1.3.2空间向量运算的坐标表示（导学案）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.2《 空间向量运算的坐标表示》导学案（原卷版） 一.学习目标 1.认识与理解空间向量运算的坐标表示；（数学抽象、直观想象） 2.能灵活地运用空间向量运算的坐标表示解决相关的立体几何的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 二.学习过程（导学、自学） 类比平面向量运算的坐标表示，我们可以得到 （一）空间向量加减运算的坐标表示 如果已知 那么 ； . 简述为：“空间中两个向量 的坐标分别等于这两个向量 的和与差.” （二）空间向量坐标的求解方法 如果已知 那么 . 简述为：“一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 坐标.” （三）空间向量数乘运算的坐标表示 如果已知 ，那么 . 即“实数与空间向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 .” （四）空间向量共线的坐标表示 如果已知，其中 ，那么与共线（即 ）的充要条件是 存在实数，使得 . 即： ； ； . 简述为：“两个空间向量共线（或平行）的充要条件是“ 坐标对应 .” （五）空间向量数量积的坐标表示 如果已知 ， 那么 . 简述为：“两个空间向量的数量积等于它们对应坐标 ”. 证明：设为空间的一个单位正交基底， ∵ ∴ ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ， ∴ . 思考：同学们，其它空间向量的坐标运算表示，你们能进行类似的证明吗？ （六）空间向量垂直的充要条件 设 与 是空间中两个非零向量， ， 则 ； . 即空间中两个非零向量垂直的充要条件为：”两个向量的数量积值为 ”或“两个向量的坐标 ” （七）空间向量的模长公式 如果已知 ，据数量积的坐标公式可得 . 即“一个空间向量的模长等于它 坐标的 再开 .” （八）空间两点间的距离公式 特别地，作有向线段 , 据空间向量的模长公式可得 设 ， 则 故此时 . （九）空间向量的夹角公式 设 与 是空间非零向量， ， 是 与 的夹角，即根据数量积的定义 ， 坐标表示 ， 以及向量的模长公式 ， ，可得 . 三.小组合作、讨论交流(互学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1如图，在正方体中，，分别是，的中点 求证． 例2 如图，在棱长为的正方体中，为的中点， ，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 四.达标检测（迁移变通、检测实践） 1.已知为坐标原点，向量，点，若点在直线上，且，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 2.在正四棱柱中，，，动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是(    ) A. B. C. D. 3.设向量，其中，则下列判断错误的是(    ) A. 向量与轴正方向的夹角为定值与，之值无关 B. 的最大值为 C. 与的夹角的最大值为 D. 的最大值为． 4.已知向量，，点，则       ；在直线上，存在一点，使得，则点的坐标为     ． 5.已知空间四点，，，． 若、、、四点共面，求的值； 求以，为边的平行四边形的面积． 五.课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 六、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.2《 空间向量运算的坐标表示》导学案（解析版） 一.学习目标 1.认识与理解空间向量运算的坐标表示；（数学抽象、直观想象） 2.能灵活地运用空间向量运算的坐标表示解决相关的立体几何的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 二.学习过程（导学、自学） 类比平面向量运算的坐标表示，我们可以得到 （一）空间向量加减运算的坐标表示 如果已知 那么 ； . 简述为：“空间中两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.” （二）空间向量坐标的求解方法 如果已知 那么 . 简述为：“一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.” （三）空间向量数乘运算的坐标表示 如果已知 ，那么. 即“实数与空间向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.” （四）空间向量共线的坐标表示 如果已知，其中 ，那么与共线（即 ）的充要条件是 存在实数，使得 . 即： , ； . 简述为：“两个空间向量共线（或平行）的充要条件是“横、纵、竖坐标对应成比例.” （五）空间向量数量积的坐标表示 如果已知 ， 那么 . 简述为：“两个空间向量的数量积等于它们对应坐标相乘再求和”. 证明：设为空间的一个单位正交基底， ∵ ∴ ， ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ . 思考：同学们，其它空间向量的坐标运算表示，你们能进行类似的证明吗？ （六）空间向量垂直的充要条件 设 与 是空间中两个非零向量， ， 则 ； . 即空间中两个非零向量垂直的充要条件为：”两个向量的数量积值为0”或“两个向量的坐标对应相乘和为0” （七）空间向量的模长公式 如果已知 ，据数量积的坐标公式可得 . 即“一个空间向量的模长等于它横、纵、竖坐标的平方和再开算数平方根.” （八）空间两点间的距离公式 特别地，作有向线段 , 据空间向量的模长公式可得 设 ， 则 故此时 . （九）空间向量的夹角公式 设 与 是空间非零向量， ， 是 与 的夹角，即根据数量积的定义 坐标表示 ， 以及向量的模长公式 ， ，可得 . 三.小组合作、讨论交流(互学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1如图，在正方体中，，分别是，的中点 求证． 证明：不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ∴ 又∵，， ∴． 又∵． ∴， 即．  例2 如图，在棱长为的正方体中，为的中点， ，分别在棱，上，，． （1）求的长． （2）求与所成角的余弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， ∵在棱长为的正方体中，为的中点， ∴点的坐标为，点的坐标为 ∴． (2) 由已知可得，，，， ∵ ， ， ∴，． ∴ ． ∴． 故与所成角的余弦值是．  四.达标检测（迁移变通、检测实践） 1.已知为坐标原点，向量，点，若点在直线上，且，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了空间向量的基本定理的应用以及利用空间向量解决垂直问题，属于中档题． 利用点在直线上，可得的坐标为，然后利用，即可求解的坐标． 【解答】 解：点在直线上， ， 且， ， ， 故点的坐标为， 故选A． 2.在正四棱柱中，，，动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用空间向量求两点之间的距离． 以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，得出各点坐标，根据两点间的距离公式即可求出线段的最小值． 【解答】 解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则可设，，，， ， 当且仅当时，取得最小值， 故选C． 3.设向量，其中，则下列判断错误的是(    ) A. 向量与轴正方向的夹角为定值与，之值无关 B. 的最大值为 C. 与的夹角的最大值为 D. 的最大值为． 【答案】B  【解析】【分析】 在中，取轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在中，计算，利用基本不等式求出最大值即可判断命题错误；在中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在中，利用基本不等式求出最大值即可判断命题正确． 本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是较难题． 【解答】 解：由向量，其中，知： 在中，设轴正方向的方向向量， 设向量与轴正方向的夹角为，则 ，， 向量与轴正方向的夹角为定值与，之值无关，故A正确； 在中，， 当且仅当，时取等号，因此的最大值为，故B错误； 在中，由可得：，， ， 与的夹角的最大值为，故C正确； 在中，， 当且仅当，时取等号， 的最大值为故D正确． 故选：． 4.已知向量，，点，则       ；在直线上，存在一点，使得，则点的坐标为     ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间向量的模长和垂直的判断，属中档题． 第一个空：由题意可得的坐标，代入模长公式可得答案； 第二个空：设存在点满足条件，由，和可得、、的方程组，解方程组可得． 【解答】 解：第一个空：，； 第二个空：设点满足条件， 则，且得，又，， ，解得 在直线上的点，使得． 故答案为；． 5.已知空间四点，，，． 若、、、四点共面，求的值； 求以，为边的平行四边形的面积． 【答案】解：则， 由、、、四点共面，得，即 解得， 所以的值为． ， ， ， 所以，， 因为， 故以，为边的平行四边形的面积为．  【解析】本题考查共面向量定理以及向量的模、夹角公式和三角形面积公式的应用，属于拔高题． 由、、、四点共面，得，即可求出的值； 利用求模公式求出向量的模，利用向量数量积的坐标运算求出的数量积，由向量的夹角公式求出的值，就求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积，就得到平行四边形的面积． 五.课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 1.认识与理解了空间向量运算的坐标表示；（数学抽象、直观想象） 2.能灵活地运用空间向量运算的坐标表示解决相关的立体几何的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 六、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$