培优课：直线与椭圆 课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第3章 圆锥曲线与方程 培优课❺ 直线与椭圆 要点深化·核心知识提炼 2 知识点1.直线与椭圆的位置关系 位置关系 判断方法（代数法） 相交 相切 相离 3 知识点2.直线与椭圆相交 （1）弦长公式 若直线与椭圆相交于 ， 两点，则弦长 . （2）点差法 若直线与椭圆交于 ， 两点，弦 的中点坐标为 ，则： 焦点位置 在 轴上 在 轴上 点差法结论 4 题型分析·能力素养提升 5 【题型一】直线与椭圆的位置关系的判断 例1 设直线与椭圆的方程分别为 与 ，求 为何值时， （1）直线与椭圆有一个公共点； （2）直线与椭圆有两个公共点； （3）直线与椭圆无公共点. 6 题后反思 判断直线与椭圆的位置关系，可以直接将直线方程和椭圆方程联立，通过消元得 到关于 （或 ）的一元二次方程，然后利用判别式判断；有些题目需要注意直线所 恒过的点与椭圆的位置关系，从而得到所求范围. 解 联立 得 ， . （1）当 ，即 时,直线与椭圆有一个公共点. （2）当 ，即 时,直线与椭圆有两个公共点. （3）当 ，即 或 时，直线与椭圆无公共点． 7 跟踪训练1 若直线 与椭圆 恒有两个公共点，则 的取值 范围为( ) C A. B. C. D. , [解析] 联立 得 . 要使得直线 与椭圆 恒有两个公共点，则 . 因为 ， ,所以 ， ， . 又 ，所以 且 , 所以 的取值范围为 ．故选C． 8 【题型二】直线与椭圆相交的弦长问题 例2 已知椭圆的长轴长是 ，焦点坐标分别是 ， . （1）求椭圆的标准方程； 解 由已知得 ，则 ．又因为 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ． 9 （2）如果直线 与该椭圆交于 ， 两个不同的点，且 ，求 的 值. 解 联立 消去 ，得 . 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以 ，解得 . 由根与系数的关系,得 ， , 所以 ,解得 ． 10 规律方法 求解直线被椭圆截得的弦长的方法 （1）直接利用两点间的距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点 坐标，再利用两点间的距离公式求弦长. （2）弦长公式：当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式求弦长. 设直线与椭圆交于 ， 两点，则有 （ 为直线的斜率）. 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况. 11 跟踪训练2 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上， 短轴长为2，离心率为 ，过左顶点 的直线 与椭圆交于另一点 . （1）求椭圆 的方程； 解 由题意,得 解得 所以椭圆 的方程为 ． 12 （2）若 ，求直线 的倾斜角. 解 由题意知直线 的斜率存在，易得左顶点为 . 设直线 的方程为 ， 代入椭圆方程，得 . 因为一个根为 ，所以另一个根为 ，所以 ，化简，得 ，即 ， 解得 . 故直线 的倾斜角为 或 ． 13 【题型三】中点弦与点差法 例3（1） [2023苏州调研] 已知椭圆 ，过点 的直线与椭圆相交于 ， 两点且弦 被点 平分，则直线 的方程为( ) C A. B. C. D. 14 [解析] 设点 ， ，由已知可得 两式作差 得 ， 即 ， 所以直线 的斜率为 ，因此，直线 的方程为 ，即 ．故选C． 15 （2）[2023南京期中] 已知椭圆 的左焦点为 ，过点 的 直线 与椭圆 相交于不同的两点 ， .若 为线段 的中点， 为 坐标原点，直线 的斜率为 ，则椭圆 的方程为( ) D A. B. C. D. [解析] 直线 过点 ，令 ，则 ，所以 ，即 ． 设 ， ，则 ， ，两式相减并化简，得 ， 所以 ， , ， ， ，所以椭圆 的方程为 ．故选D． 16 题后反思 涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系. 跟踪训练3 [2023扬州期末] 已知椭圆 的右焦点为 ， 过点 的直线交椭圆于 , 两点.若 的中点坐标为 ，则 的方程为 ( ) D A. B. C. D. 17 [解析] 设点 ， ，则 两式作差得 ， 整理，得 . 设线段 的中点为 ，则 . 又 ， ， 所以 ， 所以 解得 因此，椭圆 的方程为 ．故选D． 18 【题型四】直线与椭圆相切 例4（1） 已知椭圆 ，点 在椭圆上，则该椭圆在点 处的切线方程 为_ _____________. <m></m> 19 [解析] 由题意可知切线的斜率存在，设切线方程为 ，联立 得 ， 整理，得 ，令 ，整理，得 ，即 ，解得 ，所以切线方程为 ，即 . （2）已知点 是椭圆 上的任意一点，则点 到直线 的最 大距离为_ _______. <m></m> [解析] 设直线 与椭圆相切，联立 得 ， 所以 ，解得 ，所以切线方程为 和 ，与直线 距离较远的是 ， 所以所求最大距离为 ． 21 题后反思 对于直线和椭圆相切问题，我们一般将直线方程和椭圆方程联立建立一元二次方程，利用根的判别式等于零来解决问题. 跟踪训练4 [2023海安质检] 在平面直角坐标系 中，椭圆 的方程为 ， 为椭圆 上的动点，直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离 的最小值为 _ ___. <m></m> 22 [解析] 设直线 与椭圆 相切，联立并消去 ，得 ， 所以 ，可得 ，显然 与 椭圆无交点， 当 时，切线为 ，与 的距离为 ；当 时， 切线为 ，与 的距离为 .故点 到直线 的距离 的最小值 为 ． 23 $$