用an与Sn的关系求通项公式课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 培优课❿ 用an与Sn的关系求通项公式 要点深化·核心知识提炼 2 知识点. 与 的关系 已知数列 的前 项和为 ，则 这个关系式对任意数 列均成立. 名师点睛 （1） 与 关系的二重性，即用 与 的关系 可消去 ，也可消去 .①正用 消去 ，转化为只含 ， 的关系式.②逆用 消去 ，转化为只含 ， 的关系 式，再求解. （2）利用 求通项时，应注意 这一前提条件，易忽视验证 致误. 3 题型分析·能力素养提升 4 【题型一】由 求 型 例1（1） 已知数列 的前 项和 ，则 _ ______. <m></m> [解析] 当 时， ；当 时， ．因为 符合上式， 所以 （2）已知数列 的前 项和 ，则 _ _______________. <m></m> [解析] 当 时， ；当 时， ．因为 不符合上式，所以 5 题后反思 已知 ,求 的常用方法是利用 主要分三个步骤完成： （1）当 时，在 中，求得 ； 当 时，再利用 ，求出 ，即当 ， 时的通项 公式；（3）检查 是否符合 时 的表达式，若符合，则可以把数列的通项公 式合写成 ，否则应写成分段的形式，即 6 跟踪训练1（1） 若数列 的前 项和 ，则数列 的通项公式 为 _ _____________. <m></m> [解析] 当 时， ；当 时， ，显然 时不满足上式．故数列 的通项公式为 7 （2）若 ，则数列 的通项公式_ ______________________ . <m></m> [解析] 当 时， ；当 时， ，由于 不 符合上式，所以 8 【题型二】由 ,求 型 例2（1） 已知正项数列 中， ，则数列 的通项 公式为( ) B A. B. C. D. [解析] 当 时， ， ;当 时，因为 ，所以 ，两式相减 得 ，所以 .又 符合①式， 所以 ， ．故选B． 9 （2）已知数列 满足 ，则 _ ___________. <m></m> [解析] 当 时， .因为 ，所以 ， ，得 ，所以 ．显然 时不满足上式，所以 10 题后反思 已知 ,求 的常用方法是利用 主 要分三个步骤完成：（1）当 时，求得 ； 当 时，在 中用 替换 得到一个新的关系式 ，两式相减得到 ， 便可求出当 ， 时的通项公式；（3）检查 是否符合 时 的表达 式，若符合，则可以把数列的通项公式合写成 ，否则应写成分 段的形式，即 11 跟踪训练2（1） 设数列 满足 ，则 _ ___________. <m></m> [解析] 当 时， ． 因为 ， 所以 ， ,得 ，所以 ，显然 时不满足 上式，所以 12 （2）已知数列 满足 ，则 的通项公 式是___________. <m></m> [解析] 因为数列 满足 ，所以当 时， ，解得 ；当 时， ，与题目条件中的等式相减，得 ，整理得 ，该表达式在 时也成立，所以数列 的通项公式为 13 【题型三】由 消去 型 例3 若 为数列 的前 项和，且 ， ，则数列 的通项公 式为 _ ______________. <m></m> [解析] 因为 ， ，所以当 时， ，解得 ； 当 时， ，可得 ，所以 （舍去） 或 ，可得数列 的奇数项与偶数项分别为等差数列，所以 ， ， ， ，所 以 14 题后反思 已知 求 ，若能消去 ，则利用 消去 ， 主要分四个步骤完成：（1）当 时，先利用 ，求得 ；（2）当 时， 用 替换 中的 得到一个新的关系式 ，两式相减， 再逆用 便可得到当 ， 时数列 的一个递推公式； （3）借助各类递推公式求通项公式的方法求出当 ， 时的通项公式；（4） 看 是否符合 时 的表达式，若符合，则可以把数列的通项公式合写,否则应 写成分段的形式. 15 跟踪训练3（1） 已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， 则 _ __. <m></m> [解析] 由 可知 ，两式相减得 .因为 ，所以 ，所以 .又因为 ，所以 ，结合 ，所以 ，所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 16 （2）已知 为正项数列 的前 项和，且满足 ，求数列 的通项公式. 解 ，当 时， ， ，得 ．因为 ，所以 .又由①知 ， 故数列 为首项为1，公差为1的等差数列，故 ． 17 【题型四】由 消去 型 例4 设数列 的前 项和为 ，若 ,且当 时， ， 则数列 的通项公式为 _ __________________. <m></m> [解析] 当 时，由 可得 ， 所以 ，即 ，所以数列 是首项为 ，公差为 的等差 数列，所以 ，所以 ．当 时， . 又 ，所以 18 题后反思 已知 求 ，若不能消去 ，则利用 消去 ， 先求出 ，再求 ，主要分五个步骤完成：（1）当 时，先利用 ，求 得 ；（2）当 时，用 消去 ，便可得到当 ， 时数列 的一个递推公式；（3）借助各类递推公式求通项公式的方法求出 当 ， 时数列 的通项公式；（4）此时问题转化为由 求 型，求出当 ， 时数列 的通项公式；（5）看 是否符合 时 的表达式，若符合，则可以把数列的通项公式合写，否则应写成分段的形式. 19 跟踪训练4 已知正项数列 的前 项和为 ,且 , , 则数列 的通项公式为 ( ) C A. B. C. D. [解析] 由 ,得 , ,整理得 , ,所以数列{ }是以1为首项,1为公差的等差数列, 故 ,则 .故选C. 20 $$