专题29 三角恒等变换11种常见考法归类（108题）-2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册）

2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题29 三角恒等变换11种常见考法归类(108题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1两角和与差的正(余)弦公式 考点2两角和与差的正切公式 考点3二倍角公式及其应用 考点4辅助角公式及其应用 考点5给角求值 考点6给值求值 考点7给值求角 考点8利用三角恒等变换判断三角形的形状 考点9三角恒等式的证明 考点10三角恒等变换的综合问题 考点11三角恒等变换的实际应用 知识点1：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点2：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点3：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 知识点4：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 知识点5：降幂公式 ① ② 知识点6：半角公式 ① ② ③ 知识点7：辅助角公式： (其中) 知识点8：万能公式 ① ② ③ 解题策略 1、三角函数化简“三看”原则 2、给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． ⑤ 3、已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 注：（1）由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． （2）解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，已知正切函数值，选正切函数，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值． 4、对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 5、利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 6、证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 7、三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 8、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； 注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质． 9、三角函数的实际应用 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 考点1两角和与差的正(余)弦公式 1．（2024·云南·高一云南师大附中校考期末）（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国·高一假期作业）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏镇江·高一校考阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 4.（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4) 5．（2024·四川成都·高一成都外国语学校校考开学考试）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，则a的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国·高一专题练习）计算的值（    ） A． B． C． D． 8.（2023·全国·高一课堂例题） ． 9.（2023春·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习） . 10．（2024·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（    ） A．0 B． C． D．1 11.（2023春·陕西商洛·高一校考期中）=（    ） A． B． C． D． 12.（2023·全国·高一课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 13．（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 14．（2024·湖南株洲·高一校考阶段练习）（　　） A． B． C． D． 15.（2023春·高一课时练习），则 （    ） A． B． C． D． 考点2两角和与差的正切公式 16．（2024·四川成都·高一统考期末）（    ） A． B． C． D． 17．（2024·陕西榆林·高一校考期末）（    ） A． B． C． D． 18．（2024·江苏苏州·高一苏州市第三中学校校考阶段练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 19.（2023春·云南玉溪·高一统考期末）（    ） A．1 B． C．3 D． 20．（2024·河南·信阳高中校联考模拟预测）（    ） A． B． C．1 D．2 21．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）化简（    ） A．8 B．1 C．2 D．4 22.（2023春·辽宁锦州·高一校考期中）计算的值为（    ） A． B． C． D． 23．（2024·西藏拉萨·统考一模）的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 24.（2023·全国·高一课堂例题）已知，分别求下列各式的值． (1)； (2)． 考点3二倍角公式及其应用 25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）计算：（    ） A． B．2 C． D． 26．（2024·新疆昌吉·高一校考期末）化简的结果为 . 27．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）计算: 28．（2024·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中） ． 29．（2024·全国·高一专题练习）求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) 30．（2024上·河南新乡·高三新乡市第一中学校考阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2) 31．（2024·新疆·高二学业考试）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 考点4辅助角公式及其应用 32.（2023春·山东潍坊·高一统考期末）已知，，则 . 33.（2023春·新疆阿克苏·高一校考期中）已知，则 ． 34.（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是锐角，且，则 ． 35．（2024·广东汕头·高二校考期中）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 36．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 37．（2024·陕西西安·西安市长安区第二中学校联考模拟预测）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 38．（2024·山西临汾·校考模拟预测）已知函数，若在区间上的值域是，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 39．（2024·吉林·高一吉林一中校考期末）已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 考点5给角求值 40.（2024·高一课时练习）化简求值： (1)； (2). 41．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）化简：（    ） A． B． C． D． 42．（2024·江苏苏州·高一吴县中学校考期中）计算：（ ） A． B． C． D． 43．（2024·高一课时练习）求 . 44．（2024·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）若，则 . 考点6给值求值 45.（2023春·海南·高一统考期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 46.（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 47.（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知都为锐角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 48．（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 49．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 50．（2024·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 51．（2024·高一课时练习）若，， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 52．（2024·广东广州·统考模拟预测）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 53．（2024·吉林·高一吉林一中校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D．3 54.（2024·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知为锐角，，则 . 55.（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）已知，，则的值（    ） A．1 B． C． D． 56．（2024上·安徽·高三校联考阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 57．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 58．（2024·河南开封·统考三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 59．（2024·云南昆明·高二统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 60.（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 61.（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知​，则​ ． 62.（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 63．（2024·浙江杭州·高三期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 64.（2024·河南新乡·高一校联考期末）已知，其中． (1)求； (2)求． 考点7给值求角 65.（2023·全国·高一假期作业）已知锐角，且满足. (1)求； (2)求. 66.（2024·江西抚州·高二黎川县第二中学校考开学考试）已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 67．（2024·全国·高一课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 68.（2023·高一单元测试）若，，，则（   ） A． B． C． D． 69.（2023春·湖北黄冈·高一校考期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 70．（2024·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 71．（2024·江苏无锡·校联考三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 72．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知，，，，则（    ） A．或 B． C． D． 73．（2024·福建泉州·高三晋江市第一中学校考阶段练习）若，，且，，则的值是（      ） A． B． C．或 D．或 74．（2024·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 75．（2024·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点8利用三角恒等变换判断三角形的形状 76．（2010下·河北沧州·高一统考期末）在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 77．（2024·广西贺州·高二校考阶段练习）在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 78．（2024·福建宁德·统考二模）在中，若，则该三角形的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 79．（2024·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知，角所对应的边分别为，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 80．（2024·上海奉贤·高一校考期中）在中，若，则此三角形为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 考点9三角恒等式的证明 81．（2024·甘肃甘南·高一校考期中）求证： (1)； (2)． 82．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）（1）证明：； （2）化简：； （3）已知，是第二象限角，且，求的值. 83．（2024·高一课时练习）求证： 84．（2024·高一课时练习）求证： 85．（2024·高一课时练习）已知，求证：． 86．（2024·高一课时练习）已知，求证：． 87．（2024·高一课时练习）已知，求证：. 88．（2024·高一课时练习）已知，求证：. 考点10三角恒等变换的综合问题 89.（2024·河南郑州·高一校考期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求时，函数的值域. 90.（2024·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考开学考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数在上是减函数，求的取值范围. 91．（2024·北京·高一北京东方德才学校校考阶段练习）设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知. (1)求函数的解析式； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的单调递增区间. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的图象的一条对称轴为； 条件③：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为. 92．（2024·宁夏银川·高一校考期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求该函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最小值和最大值. 93．（2024·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知（）． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的最小值为，求的对称中心． 94．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值． 95．（2024·广东佛山·高一统考竞赛）设实数，函数. (1)若的最小正周期是，求在上的最大值与最小值； (2)若在上有且仅有2个零点，求的取值范围. 96．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，，求的值. 97．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的最大值与最小值的和. 98．（2024·新疆阿克苏·高一校考期末）已知函数． (1)求的最小正周期及对称轴； (2)求的单调区间． 99．（2024·重庆永川·高一重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求在上的值域； (3)试讨论函数在上零点的个数. 考点11三角恒等变换的实际应用 100.（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 101.（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为 .    102．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）如图，矩形内接于半径为1、中心角为（其中）的扇形，且，求矩形面积的最大值，并求此时的长． 103．（2024·河北唐山·高一统考期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 104．（2024·江苏淮安·高一校联考期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 105．（2024·江苏南通·高一统考阶段练习）如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记． (1)求的最大值，并指出相应的值； (2)为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围． 106．（2024·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期中）如图， 直线，点是之间的一个定点，过点的直线垂直于直线 （为常数），点分别为上的动点，已知. 设 的面积为. (1)若，求的面积； (2)写出函数的解析式； (3)求的最小值. 107．（2024·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S. (1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数； ②设，将S表示为的函数； (2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值. 108．（2024·山东菏泽·高一统考期末）如图，扇形半径为1，圆心角为，过扇形弧上点分别向，作垂线，垂足为，，得到，当点（与，不重合）在扇形弧上从到运动时． (1)的面积是如何变化的？ (2)求面积的最大值． $$2024年考点通关新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题29 三角恒等变换11种常见考法归类(108题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点1两角和与差的正(余)弦公式 考点2两角和与差的正切公式 考点3二倍角公式及其应用 考点4辅助角公式及其应用 考点5给角求值 考点6给值求值 考点7给值求角 考点8利用三角恒等变换判断三角形的形状 考点9三角恒等式的证明 考点10三角恒等变换的综合问题 考点11三角恒等变换的实际应用 知识点1：两角和与差的余弦公式 两角和与差的余弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点2：两角和与差的正弦公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,是任意角. 知识点3：两角和与差的正切公式 两角和与差的正切公式 （1） （2） ①简记符号:,.　 ②适用条件:公式中的角,，，，. ③变形结论： 知识点4：二倍角的正弦、余弦正切公式 ① ②；； ③ 知识点5：降幂公式 ① ② 知识点6：半角公式 ① ② ③ 知识点7：辅助角公式： (其中) 知识点8：万能公式 ① ② ③ 解题策略 1、三角函数化简“三看”原则 2、给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． ⑤ 3、已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 注：（1）由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案． （2）解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的选取一般要根据所求角的范围来确定，已知正切函数值，选正切函数，已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，当所求角范围是(0，π)或(π，2π)时，选取求余弦值，当所求角范围是或时，选取求正弦值． 4、对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式． 5、利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围． (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算． 6、证明问题的原则及一般步骤 (1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想． (2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的． 7、三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简． (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子． (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同． (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”． (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立． 8、三角恒等变换综合应用的解题思路 （1）将化为的形式； （2）构造 （3）和角公式逆用，得 (其中φ为辅助角)； （4）利用研究三角函数的性质； 注：研究三角函数的性质，如单调性和最值问题，通常是把复杂的三角函数通过恰当的三角变换，转化为一种简单的三角函数，再研究转化后的函数的性质．在这个过程中通常利用辅助角公式，将y＝asin x＋bcos x转化为y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x＋φ)的形式，以便研究函数的性质． 9、三角函数的实际应用 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 考点1两角和与差的正(余)弦公式 1．（2024·云南·高一云南师大附中校考期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由及余弦差公式求值. 【详解】， 故选：A． 2.（2023·全国·高一假期作业）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 . 故选：C 3．（2024·江苏镇江·高一校考阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将拆成，用两角和的正弦计算即可. 【详解】解：. 故选：D. 4.（2023·全国·高一随堂练习）求下列各式的值． (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 5．（2024·四川成都·高一成都外国语学校校考开学考试）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式，结合二倍角的正弦公式，余弦公式进行求解判断即可. 【详解】A：， ，因此本选项等式不成立； B： ，因此本选项等式不成立； C：，因此本选项等式不成立； D：，因此本选项等式成立， 故选：D 6．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）已知，则a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由诱导公式化简，再由余弦两角和差公式即可求得. 【详解】 故选：A 7．（2024·全国·高一专题练习）计算的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角差的余弦公式计算可得. 【详解】. 故选：C． 8.（2023·全国·高一课堂例题） ． 【答案】/ 【详解】． 故答案为： 9.（2023春·四川遂宁·高一四川省蓬溪中学校校考阶段练习） . 【答案】/ 【详解】 . 故答案为：. 10．（2024·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】逆用两角差的正弦公式进行求解即可. 【详解】， 故选：C 11.（2023春·陕西商洛·高一校考期中）=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ， 故选：A 12.（2023·全国·高一课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式． （2）原式． 13．（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据题意，求得，进而得到，结合两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】因为，又因为，所以， 又，，所以， 故． 故选：B． 14．（2024·湖南株洲·高一校考阶段练习）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正弦公式，结合特殊角的三角函数，化简得到，即可求解. 【详解】由. 故选：A. 15.（2023春·高一课时练习），则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 故选：B 考点2两角和与差的正切公式 16．（2024·四川成都·高一统考期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的正切公式计算可得； 【详解】 故选：A 17．（2024·陕西榆林·高一校考期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两角和的正切公式计算可得； 【详解】解： 故选：B 18．（2024·江苏苏州·高一苏州市第三中学校校考阶段练习）的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】将1变为，再利用正切的两角差的公式计算即可. 【详解】. 故选：B. 19.（2023春·云南玉溪·高一统考期末）（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】 ， 故选：A． 20．（2024·河南·信阳高中校联考模拟预测）（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用正切诱导公式以及两角差正切公式化简即可. 【详解】因为 . 故选：B. 21．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）化简（    ） A．8 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】构造两角和的正切公式，利用特殊角的正切值得到等式即可. 【详解】因为， 所以， 即， 故选：B 22.（2023春·辽宁锦州·高一校考期中）计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，交叉相乘得： 所以. 故选：B. 23．（2024·西藏拉萨·统考一模）的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据正切的两角和公式变形可得. 【详解】因为， 变形得， 所以. 故选：D． 24.（2023·全国·高一课堂例题）已知，分别求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． 因为， 所以 （2）． 因为， 所以． 考点3二倍角公式及其应用 25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）计算：（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用倍角公式以及诱导公式运算求解. 【详解】由题意可知：. 故选：D. 26．（2024·新疆昌吉·高一校考期末）化简的结果为 . 【答案】 【分析】根据同角的三角函数关系、诱导公式以及二倍角的正弦公式化简各部分，然后通过运算可得结果. 【详解】原式， 故答案为：. 27．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）计算: 【答案】 【分析】应用诱导公式转化为表示，再切化弦，结合二倍角公式和辅助角公式即可. 【详解】原式 ． 故答案为： 28．（2024·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中） ． 【答案】 【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值. 【详解】 . 故. 故答案为：. 29．（2024·全国·高一专题练习）求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用三角函数的倍角公式即可得解. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 30．（2024上·河南新乡·高三新乡市第一中学校考阶段练习）计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正切的两角和公式化简求值； （2）利用正弦的两角差公式、二倍角公式，以及三角函数的诱导公式求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 所以. （2） . 31．（2024·新疆·高二学业考试）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果. 【详解】根据二倍角的余弦公式可得： . 故选：D 考点4辅助角公式及其应用 32.（2023春·山东潍坊·高一统考期末）已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，即， 所以，所以， 即， 因为，所以， 所以， 所以 . 故答案为： 33.（2023春·新疆阿克苏·高一校考期中）已知，则 ． 【答案】 【详解】由题知，， 于是. 则. 故答案为： 34.（2023春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）已知是锐角，且，则 ． 【答案】 【详解】， 由题意，是锐角，则，则，解得. 故答案为： 35．（2024·广东汕头·高二校考期中）函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】先根据两角和正弦公式化简函数，然后利用正弦函数性质求解最值. 【详解】， 因为，所以，根据正弦函数的性质，， 所以当时，有最大值为2. 故选：D. 36．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式化简，再利用三角函数的性质求得，从而得解. 【详解】依题意，得，其中， 因为恒成立，即， 当取最大值时，，所以， 故. 故选：D. 37．（2024·陕西西安·西安市长安区第二中学校联考模拟预测）函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，进而利用辅助角公式化简，然后由正弦函数的性质可得的最大值. 【详解】，其中，∴的最大值为. 故选：. 38．（2024·山西临汾·校考模拟预测）已知函数，若在区间上的值域是，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角恒等变换化简，即可根据整体法求解. 【详解】由可得， 当时，， 要使在区间上的值域是， 则，解得， 故选：A 39．（2024·吉林·高一吉林一中校考期末）已知函数，则函数的对称轴的方程为 ． 【答案】 【分析】先利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形，然后由可求得答案. 【详解】 ， 令，解得：． 故答案为： 考点5给角求值 40.（2024·高一课时练习）化简求值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)0 【详解】（1） ； （2） 41．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倍角公式结合诱导公式求解即可. 【详解】 故选：A 42．（2024·江苏苏州·高一吴县中学校考期中）计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两角和差的正弦公式，二倍角余弦公式和同角关系化简即可. 【详解】因为 ，所以原式 故选：C 43．（2024·高一课时练习）求 . 【答案】/0.5 【分析】首先切化弦，然后辅助角公式、诱导公式及二倍角公式化简求值即可. 【详解】 故答案为：. 44．（2024·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）若，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可. 【详解】 故答案为： 考点6给值求值 45.（2023春·海南·高一统考期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，， 则. 故选：A. 46.（2023春·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为且都是第二象限角， 所以，， 所以. 故选：C. 47.（2023春·广东深圳·高一深圳中学校考期中）已知都为锐角，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为都为锐角，即，所以 因为，， 所以，， 所以 . 故选：A 48．（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求角通过拆角、变角，利用两角和的余弦公式求解即可. 【详解】，所以，， 因为，所以， 因为，所以， ， 故选：B． 49．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同角平方关系结合角的范围求得，再根据，结合和角余弦公式即可求解. 【详解】因为，所以，又， 所以， 所以 . 故选：C 50．（2024·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）已知且都是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角函数的平方关系求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为且都是第二象限角， 所以，， 所以. 故选：C. 51．（2024·高一课时练习）若，， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由和，求出和，，利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】∵，∴， . 又∵，， ∴，， 故选：C 52．（2024·广东广州·统考模拟预测）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦、正弦公式求得正确答案. 【详解】， ， ，分子分母同时除以得： ①， 由于，所以，所以， 所以， 所以， 即，代入①得： ，解得. 故选：B 53．（2024·吉林·高一吉林一中校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】利用换元法，结合正切函数的和差公式即可得解. 【详解】令，则，， 则. 故选：D． 54.（2024·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知为锐角，，则 . 【答案】 【详解】由于为锐角，所以， ， 所以. 故答案为： 55.（2023春·北京·高一北理工附中校考阶段练习）已知，，则的值（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，又， 所以. 故选：D. 56．（2024上·安徽·高三校联考阶段练习）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意和同角三角函数的关系以及正弦的二倍角公式可得，结合计算即可求解. 【详解】由，得， 又，所以， 所以， 所以. 故选：D 57．（2024·陕西·高三校联考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式以及二倍角公式对已知三角函数值进行三角恒等变换从而得出结论. 【详解】因为,所以有， 则. 故选:D. 58．（2024·河南开封·统考三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换得到，再利用诱导公式求出答案. 【详解】因为，即， 所以． 故选：D 59．（2024·云南昆明·高二统考期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据结合二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】 . 故选：D. 60.（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ， 故选：C 61.（2023·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知​，则​ ． 【答案】/0.28 【详解】由题意， ， ， 解得： ， ∴， ， 故答案为：. 62.（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 故选：C. 63．（2024·浙江杭州·高三期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值. 【详解】. 故选：A． 64.（2024·河南新乡·高一校联考期末）已知，其中． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 又因为，且，所以． 因为，，所以， 则， 又因为，所以． （2）由（1）可得，， 因为， 则， 所以 考点7给值求角 65.（2023·全国·高一假期作业）已知锐角，且满足. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为锐角，， 所以. 因为，是锐角，即，， 所以，， 又因为， 所以. . （2）由（1）知，， 因为是锐角，， 所以， 由，， 所以， ， 因为， 所以. 66.（2024·江西抚州·高二黎川县第二中学校考开学考试）已知锐角满足，则等于（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】因为满足， 所以，. 由此可得. 又因为，所以， 故选：C. 67．（2024·全国·高一课堂例题）已知，，且和均为钝角，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的关系分别求解，再结合两角和的余弦公式，结合角度大小判断即可. 【详解】∵和均为钝角， ∴，． ∴． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D 68.（2023·高一单元测试）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】.且，， 所以，， 又，. 故选：A 69.（2023春·湖北黄冈·高一校考期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为，， 所以或； 若，则， 此时（舍）； 若，则， 此时（符合题意）， 所以， 即； 因为且， 所以且， 解得，， 则， 又，所以. 故选：B. 70．（2024·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）若，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据角的变换有，根据三角函数值确定的值. 【详解】，符号相同， 又，，， 由可得， 又，，， 所以，， ， 由，，得，， 故选：A． 71．（2024·江苏无锡·校联考三模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角，再利用已知条件即可求解. 【详解】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以. 故选：C. 72．（2024·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知，，，，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角度范围得到，，计算，得到答案. 【详解】，，，故，故； ，，，， 故，； ，，故. 故选：C 73．（2024·福建泉州·高三晋江市第一中学校考阶段练习）若，，且，，则的值是（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据角的变换可得，，从而可得，然后根据已知条件分别得到，的值，进而求解得到结果． 【详解】解：因为，，，， ，，， 又因为，， 所以为第二象限角，为第二象限角， 所以， ， 又因为， 所以， 所以， ． 故选：A. 74．（2024·江苏镇江·高一江苏省镇江中学校考期中）已知，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由求出的值，再由求出，从而可求出的值，进而可求出的值 【详解】解：因为，所以， 所以，，所以， 所以，所以， 所以， 因为，，所以，则 ， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：D 75．（2024·上海黄浦·高一上海市敬业中学校考期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 考点8利用三角恒等变换判断三角形的形状 76．（2010下·河北沧州·高一统考期末）在中，，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】C 【分析】利用两角和的余弦公式以及诱导公式可得出，结合角的取值范围可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，，因为，故为钝角， 故为钝角三角形. 故选：C. 77．（2024·广西贺州·高二校考阶段练习）在中，内角满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 【答案】B 【分析】根据得到，求出，得到三角形形状. 【详解】， 故，即， 因为，所以， 故为等腰三角形. 故选：B 78．（2024·福建宁德·统考二模）在中，若，则该三角形的形状一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】利用内角和定理及诱导公式得到，利用两角和与差的正弦函数公式化简，代入已知等式变形再利用两角和与差的正弦函数公式化简，得到，即，即可确定出三角形形状． 【详解】解：在中，， ，即， ，， ，即，则为等腰三角形． 故选：A． 79．（2024·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）已知，角所对应的边分别为，且，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦、余弦公式化简变形即可推理作答. 【详解】依题意，， 则有，在中，，即， 因此，又，于是得，即， 所以是直角三角形. 故选：A 80．（2024·上海奉贤·高一校考期中）在中，若，则此三角形为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】A 【分析】首先利用三角恒等变换，得，再判断三角形的形状. 【详解】因为， 所以， ，又 所以，即. 故选：A. 考点9三角恒等式的证明 81．（2024·甘肃甘南·高一校考期中）求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先通分，再应用辅助角公式、倍角正弦公式化简分子、分母即可证结论； （2）应用商数关系、倍角正余弦及和角余弦公式化简分子、分母即可证结论. 【详解】（1）； （2）. 82．（2024·江苏连云港·高一校考阶段练习）（1）证明：； （2）化简：； （3）已知，是第二象限角，且，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）. 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简可证得结论成立； （2）利用二倍角的正弦、余弦公式可化简所求代数式； （3）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】解：（1），得证； （2） ； （3）因为，是第二象限角， 则， 所以，， 所以，. 83．（2024·高一课时练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用二倍角正余弦公式化简左侧，即可证结论. 【详解】由 ，得证. 84．（2024·高一课时练习）求证： 【答案】证明见解析 【分析】利用及正切的和差角公式可得答案. 【详解】证明：左边 右边. 85．（2024·高一课时练习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由已知条件化简得出，利用积化和差公式化简可证得结论成立. 【详解】证明：因为，所以， 于是， 因为 ， 所以，， 同理可得， 所以，从而，所以． 86．（2024·高一课时练习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】化简得到，利用正余弦平方和关系化简得到，再次利用正余弦平方和关系得到证明. 【详解】因为，所以． 即． 去分母，得． 又 ， 所以， 即， 所以， 于是， 故． 87．（2024·高一课时练习）已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用差角的正切公式、二倍角的正余弦公式、弦化切化简等式两边，由此可证得结论成立. 【详解】左边， 右边， 因此，. 88．（2024·高一课时练习）已知，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由角的变换得，，根据两角和差的正弦公式将已知条件展开，整理得，最后将所证等式左边利用商数关系切化弦后通分即可得证. 【详解】证明：因为，所以， 即， 所以， 所以 ， 即. 考点10三角恒等变换的综合问题 89.（2024·河南郑州·高一校考期末）已知函数，. (1)求函数的最小正周期和对称轴方程； (2)求时，函数的值域. 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【详解】（1） . 所以的最小正周期为， 由解得， 所以的对称轴为. （2）由于，， 所以. 即的值域为. 90.（2024·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考开学考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)若函数在上是减函数，求的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值是； (3) 【详解】（1） ， 函数的最小正周期； （2），，所以， 则 所以函数的最大值为，最小值是； （3）若，则， 由题意可知，，得， 所以的取值范围是. 91．（2024·北京·高一北京东方德才学校校考阶段练习）设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知. (1)求函数的解析式； (2)求在上的值域； (3)求函数在上的单调递增区间. 条件①：函数的图象经过点； 条件②：函数的图象的一条对称轴为； 条件③：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为. 【答案】(1); (2); (3),. 【分析】（1）根据三角函数的恒等变换可得，分别选择条件①，②，③都可得到，从而可得； （2）通过换元法并结合正弦函数的图象与单调性，求解值域即可. （3）通过换元法并结合正弦函数的单调性即可求解在上的单调递增区间. 【详解】（1）结合题意可得： 所以， 若选条件①：因为函数的图象经过点， 所以，即， 所以，即，, 因为，所以当时，,满足题意, 故函数的解析式为. 若选条件②：因为函数的图象的一条对称轴为； 所以，,即,， 因为，所以当时，,满足题意, 故函数的解析式为. 若选条件③：因为函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为， 所以即，由周期公式可得，解得,满足题意, 故函数的解析式为. （2）由（1）问可得， 令，因为，所以， 由的图象可知： 在上单调递增，在单调递减； 当，即时，； 当，即时，. 所以在上的值域为. （3）由（1）问可得， 令，因为，所以， 由的图象可知： ①在上单调递增， 所以，解得：，所以在单调递增； ②在单调递增， 所以，解得：，所以在单调递增； 函数在上的单调递增区间为,. 92．（2024·宁夏银川·高一校考期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求该函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】(1) (2) (3)最小值为0，最大值为3 【分析】（1）利用三角恒等变换公式求出函数的解析式，即可求最小正周期； （2）利用三角函数的单调区间的求法求解； （3）根据三角函数的图象性质求区间上的最值. 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期. （2）令，则， 故该函数的单调递增区间. （3）因为，所以， 当，即时，； 当，即时，， 故函数在区间上的最小值为0，最大值为3. 93．（2024·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知（）． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的最小值为，求的对称中心． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数定义列式结合三角函数运算得解； （2）将化简，由的最小值为，可求得，再由正弦函数的性质得解. 【详解】（1）因为是偶函数，所以，即，化简得， 或， 解得，，又， 所以. （2）由 ，由的最小值为， 则，即，又， 所以， 所以，由可知， 令，，即， 所以的对称中心为，. 94．（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先化简函数解析式，代入周期计算公式求解即可； （2）由的范围求出的范围，即可根据正弦函数的单调性求得最值. 【详解】（1） ． 故的最小正周期． （2）因为，所以． 当时，有最小值，最小值为． 当时，有最大值，最大值为． 故在上的最大值为，最小值为． 95．（2024·广东佛山·高一统考竞赛）设实数，函数. (1)若的最小正周期是，求在上的最大值与最小值； (2)若在上有且仅有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值，最小值1； (2). 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，由周期求出，再利用正弦函数性质求出最值即得. （2）由（1）的信息，求在上使成立的值仅只两个的的范围. 【详解】（1）依题意，， 由的最小正周期是，得，解得，于是， 当时，，则当，即时，， 当，即时，， 所以的最大值为，最小值为1. （2）由，得，当时，， 由在内有且仅有两个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 96．（2024·黑龙江牡丹江·高一牡丹江一中校考期末）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简三角函数的解析式为，结合正弦函数的性质可得函数的单调递增区间； （2）由得，利用平方关系得到，再利用两角和正弦公式得到的值. 【详解】（1）, 令 解得，即， 所以递增区间. （2）由得，所以， 又因为，所以， 所以. 97．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求的最大值与最小值的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换整理得，进而可得最小正周期； （2）以为整体，结合余弦函数的有界性求最值. 【详解】（1）由题意可得： ， 所以的最小正周期. （2）因为，则， 当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值； 所以的最大值与最小值的和为. 98．（2024·新疆阿克苏·高一校考期末）已知函数． (1)求的最小正周期及对称轴； (2)求的单调区间． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为 (2)增区间为，减区间为 【分析】（1）化简的解析式，然后求得的最小正周期及对称轴； （2）利用整体代入法求得的单调区间. 【详解】（1）， 所以的最小正周期为， 由，解得的对称轴方程为. （2）由解得， 由解得， 所以的增区间为，减区间为. 99．（2024·重庆永川·高一重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求在上的值域； (3)试讨论函数在上零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦型函数的周期公式即可得到答案； （2）利用整体法求出，再通过正弦型函数的值域求解方法即可； （3）等价转化为方程在上的解的个数，再结合正弦型函数的性质与值域即可. 【详解】（1）函数， 故函数的最小正周期为. （2）在上，， 可得. （3）函数在上零点的个数， 即方程在上的解的个数. ， 当或时，方程有一个解， 当时，方程有2个解， 当或时，方程无解. 综上可得，当或时，一个零点； 当时，2个零点； 当或时，没有零点. 考点11三角恒等变换的实际应用 100.（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）如图，在半径为、圆心角为的扇形弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点、在上，则这个矩形面积的最大值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，矩形面积为， 扇形的半径为，圆心角为， 所以，，， 所以． 化简得：，， 当，即时， 取最大值． 故选：B. 101.（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为 .    【答案】 【详解】连接，作垂直交于点，设角， ， 所以点为线段的中点，在三角形中， ，， ， ， 设，则，， 在三角形中，， ，， ， 所以四边形的面积为 ，此时， 故答案为：．    102．（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）如图，矩形内接于半径为1、中心角为（其中）的扇形，且，求矩形面积的最大值，并求此时的长． 【答案】矩形面积的最大值为，此时的长为. 【分析】利用题目条件,解直角三角形得矩形的面积,再利用二倍角正弦,余弦公式和辅助角公式得,再利用正弦型函数的最值,计算得结论. 【详解】如图: 设的角平分线分别交于,, 则. 因此矩形的面积为矩形面积的2倍. 因为扇形的半径为1， 所以在中,,即,. 因为在中,, 所以, 而,因此, 所以 ， 其中为锐角，且. 因为,为锐角,所以, 因此当时,取得最大值1,即取得最大值. 因为,所以当时,, 因此,所以由解得, 因此, 所以. 103．（2024·河北唐山·高一统考期末）如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 【答案】(1) (2)当时，. 【分析】（1）在中，由直角三角形的边角关系得出，进而得出梯形BCNM的面积S； （2）由直角三角形的边角关系以及勾股定理得出，再由换元法结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1） ，， （2）由（1）可知， ，， 令，则，即 当，即时，. 104．（2024·江苏淮安·高一校联考期中）现某公园内有一个半径为米扇形空地，且，公园管理部门为了优化公园功能，决定在此空地上建一个矩形的老年活动场所，如下图所示有两种情况可供选择. (1)若选择图一，设，请用表示矩形的面积，并求面积最大值 (2)如果选择图二，求矩形的面积最大值，并说明选择哪种方案更优（面积最大）（参考数据，） 【答案】(1)，矩形面积的最大值为 (2)矩形面积的最大值为，第一种方案更优. 【分析】（1）计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值； （2）取中点，连接，设，设，其中，计算出、关于的表达式，利用三角恒等变换可得出矩形面积的表达式，利用正弦型函数的有界性可求得矩形面积的最大值，与方案一中矩形的面积比较大小，可得出结论. 【详解】（1）解：由题得，则， 则， 所以，， 所以矩形面积为 ， 因为，则，故当时，即当时， 矩形的面积取最大值，且最大值为. （2）解：取中点，连接，设，如下图所示： 设，其中，由圆的几何性质可知， ，， 因为四边形为矩形，则且， 因为，则，且，所以，四边形为矩形， 所以，，即为的中点， 又因为，则，所以，， 所以，， 所以，， 所以，， 则矩形的面积为 ，其中， 因为，则， 所以当，即时取最大值，矩形的面积取最大值，且最大值为 ， ，则，所以第一种方案更优. 105．（2024·江苏南通·高一统考阶段练习）如图，某闸口附近有一块半圆形区域，其中豁口（阴影部分）是一块景点水域．为了进一步发展旅游业，现要划出两块陆地进行打造，一块为矩形建成停车场，另一块为直角三角形建成休闲区（），它们的面积分别记为、；同时，为了保护景点水域，限定扇形必须为四分之一圆，不作其它开发．已知为圆心，直径为，点、分别在弧、上（均不含端点），且点、分别在、上，点和在上，，，记． (1)求的最大值，并指出相应的值； (2)为了给旅游主管部门提供决策依据，求的取值范围． 【答案】(1)当时，取得最大值 (2) 【分析】（1）求出、的长，可得出关于的表达式，利用三角恒等变换化简关于的表达式，结合以及正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值； （2）求出，利用正切函数的基本性质结合可求得的取值范围. 【详解】（1）解：在中，，，则，其中， 在中，，，， 则， 所以， ， 因为，则，故当时，即当时， 取得最大值. （2）解：因为，，则， 因为，则，， 所以，， 所以，. 106．（2024·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期中）如图， 直线，点是之间的一个定点，过点的直线垂直于直线 （为常数），点分别为上的动点，已知. 设 的面积为. (1)若，求的面积； (2)写出函数的解析式； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，可知， ，再求出的面积，的面积和梯形的面积，再根据，即可求出结果. （2）利用三角函数表示各个边长的关系，再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出即可. （3）由（1）有，将正切值用正弦除以余弦表示，再利用三角函数的和差角二倍角与辅助角公式化简成，再根据三角函数性质，求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，，则， 因为，在中，， ， 在中，. 所以的面积， 所以的面积， 所以梯形的面积. 所以. （2）解：由题意，，则， 在中，，， ， 在中，. 所以的面积， 所以的面积， 所以梯形的面积. 所以 . （3）解：令 . 所以当时，即时，取得最小值， 此时取得最小值. 107．（2024·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）如图是一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上，点在线段上，三角形木块选的面积记为S. (1)①设点到底边的距离为，将S表示为的函数； ②设，将S表示为的函数； (2)从（1）中选择一个合适的函数，解决以下问题：当点在何处时，三角形木块的面积S最大？并求出该最大值. 【答案】(1)①，（）；②，（）. (2)E位于半圆上，且时，三角形木块的面积最大. 【详解】（1） ①设，则（），所以,,, 所以，（）. 即，（）. ②设，设，（），所以,,, 所以，（）. 所以，（）. （2）选择函数②：. 令， 则，在上单调递增， 所以当，即时，最大. 此时E位于半圆上，且. 108．（2024·山东菏泽·高一统考期末）如图，扇形半径为1，圆心角为，过扇形弧上点分别向，作垂线，垂足为，，得到，当点（与，不重合）在扇形弧上从到运动时． (1)的面积是如何变化的？ (2)求面积的最大值． 【答案】(1)点C从点A运动到弧AB的中点时，△CDE的面积越来越大，点C从弧AB的中点运动到点B时，△CDE的面积越来越小； (2). 【分析】（1）作于F，记，则，然后算出各个三角形的面积，进而通过三角恒等变换与三角函数的图象和性质求得答案； （2）由（1）即可求得答案. 【详解】（1）如图，作于F，记，则. 在中，，则， 在中，，则， 在中，，则， 所以， . 由，由.于是，点C从点A运动到弧AB的中点时，的面积越来越大，点C从弧AB的中点运动到点B时，的面积越来越小. （2）由（1），当点A位于弧AB的中点，即时，的面积有最大值，最大值为：. $$