培优课：椭圆定义与几何性质的综合问题 课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第3章 圆锥曲线与方程 培优课❹ 椭圆定义与几何性质的综合问题 要点深化·核心知识提炼 2 知识点.椭圆中的焦点三角形 （1）焦点三角形的概念 设 是椭圆上一点， , 为椭圆的焦点，当点 , , 不在同一条直线上时， 它们构成一个三角形——焦点三角形，如图所示. 3 （2）焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长 . ②在 中，由余弦定理可得 ③设 ， ，则 . 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】椭圆定义与焦点三角形 例1 已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点， . 6 （1）求椭圆的离心率的取值范围； 解 设 ， ，在 中，由余弦定理得 ， 即 ， 当且仅当 时取等号，所以 ． 又 ，所以 ． 7 （2）求证： 的面积只与椭圆的短轴长有关. 证明 由（1）知， ，所以 ，所以 ，即 的面积只与椭圆的短轴长有关． 题后反思 在椭圆中，由焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结 合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决，还经常用到配方法、解方程及把 或 看成一个整体，利用基本不等式或函数求解. 8 跟踪训练1 设 是椭圆 上一点， ， 分别是椭圆的左、右焦点，且 . （1）求 的面积； 解 由椭圆的方程知， ， ，所以 ，所以 ， ． 在 中， ，即 ．① 由椭圆的定义知， ， 所以 ．② ，得 ， 所以 ，所以 ． 9 （2）求点 的坐标； 设 ，则 ， 由（1）可得 . 于是 ，所以 ， 将 代入椭圆方程，得 ，解得 ，所以 ，所以点 的坐标为 或 ． 10 （3）求 的值. 由（1）得 ， ， 由（2）可知点 的坐标为 或 , ， 所以 ， 或 ， ， 故 ． 11 【题型二】与椭圆定义有关的最值问题 角度1 椭圆上动点到两定点距离的最值问题 例2（1） [2023苏州调研] 已知点 ， 是椭圆 的左焦点， 是椭圆 上任意一点，则 的取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 设 是椭圆 的右焦点，则 . 又因为 ， ， ， 所以 ，即 .故选A． 12 （2） ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上的动点，设点 ，则 的最小值为( ) A A. B. C. D. [解析] 由椭圆方程得 ， .如图，连接 . 因为 ， 所以 ， 所以 . 因为 ，所以 ．故选A． 13 题后反思 定义是解决椭圆问题的常用工具，如果题中的条件能转化为动点到两定点的距离之和为常数的问题，那么可考虑利用椭圆的定义解题. 跟踪训练2（1） 已知椭圆 ， 是椭圆的左焦点， 是椭圆上一点， 是椭圆内一点，则 的最小值为( ) A A.3 B. C. D. [解析] 由椭圆的方程可得 ，焦点 .点 在椭圆内部，设右焦点为 ， 则 ，所以 ，当且仅当 ， ， 三点共线时取等号.故选A． 14 （2）已知 是椭圆 的左焦点， 是此椭圆上的动点， 是一定 点，则 的最大值是_ ______. <m></m> [解析] 椭圆 的标准方程为 ，设右焦点为 ，根据椭圆的 定义，可得 ，所以 取得最大值，即 最 大. ，当 ， ， 三点 共线时，等号成立，所以 的最大值是 ． 15 角度2 椭圆上动点到一定点距离的最值问题 例3 已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点 到椭圆中心 的距离的 取值范围是( ) A A. B. C. D. [解析] 不妨设椭圆的焦点在 轴上，则该椭圆的标准方程为 设点 ， 则 ，且有 ，所以 ．故选A． 16 规律方法 椭圆上的点到某一定点的距离的最大值与最小值问题的解题策略 （1）椭圆上的点 到中心点 的距离的取值范围为 （2）椭圆上的点 到焦点 的距离的取值范围为 （3）椭圆上的点 到某一定点距离的最大值、最小值问题一般通过建立二次函数， 利用椭圆的定义求解. 跟踪训练3 已知 是椭圆 上的任意一点，过点 作圆 的切线，设其中一个切点为 ，则 的取值范围为( ) B A. B. C. D. 17 【题型三】椭圆定义与离心率结合问题 例4（1） [2023无锡期中] 已知椭圆 的上焦点为 ，过原点 的直线 交 于点 , ，且 .若 ，则 的离心率为( ) A A. B. C. D. [解析] 设椭圆 的下焦点为 ，显然 .因为过原点 的直线 交 于点 ， ，所以 ，因此，四边形 是平行四边形.又因为 ，所以 ，所以 是以 为斜边的直角三角形.因为 ， 所以 ， .因为四边形 是平行四边 形，所以 .由椭圆的定义可知 .故选A． 18 （2）椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，以 为圆心的圆过椭 圆的中心，且与椭圆交于点 .若直线 恰好与圆 相切于点 ，则椭圆的离心率为 ( ) C A. B. C. D. [解析] 由题意，得 ， ，所以 ，所以 ，所 以离心率为 ．故选C． 19 题后反思 利用 ， 利用椭圆定义去转换， 利用焦距表示，再结合平面几何、三 角函数、不等式以及函数的内容，往往可以解决许多离心率问题. 跟踪训练4（1） [2023徐州质检] 已知 , 分别是椭圆 的左、 右焦点， 为椭圆上一点，且 .若 ，则椭圆的离心率为( ) C A. B. C. D. [解析] 设 ，则 .由椭圆的定义知 .因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以椭圆的离心率为 ．故选C． 20 （2）过椭圆的右焦点 作椭圆长轴的垂线，交椭圆于 ， 两点， 为椭圆的左焦 点.若 为正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A A. B. C. D. [解析] 如图，易知 ， ． 由椭圆的定义，可得 ，则该椭 圆的离心率为 ．故选A. 21 $$