培优课：与圆有关的最值问题 课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第2章 圆与方程 培优课❸ 与圆有关的最值问题 要点深化·核心知识提炼 2 知识点1.圆的最值问题涉及的几种类型 （1）圆上动点到定点距离的最值； （2）圆上的点到直线距离的最值； （3）圆的切线长最值； （4）过圆内定点的弦长最值； （5）与斜率、距离、截距有关的圆的最值. 3 知识点2.圆的最值问题的求解策略 求解与圆有关的最值问题，通法是数形结合和转化化归思想，其流程为： 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】圆上动点到定点距离的最值 例1 [2023镇江调研] 已知点 ，点 是圆 上的动点，点 是圆 上的动点，则 的最大值是( ) D A. B. C. D. [解析] 圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 . 因为点 ，点 是圆 上的动点，点 是圆 上的动点，所以 的最大值是 ．故选D． 6 题后反思 圆上动点到定点距离的最值问题 （1）圆外一点 到圆 上点的距离的最大值等于 ，最小值等于 . （2）圆内一点 到圆 上点的距离的最大值等于 ，最小值等于 . 跟踪训练1 已知圆 ，则当圆 的面积最 小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为( ) D A. B.6 C. D. [解析] 根据题意，圆 ，变形可得 ，其圆心为 ，半径 ，当圆 的面积最小时，必有 ，此时 ，圆心 ，所以圆心 到坐标原点的距离 ，则圆上的 点到坐标原点的距离的最大值为 ．故选D． 7 【题型二】圆上的点到直线距离的最值 例2 [2023通州月考] 已知动点 在曲线 上，则动点 到直线 的距离的最大值与最小值的和为___. 4 [解析] 设曲线 的圆心为 ，半径 ，圆心 到直 线 的距离为 ，动点 到直线 的距离的最大值 为 ，动点 到直线 的距离的最小值为 ，所 以动点 到直线 的距离的最大值与最小值的和为 8 题后反思 圆 上的动点 到直线 距离的最大值等于点 到直线 距离的最大值加上半径.当 直线 与圆 相离时，最小值等于点 到直线 距离的最小值减去半径;当直线 与圆 相交时，最小值等于半径减去点 到直线 距离的最大值. 跟踪训练2 P为 上一点， 为直线 上一 点，则线段 长度的最小值为( ) A A. B. C. D. [解析] 圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径 ， 则圆心 到直线 的距离为 ，所以圆 上的点 到直线 上 的点 的最小距离 .故选A． 9 【题型三】圆的切线长的最值 例3 [2023如东月考] 设 为已知直线 上的动点，过点 向圆 作一条切线，切点为 ，则 的最小值为_ ___. <m></m> [解析] 圆 的圆心为 ，半径 .由题意，得当 最小时， 连线与直线 垂直，所以 .由勾股 定理，得 ，所以 的最小值为 ． 10 规律方法 求解圆的切线问题的常用方法 （1）代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一为一个，转 化成函数求最值； （2）几何法：把切线长的最值问题转化成圆心到直线的距离问题.如图，已知圆 和圆外的一条直线 ，则过直线 上的点作圆的切线，切线长的最小值为 . 11 跟踪训练3 若圆的半径为1，且圆心为坐标原点，过该圆上一点 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为( ) B A. B. C.2 D.4 [解析] 由题意可知，点 在圆 上，圆 的圆心为 ，半径 ，过点 作圆 的切线，切点为 ，则 ． 当 最小时， 最小.又点 在圆 上，则 的最小值为 ,则 的最小值为 .故选B． 12 【题型四】过圆内定点的弦长的最值 例4 [2023苏州质检] 已知圆 ，已知直线 与圆 的交点分别为 ， ，当直线 被圆 截得的弦 长最小时， ( ) C A. B. C. D. [解析] 直线 ，即 ，所以直线 过定点 ， ，圆 的半径 ， 点 在圆 内，所以当直线与 垂直时， 最短，此时 ．故选C ． 13 题后反思 如图，已知圆 及圆内一定点 ，则过点 的所有弦中最长的为直径，最短的为 与该直径垂直的弦 . 14 跟踪训练4 当圆 的圆心到直线 的 距离最大时， ( ) C A. B. C. D. [解析] 因为圆 的圆心为 ，半径 ，直线 过定点 ，所以当 与直线 垂直时，圆心到直线 的距离最大，此时有 ，即 ，解得 ．故选C． 15 【题型五】与斜率、距离、截距有关的圆的最值 例5 已知点 在圆 上运动.试求： （1） 的最值； 解 设圆 的圆心为 ，半径 ，点 在圆上，所以 表示点 到定点 的距离的平方. 因为 ，所以 ，即 ，所以 ，即 的最大值为9，最小值为1． 16 （2） 的最值. 点 在圆上，则 表示圆上的点 与点 的连线的 斜率. 如图，根据题意画出图形，当点 与点 或点 重合时，直 线 与圆 相切. 设直线 的解析式为 ，即 ，所以圆心 到 直线 的距离 ，即 ，解得 ，所以 ，即 ，所以 的最大值为 ，最小值为 ． 17 规律方法 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意 义，借助数形结合思想求解.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： （1）形如 的最值问题，可转化过定点 的动直线斜率的最值问题求解. （2）求形如 的最值，可转化为求动直线截距的最值.具体方法是： ①数形结合法，当直线与圆相切时，直线在 轴上的截距取得最值； ②把 代入圆的方程中，消去 得到关于 的一元二次方程，由 求得 的范围，进而求得最值. 18 （3）求形如 的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的 最值，即把 看作是点 与圆上的点 连线的距离的平方， 利用数形结合法求解. 跟踪训练5 已知实数 ， 满足方程 ,则 的取值范围为 __________； 的最小值为_ ________； 的取值范围为_________________. <m></m> <m></m> <m></m> 19 [解析] 圆 的标准方程为 ，圆心为 ， 半径为 ．设 ，可得 ，则直线 与圆 有公共点，则 ，解得 ，则 的取值范围 为 . 设 ，可得 ，则直线 与圆 有 公共点，则 ，解得 ， 则 的最小值为 . 20 设 ，如图，由于 ，则原点在圆 外. 因为圆 与圆 有公共点，圆心距为 ，故 ，解得 ，故 ， 即 的取值范围为 $$