＝90°，∠A＝30°， ∴∠C＝60°． 又∠C′＝60°， ∴∠C＝∠C′，则△ABC和△A′B′C′相似，A不符合题意； △ABC和在△A′B′C′中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，A′C′＝16，B′C′＝14，A′B′＝10， 则， 则△ABC∽△A′B′C′，B符合题意； 两个全等三角形一定相似，C不符合题意； 所有的菱形不一定都相似，D不符合题意； 故选：B． 题型二 相似多边形的性质 5．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】如图1中，根据两个相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值； 如图2中，由相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可求得答案． 【详解】解：如图1中，∵△ABC∽△A′B′C′， ∴，α＝40°， ∴x＝9； 如图2中，∵∠D＝180°﹣65°﹣70°＝45°， ∵△ABC∽△A′B′C′， ∴α＝∠D＝45°． 6．已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵2， ∴A选项中的矩形与矩形ABCD相似． 故选：A． 7．如图，在边长为1的正方形构成的网格中，四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出两个四边形对应边的边长，可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，AB＝8，，，，EF＝4， ∴， ∴四边形ABCD和四边形EFGH的相似比是2：1， 故选：C． 8．如图，一块矩形绸布的长AB＝am，宽AD＝1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？ 【答案】． 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴， 解得a或（舍去）， ∴a， 故a的值应当是：． 9．如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'． （1）∠D'的度数为 　 　，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为 　 　； （2）分别求边BC与边CD的长度． 【答案】（1）48°，； （2）BC＝12，CD＝15． 【分析】（1）根据相似得到对应角相等，再根据四边形内角和定理即可得到答案； （2）根据相似得到对应线段成比例即可得到答案． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴∠A＝∠A'＝102°，∠B＝∠B＝90°，∠C＝∠C'＝120°， ∴∠D'＝360°﹣102°﹣90°﹣120°＝48°， 相似比为：． 故答案为：48°，； （2）∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'， ∴， ∴，． 10．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度． 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度x． 【详解】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°， 在四边形EFGH中，∠β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°， ∵四边形ABCD∽四边形EFGH， ∴EH：AD＝EF：AB， ∴x：21＝24：18， 解得x＝28， ∴EH＝28cm． 11．已知，矩形的一组邻边长分别为6和a，画一线段把它分割成两个矩形，若这两个矩形相似，且其中一个矩形有一边长为4，求a的值． 【答案】a＝2，4，8或13． 【分析】根据题意画出图形，再分4≤a＜6和a＞6两种情况进行讨论． 【详解】解：设AB＜AD， 如图1，当4≤a＜6，则AB＝a，AD＝6，CF＝DE＝2， 当矩形ABFE∽矩形DEFC时， ，即，解得a＝2； 当矩形ABFE∽矩形EFCD时， ，即．不成立，故此种情况不存在； 如图2，若a≥6，则AB＝6，BC＝a，此时BF＝4，DE＝a﹣4， 当矩形ABFE∽矩形DEFC时， ，即，解得a＝13； 当矩形ABFE∽矩形EFCD时， ，即，解得a＝8． 如图3，当a＝4时，矩形AEFD≌矩形EBCF， 综上所述，a＝2，4，8或13． 1．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】根据题目所给扩张方式，得出外部的三角形与原三角形的三个内角相等，再根据三角形及四边形相似的判定即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为新三角形的三边与原三角形对应三边的距离为1， 所以新三角形的三边与原三角形的三边平行， 则新三角形的三个内角与原三角形相等， 所以新三角形与原三角形相似． 故甲的说法正确． 新矩形的长为10+1+1＝12，宽为6+1+1＝8， 因为， 所以新矩形与原矩形不相似． 故乙的说法不正确． 故选：A． 2．小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（　　） A．结论1、结论2都正确 B．结论1正确、结论2不正确 C．结论1不正确、结论2正确 D．结论1、结论2都不正确 【答案】B 【分析】分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误． 【详解】如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确； 如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确； 故选：B． 3．如图，矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F．若矩形AEFD与矩形DABC相似，则AB：BC的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似多边形的对应边成比例进行计算即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC， ∵矩形ABCD的对称轴分别交AB于点E，交CD于点F， ∴AEAB， ∵矩形AEFD与矩形DABC相似， ∴， ∴， ∴AB2＝BC2， ∴AB2＝2BC2， ∴ABBC， ∴AB：BC， 故选：B． 4．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 　 　． 【答案】见试题解答内容 【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项． 【详解】解：①三边分别为：，2，，②三边分别为：1，，，③三边分别为：，，3，④三边分别为：1，，2，⑤三边分别为：2，，， ∵， ∴图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 5．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么AB与AD的比值是多少？ 【答案】． 【分析】根据矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值． 【详解】解：∵矩形ABCD的面积是矩形ABFE面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 答：AB与AD的比值是． 6．已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应． （1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数； （2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长． 【答案】（1）120°． （2）42． 【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可． （2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1， ∴∠C＝∠C1＝90°， ∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°． （2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1， ∴， ∴， ∴BC＝12，AD＝6， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$