22.1 二次函数的图象和性质 学案2024—2025学年人教版数学九年级上册

22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 要点归纳 知识要点 二次函数的有关概念 1.概念：一般地，形如 (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做 ，其中x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的 系数、 系数和常数项. 2.判定二次函数的条件：①函数解析式是 ；②化简后自变量的最高次数是 ；③二次项系数 . 当堂检测 (建议用时：15分钟) 1.下列函数是二次函数的是 ( ) A. y=5x B. y=-2x+1 2.若关于 x 的函数 是二次函数，则有 ( ) A. m≠0 B. m≠1 C. x≠0 D. x≠1 3.正方形的边长为3，如果边长增加x，面积增加y，那么 y与x之间的函数解析式为( ) A. y=3x C. y=9+6x 4.二次函数 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 5.若关于x 的函数 5 是二次函数,则 m= . 6.某工厂第一年的利润是 20万元，第三年的利润是y万元，则 y 与平均年增长率x 之间的函数关系式为 . 7.用总长为 60m的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S(m²)与一边长l(m)之间的函数关系式为 ，自变量 l 的取值范围是 . 8.某公园门票是每张 80元，据统计每天进园人数为 200人，经市场调查发现，若门票每降低1元出售，则每天进园人数就增多6人.试写出门票价格为x(x≤80)元时，该公园每天的门票收入 y(元)关于x 的函数关系式.y 是关于x 的二次函数吗? 22.1.2 二次函数 的图象和性质 知识要点 二次函数 的图象和性质 y=ax²(a≠0) a>0 a<0 开口方向 向________ 向________ 顶点坐标 ________(有最_________点) ________(有最________点) 对称轴 y 轴(直线 x=0) y 轴(直线 x=0) 增减性 当x<0时,y随x 的增大而_______; 当x>0时,y随x 的增大而_______. 当x<0时,y 随x 的增大而________;当x>0时,y 随x 的增大而_______. 最值 当 x=0时,y最小==_______. 当x=0时,y最大=________. 草图 当堂检测 (建议用时：10分钟) 1.二次函数 的图象的顶点坐标是( ) A.(1,0) B.(0,0) C.(-1,0) D.(o, ) 2.如果抛物线y=(m--1)x²的开口向上，那么m 的取值范围是 ( ) A. m>1 B. m≥1 C. m<1 D. m≤1 3.抛物线 共有的性质是 ( ) A.开口向下 B.对称轴是 y轴 C.都有最高点 D. y 随x 的增大而增大 4.已知抛物线 的图象如图所示，下列说法错误的是 ( ) A. a<0 B. y的最大值为0 C.抛物线有最高点 D.若A(2,y₁),B(4,y₂)是抛物线上两点，则 5.已知点((x₁,y₁)、(x₂,y₂)是函数 y=(m--3)x²的图象上的两点，且当 时,有y₁>y₂,则 m 的取值范围是 . 6.已知抛物线 经过点 A(-1,-3). (1)判断点 B(-2,7)是否在此抛物线上; (2)若点 P(m,--6)在此抛物线上,求点 P的坐标. 22.1.3 二次函数 的图象和性质 第 1 课时 二次函数 的图象和性质 要点归纳 知识要点 1 二次函数 的图象和性质 y=ax²+k(a≠0) a>0 a<0 开口方向 向________ 向________ 顶点坐标 ________ ________ 对称轴 y 轴(直线x=0) y 轴(直线 x=0) 增减性 当 x<0 时,y 随 x 的增大而________;当x>0时,y 随x 的增大而________. 当 x < 0 时, y 随 x 的 增 大 而________;当x>0时,y随x 的增大而________. 最值 当x=0时,y最小=________. 当x=0时,y最大=________. 草图 知识要点 2 抛物线. 与 的位置关系 向上平移 向下平移 y=ax²-k个单位长度y=ax²+k(k>0),y=ax²-k个单位长度→y=ax²-k(k>0). 口诀：上加下减. 当堂检测 (建议用时：10分钟) 1.抛物线 的顶点坐标是 ( ) A.(2,1) B.(0,1) C.(1,0) D.(1,2) 2.将二次函数 的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数解析式为 ( ) 3.关于二次函数 下列说法正确的是 ( ) A.它的图象的开口方向是向下 B.当x<--1时,y随x的增大而减小 C.它的图象的顶点坐标是(2，3) D.当x=0时,y有最大值是3 4.抛物线 的开口方向是向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 .当x<0时,y 随 x 的增大而 ;当 x>0 时,y 随x 的增大而 5.已知 是二次函数. (1)求 m 的值; (2)当m 为何值时，该函数图象的开口向上? 第 2 课时 二次函数 的图象和性质 知识要点1 二次函数 的图象和性质 y=a(x-h)²(a≠0) a>0(h>0) a<0(h>0) 开口方向 向________ 向________ 顶点坐标 ________ — 对称轴 直线 x=h 直线x=h 增减性 当 x <h 时,y 随 x 的 增 大 而________;当x>h 时,y 随x 的增大而________. 当 x<h 时,y 随 x 的增大而________;当x>h 时,y 随x 的增大而________. 最值 当x=h 时,y最小=________. 当 x=h 时,y最大=________. 草图 知识要点 2 抛物线 与 的位置关系 向右平移y=ax²一向个单位长度→y=a(x+h)²(h>0),y=ax²一h个单位长度→y=(x-h)²(h>0). 口诀：左加右减. 当堂检测 (建议用时：8分钟 下列抛物线中，顶点坐标是(—2，0)的是（ ） D. y=(x-2)² 2.将抛物线 向左平移3 个单位得到的抛物线的解析式为 ( ) C. y=2(x+3)² 3.抛物线 的开口向 ，y的最大值是 ，对称轴是直线 . 当x 时，y 随x 的增大而增大； 当x 时，y 随x 的增大而减小. 4.已知二次函数 y=(x-3)² 图象上的不同两点 A(3,a)和B(x,b),则a 和b 的大小关系是a b. 5. 已知二次函数y=-2(x+b)²,当x<-3时,y 随x 的增大而增大;当x>-3时,y随x 的增大而减小. (1)b= ; (2)若点 P(1，m)在该二次函数的图象上，求点 P 的坐标. 第 3 课时 二次函数 的图象和性质 要点归纳 知识要点 1 二次函数. 的图象和性质 y=a(x-h)²+k(a≠0) a>0(k>0,h>0) a<0(k<0,h>0) 开口方向 向________ 向________ 顶点坐标 ________ ———— 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当 x <h 时,y 随 x 的 增 大 而________;当x>h 时,y 随x 的增大而________. 当 x <h 时,y 随 x 的 增 大 而________;当x>h 时,y 随x 的增大而________. 最值 当x=h 时,y最小=________. 当x=h 时,y最大=________. 草图 知识要点 2 抛物线的平移 当堂检测 (建议用时：8分钟) 1.二次函数. 的图象的顶点坐标是 . 2.将二次函数 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式为 . 3.二次函数 当x 时，y 随x 的增大而增大，函数的最小值为 4.已知A(4,y₁)、B(--4,y₂)是抛物线 y= 上的两点,则y₁ y₂. 5.已知抛物线. 经过点(1,-2). (1)a 的值为 ; (2)若点A(m,y₁)、B(n,y₂)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y₁ 与 y₂ 的大小. 22.1.4 二次函数 的图象和性质 第 1 课时 二次函数 的图象和性质 要点归纳 知识要点 二次函数 的图象和性质 y=ax²+ bx+c(a≠0) a>0 a<0 开口方向 向________ 向________ 顶点坐标 (_________,________) 对称轴 直线 x=________ 增减性 当x<________时,y 随x 的增大而减小;当x>_______时,y 随x的增大而增大. 当x<______时,y 随x 的增大而增大;当x>________时,y随x 的增大而减小. 最值 当x=-b/2a时,y最小=_______. 当 x=-b/a 时,y最大=________. 当堂检测 (建议用时：10分钟) 1.抛物线 的开口方向、顶点坐标分别是 ( ) A.开口向上,顶点坐标为(--1,-4) B.开口向下，顶点坐标为(1，4) C.开口向上，顶点坐标为(1，4) D.开口向下,顶点坐标为(-1,-4) 2.已知函数 当x 时,函数值y 随x 的增大而增大，函数的最大值为 . 3.已知点A(--1,y₁),B(4,y₂),C(5,y₃)都在二次函数 的图象上，则y₁,y₂,y₃ 的大小关系为 .(用“<”连接) 4.已知抛物线 在平面直角坐标系中的位置如图所示,则点A(ab,c)在第 象限. 5.已知二次函数 的图象经过点A(3,-4). (1)求a 的值; (2)求二次函数图象的顶点坐标； (3)画出 的草图. 第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式 要点归纳 知识要点用待定系数法求二次函数的解析式 名称 形式 适用条件 一般式 y=ax²+ bx+c(a≠0) 若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式. 顶点式 _____________________(a≠0),其中 (h，k)为顶点坐标，对称轴为直线x=h. 若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式. 交点式 _____________________(a≠0),其中 x₁，x₂ 是抛物线与x 轴的交点的横坐标. 若给出抛物线与x 轴的交点坐标或对称轴与 x 轴交点的距离，通常可设交点式. 当堂检测 (建议用时：10分钟) 1.已知二次函数的图象经过(3,2)、(2,0)和(0,2)三点,则该二次函数的解析式为( ) 2.若抛物线的顶点坐标是(--2，1)且经过点(1,—8),则该抛物线的解析式为 ( ) 3.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为 ( ) 4.一抛物线和另一抛物线 的形状和开口方向完全相同，且最高点的坐标是(一2，1)，则该抛物线的解析式为 . 5.已知抛物线 的对称轴为直线x=1，且与x 轴的一个交点的坐标为(3，0)，则该抛物线的解析式为 . 6.根据条件求二次函数的解析式： (1)二次函数 的图象的对称轴为直线x=3，y的最小值为--2，且过点(0,1); (2)二次函数的图象过(--1,0),(3,0),(1,—5)三点. 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数 要点归纳 知识要点：二次函数 二次项 一次项 整式 2 不为0 当堂检测 1. C 2. B 3. D 4.1 —2 —1 5.1 8.解：由题意知当门票价格为x 元时，每张门票降价(80-x)元，那么每天进园人数就增加6(80-x)人,则每天进园人数为 200+6(80--x ) = (680- 6x)(人). ∴ y = 显然,y 是x的二次函数. 22.1.2 二次函数 的图象和性质要点归纳 知识要点:上 下 (0,0) 低 (0,0) 高减小 增大 增大 减小 0 0 当堂检测 1. B 2. A 3. B 4. D 5. m<3 6.解:(1)∵点A(-1,-3)在抛物线上,∴-3=a·(-1)²,a=-3,故抛物线的解析式为y= 当x=﹣2时, -12≠7.故点 B 不在此抛物线上. (2)由题意得 解得 ∴点 P 的坐标为( ,--6)或 22.1.3 二次函数 的图象和性质 第 1 课时 二次函数 的图象和性质 要点归纳 知识要点1:上 下 (0,k) (0,k) 减小增大 增大 减小 k k 当堂检测 1. B 2. A 3. B 4.下 y 轴 (0,1) 增大 减小 5.解:(1)由题意可知m—1≠0且 2,解得 即 m 的值为 2 或-1. (2)∵函数图象的开口向上,∴m--1>0.∴m>1.∴当m=2时,该函数图象的开口向上. 第 2 课时 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 要点归纳 知识要点1:上 下 (h,0) (h,0) 减小增大 增大 减小 0 0 当堂检测 1. C 2. C 3.下 0 x=3 <3 >3 4.<5.解:(1)3 (2)由(1)可得y=—2(x+3)²,∵点 P(1,m)在该函数的图象上， —32.∴点 P 的坐标为(1,—32). 第 3 课时 二次函数 的图象和性质 要点归纳 知识要点1:上 下 (h,k) (h,k) 减小增大 增大 减小 k k 当堂检测 1.(2,-3) 2. y=(x-1)²+2 3.> 3 4.>5.解:(1)-1 ∴该抛物线在 x<3时,y 随x 的增大而增大.∵点A(m,y₁)、B(n,y₂)(m<n<3)都在该抛物线上， 22.1.4 二次函数 的图象和性质 第 1 课时 二次函数 的图象和性质 要点归纳 知识要点：上 下 当堂检测 1. A 2.<--1 1 3. y₁<y₃<y₂ 4.一 5.解:(1)∵二次函数 的图象经过点A(3,-4),∴9a+12+2= —4,∴a=-2. ∴顶点坐标为(1,4). (3)如图所示. 第 2 课时 用待定系数法求二次函数的解析式要点归纳 知识要点： 当堂检测 1. D 2. C 3. B 4. y=-2(x+2)²+1 5 6.解：(1)设函数解析式为 把(0,1)代入得9a-2=1,解得 所以函数的解析式为 (2)设函数解析式为y=a(x+1)(x--3),把(1,—5)代入得 2·(—2)a=—5,解得 所以函数解 析式为 1)(x-3),即 学科网（北京）股份有限公司 $$