1.3.2空间向量运算的坐标表示（教学设计）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.2《 空间向量运算的坐标表示》教学设计 一.教学目标 1.认识与理解空间向量运算的坐标表示；（数学抽象、直观想象） 2.能灵活地运用空间向量运算的坐标表示解决相关的立体几何的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 二.教学过程 （一）复习导入——平面向量运算的坐标表示与空间向量的坐标（导学） 1.平面向量加减运算的坐标表示 如果已知 , 那么 . . 即：“两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.” 2.平面向量坐标的求解方法 如果已知 , 那么 . 即：“一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.” 3.平面向量数乘运算的坐标表示 如果已知，那么. 即“实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.” 4.平面向量共线的坐标表示 如果已知＝，＝，其中≠，那么，共线（即）的充要条件是 或， 记作：或. 即：两个向量共线（平行）的充要条件是“坐标交叉相乘积相等”或“坐标交叉相乘再求差值为0”. 5.平面向量数量积的坐标表示 如果已知 ，， 那么 =, 简述为：“两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和”. 6.平面向量的模长公式 如果已知 ，那么, 即“一个向量的模长等于它横纵坐标的平方和再开算数平方根” 注：特别地，如图作有向线段, 设 ，A， 则 故此时. 7.平面向量垂直的充要条件 设 与是非零向量， ， 则， 即平面内两个非零向量垂直的充要条件为： “平面内两个非零向量垂直的充要条件为两个向量的坐标对应相乘和为0”. 8.平面向量的夹角公式 设 与是非零向量， ， ，是 与的夹角，根据数量积的定义 , 坐标表示 ，以及向量的模长公式, ,可得 9.空间向量的坐标 在空间直角坐标系 中，给定向量，作(如图).由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使. 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 . 这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 10.问题 有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗? 【设计意图】通过复习平面向量运算的坐标表示与空间向量的坐标，利用类比思想自然引申出本节课的教学重点——空间向量运算的坐标表示. （二）探究新知——空间向量运算的坐标表示（互学） 类比平面向量运算的坐标表示，我们可以得到 1. 空间向量加减运算的坐标表示 如果已知 那么 简述为：“空间中两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.” 2.空间向量坐标的求解方法 如果已知 那么 简述为：“一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.” 3.空间向量数乘运算的坐标表示 如果已知 ，那么 即“实数与空间向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.” 4. 空间向量共线的坐标表示 如果已知，其中 ，那么与共线（即 ）的充要条件是 存在实数，使得 即：, 简述为：“两个空间向量共线（或平行）的充要条件是“横、纵、竖坐标对应成比例.” 5.空间向量数量积的坐标表示 如果已知 ， 那么 简述为：“两个空间向量的数量积等于它们对应坐标相乘再求和”. 证明：设为空间的一个单位正交基底， ∵ ∴ ∴ 又∵ ， ∴ 思考：同学们，其它空间向量的坐标运算表示，你们能进行类似的证明吗？ 6.空间向量垂直的充要条件 设 与 是空间中两个非零向量， ， 则 即空间中两个非零向量垂直的充要条件为：”两个向量的数量积值为0”或“两个向量的坐标对应相乘和为0” 7.空间向量的模长公式 如果已知 ，据数量积的坐标公式可得 即“一个空间向量的模长等于它横、纵、竖坐标的平方和再开算数平方根.” 8.空间两点间的距离公式 特别地，作有向线段 , 据空间向量的模长公式可得 设 ， 则 故此时 9.空间向量的夹角公式 设 与 是空间非零向量， ， 是 与 的夹角，即根据数量积的定义 坐标表示 ， 以及向量的模长公式 ， ，可得 【设计意图】结合图象，通过类比平面向量运算的坐标表示，让学生深刻掌握空间向量运算的坐标表示，同时培养学生数学抽象的核心素养与数形结合的数学思想. （三）小组合作、讨论交流(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1如图，在正方体中，，分别是，的中点 求证． 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了空间向量运算的坐标表示. （4） 成果展示(迁移变通) 证明：不妨设正方体的棱长为，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ∴ 又∵，， ∴． 又∵． ∴， 即．  【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握空间向量运算的坐标表示，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算与逻辑推理的核心素养. （5） 提升演练（检测实践） 例2 如图，在棱长为的正方体中，为的中点， ，分别在棱，上，，． （1） 求的长． （2）求与所成角的余弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， ∵在棱长为的正方体中，为的中点， ∴点的坐标为，点的坐标为 ∴． (2) 由已知可得，，，， ∵ ， ， ∴，． ∴ ． ∴． 故与所成角的余弦值是．  【设计意图】通过提升演练，让学生进一步地深刻掌握空间向量运算的坐标表示，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念. 三、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 1.认识与理解了空间向量运算的坐标表示；（数学抽象、直观想象） 2.能灵活地运用空间向量运算的坐标表示解决相关的立体几何的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 四、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$