培优课：与圆有关的轨迹问题 课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第2章 圆与方程 培优课❷ 与圆有关的轨迹问题 要点深化·核心知识提炼 2 知识点1.轨迹和轨迹方程的定义 平面上一动点 ，按照一定规则运动，形成的曲线叫作动点 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程. 3 知识点2.求轨迹方程的五个步骤 （1）建系：建立适当的平面直角坐标系，用 表示曲线上任意一点 的坐标； （2）设点：写出适合条件的点 的集合 ； （3）列式：用坐标 表示条件 ，列出方程 ； （4）化简：化方程 为最简形式； （5）限制说明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 4 知识点3.求与圆有关的轨迹常用方法 （1）直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； （2）代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等； （3）定义法，根据圆、直线等定义列方程； （4）几何法，利用圆的几何性质列方程. 5 题型分析·能力素养提升 6 【题型一】直接法 例1 [2023南京调研] 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前 公元前190年）的 著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与 两定点距离的比为常数 且 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗 尼奥斯圆.已知 ， ，圆 上有且仅有一个点 满足 ，则 的值可以为( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 7 [解析] 设动点 ，由 ，得 ，整理得 . 又点 是圆 上有且仅有的一点，所以两圆相切． 圆 的圆心坐标为 ，半径为2，圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，两圆的圆心距为3，当 两圆外切时， ，得 ；当两圆内切时， ， ，得 ．故选A． 8 规律方法 （1）直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式，然后化简，从而求出动点轨迹方程的一种方法. （2）直接法的一般步骤：建系、设点、列式、化简、限制说明. 跟踪训练1 在平面直角坐标系 中， ， ，点 满足 ，则点 的轨迹方程为( ) B A. B. C. D. 9 【题型二】相关点代入法 例2 [2023靖江月考] 已知点 在圆 上运动， ，点 为线段 的中点. （1）求点 的轨迹方程; 解 设点 ， . 因为点 是线段 的中点，所以 ， ，则 ， ，即 . 因为点 在圆 上运动， 所以有 ，所以点 的轨迹方程为 ． 10 （2）求点 到直线 的距离的最大值和最小值. 由（1）知点 的轨迹是以 为圆心，以1为半径的圆， 点 到直线 的距离 ，故点 到直线 的距离的最大值为 ，最小值为 ． 11 规律方法 一般情况下，所求点的运动，依赖于另外一个、两个或者多个点的运动，可以通 过对这些点设坐标来寻求代换关系. （1）求谁设谁，设所求点的坐标为 ； （2）所依赖的点称之为“参数点”，设为 或 ， 等； （3）“参数点”满足某个（些）方程，可供代入； （4）寻找所求点与“参数点”之间的坐标关系，反解参数值； （5）代入方程，消去参数值. 12 跟踪训练2 已知点 在圆 上运动，点 ，线段 的中点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程. 解 设 ，则 .因为点 在圆 上，所以 ，整理得 ，所以曲 线 的方程为 ． 13 （2）过点 是否存在直线 与曲线 有且只有一个公共点？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由. 当 斜率不存在时， 符合条件；当 斜率存在时，设直线 的方程为 ，则 ，解得 ,所以直线 的方程为 ， 即 ，所以满足条件的直线 存在，直线 的方程为 或 ． 14 【题型三】定义法 例3 已知等腰三角形 的底边 对应的顶点是 ，底边的一个端点是 ， 求底边的另一个端点 的轨迹方程. 解 设 ，由题意知， .因为 是以 为 底边的等腰三角形，所以 ，即点 在以点 为圆心， 为半径的圆 上.又点 ， ， 构成三角形，即三点不共线，则点 的轨迹中不包括点 及点 关于点 对称的点 ，所以点 的轨迹方程为 （去掉 ， 两点）． 15 规律方法 （1）若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义，就用定义法直接求. （2）运用定义法求轨迹方程的一般步骤: ①定型，即研究动点轨迹的类型符合哪种常用曲线的定义； ②定位，即研究动点轨迹的中心位置等； ③定方程，即用待定系数法求轨迹方程； ④检查，即检查轨迹方程的完备性与纯粹性. 跟踪训练3 [2023新海调研] 设 为圆 上的动点， 是圆的切线且 ，则点 的轨迹方程是( ) B A. B. C. D. 16 【题型四】几何法 例4 [2023泰州调研] 已知圆 ，圆 ，若圆 上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，使得 ，则实 数 的取值范围是( ) D A. B. C. D. 17 [解析] 由题可知圆 的半径为 ，圆 上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，使得 ，则 ，在 中， ，所以点 在圆 上.由于点 也在圆 上，故两圆有公共点． 又圆 的半径等于1，圆心坐标 ，所以 ，所以 ，所以 ， ．故选D． 18 题后反思 （1）利用圆的几何性质求解，通过条件想办法确定圆心和半径； （2）三角形中最常用的几何性质有直角三角形斜边中线定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一等； （3）对于平面四边形，若两个对角互补（或一个外角等于它的内对角），则平面四边形的四个顶点共圆，这一性质是平面四边形中的常用性质. 跟踪训练4 如图， 为圆 外一动点，过点 作圆 的 切线 ， ，切点分别为 ， ， ，直线 与 相交于点 ，点 ，则 的最小值为( ) A A. B.2 C. D. 19 $$