培优课：数列与不等式 课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 培优课⓰ 数列与不等式 要点深化·核心知识提炼 2 题型 解法 数列不等式的 证明 有关项的不等式 利用数列的单调性求最值或适当的放缩 有关和的不等式 先求和，再放缩；或者先放缩，再求和 数列不等式的 最值（范围） 问题 不等式恒成立、能成 立问题 分离参数，转化为数列的最值问题；或者分类 讨论 根据所给不等式求 的最值或范围 解不等式 3 题型分析·能力素养提升 4 【题型一】数列不等式的证明 角度1 关于数列项的不等式证明 例1 设正项数列 满足 ， 求证： （1） ； 证明 因为 ， ， 所以 ，所以 ． 因为 ， 所以 ， 即 ． 5 （2） . 由（1）得 ，所以 ，即 ，当 时， 也符合上式，所以 , 所以 , 即 ． 6 规律方法 关于项的不等式证明的常用方法 （1）利用数列的单调性、有界性放缩； （2）结合“累加”“累乘”“迭代”放缩； （3）结合有界性，利用不等式性质或函数求出最值或范围. 7 跟踪训练1 已知数列 满足 ， . （1）求 ； 解 由 ，得 ，累乘得 ．又因为 满足上式， 所以 ． 8 （2）若数列 满足 ， ，求证： . 证明 由（1）得 ，所以 ，则 ， 则 ，累加得 ．又 ，所以 ，则 ，所以 ， 当 时，不等式也成立，所以对任意的 ，都有 9 角度2 对求和结论进行放缩 例2 已知数列 满足 ， ，数列 满足 ， . （1）求数列 和 的通项公式； 解 因为 ， ， 所以 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 ． 因为 ，① 所以 ，② ，得 . 又因为 ，所以 ． 10 （2）若数列 满足 ，求证： . 证明 因为 ， ， ，所以 ，所以 ． 题后反思 对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式. 11 跟踪训练2 已知数列 满足 ， ， . （1）求数列 的通项公式； 解 由题意，得 .又 ，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ，所以 ． 12 （2）设 是数列 的前 项和，求证： . 证明 因为 ， 所以 ，① ，② ，得 ． 因为 ， 所以 ． 13 角度3 对通项公式放缩后求和 例3 设公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， 且 是 与 的等比中项， ， （1）求 ， 与 ； 解 设等差数列 的公差为 ，由题意,得 ，即 ．因为 ， 所以 ．由 ,得 ， ，故 ， ． 由 ,得 ， ，所以等比数列 的公比 ， 所以 ． 14 （2）若 ，求证： . 证明 因为 ， 恒成立，所以 ，所以 ． 15 题后反思 在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若不易求和，可根据项的结构特征进行 放缩，转化为易求和数列来证明.常见放缩的技巧：（1）添加或舍去一些项，如： , , ；（2）将分子或分母放大或缩小，如： , ；（3）利用基本不等式，如： . 16 跟踪训练3 已知数列 的前 项和为 ,且 ，公比大于0的等比数列 的首项为 ，且 . （1）求数列 和 的通项公式； 解 当 时， ；当 时， , 当 时, 也符合上式，所以 ．设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 或 （舍去），所以 ． 17 （2）若 ，求证： 证明 由（1）知 ， ， ， ． 当 时， ，所以 ． 18 角度4 求和后利用函数的单调性证明 例4 已知等差数列 的公差 ， ，且 ， ， 成等比数列. （1）求使不等式 成立的最大自然数 ； 解 由题意，可知 ，即 ，所以 ．又 ， ，所以 ，所以 .令 ，解得 .故满足题意的最大自然数 ． 19 （2）记数列 的前 项和为 ，求证：- . 证明 ， 所以 ． 20 当 时， 单调递增，且 ；当 时， 单调递增，且 ，所以 ，由 ， ，得 ． 题后反思 若所证的数列不等式中含有等号，常考虑利用数列的单调性来证明. 21 跟踪训练4 已知数列 的前 项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； 解 已知 ，令 ，解得 .当 时， ，两式相减得 ，所以数列 是以1为首项，2 为公比的等比数列，所以 22 （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： . 证明 由（1）可得， ， 所以 ．因为 是递增数列，所以 ,即 ． 23 【题型二】数列不等式的最值（范围）问题 角度1 数列不等式恒成立求参数最值或范围 例5 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，设数列 的前 项和为 （1）求数列 和 的通项公式； 解 设等差数列 的公差为 ， 则 解得 所以 ．由 ,得 ，当 时， ，又 符合上式，所以 ． 24 （2）设 ，数列 的前 项和为 ，且不等式 对任意的 恒成立，求正整数 的最大值. 不等式 对任意的 恒成立，则 ，显然 ，则 为递增数列，所以 ， 所以正整数 的最大值为2 023． 题后反思 （1）能分离参数时，常分离参数，化为函数求最值、值域问题； （2）不能分离参数时，常分类讨论. 25 跟踪训练5 已知数列 的各项均为正数， ， ， 是等差数列，其 前 项和为 ， . （1）求数列 的通项公式； 解 设数列 的公差为 ，由 ， ，得 ，即 ，解得 或 ．因为数列 的各项均为正数， ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ． 26 （2）设 ， ，若对任意的正 整数 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围. 由题意得 . 因为 ，所以 . 因为不等式 ，即 ，即 恒成立， 而函数 在定义域上单调递减，且 ，所以 ，即 ． 故实数 的取值范围为 ． 27 角度2 根据所给不等式求 的最值（范围） 例6 已知 是数列 的前 项和， 且 ， . （1）求数列 的通项公式； 解 由 ，得 ，所以当 时， ， 当 时， 也符合上式，所以 ，所以当 时， ．又 也符合，所以 28 （2）设 ，数列 的前 项和为 ，若 ， 求正整数 的最小值. 由（1）知 ，所以 ，所以 ．因为 为正整数，所以 的最小值是1 010． 题后反思 此类问题多归结为求关于 的不等式. 29 跟踪训练6 在数列 中， ， （1）求 ， 的值； 解 因为 ，所以 ，所以 ， ． 30 （2）已知数列 的通项公式是 ， ， 中的一个， 设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的取值范围. 因为数列 的通项公式是 ， ， 中的一个，且 ，所以数列 的通项公式是 ．由 可得 ，所以 ，所以 ．因为 ， ，所以 ，即 ．由 ，得 ，解得 或 ．因为 是正整数，所以所求 的取值范围为 ,且 ． 31 $$