精品解析：内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗实验高级中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

科左中旗民族职专·实验高中 2023—2024学年第二学期期末考试（数学）试卷 出题人：许颖 审题人：杨泽 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共8题，合计40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A. B. 2 C. 4 D. 5. 若正数，满足，则的最小值是（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 二、多选题（每小题5分，共4题，合计20分.全部答对得5分，部分答对得2分） 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则三点共线 B. 若，则线段的中点坐标为 C. 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 D. 是幂函数 11. 设是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（ ） A. B. C. D. 12. 下列各式中计算结果等于1的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共4题，合计20分） 13. 已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______（单位：）． 14. 设，则________． 15. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 16. 已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为______． 四、解答题（17题10分，18~22题各12分，合计70分） 17. 已知角的终边经过点，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知向量，且． （1）求的值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求这个函数的解析式； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值． 20. 已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小： （2）若，求的面积． 21. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，． （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值的大小． 22. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科左中旗民族职专·实验高中 2023—2024学年第二学期期末考试（数学）试卷 出题人：许颖 审题人：杨泽 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（每小题5分，共8题，合计40分） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再根据补集定义即可求解结论． 【详解】集合，，， ， 故选：D． 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和虚部概念即可求解. 【详解】由， 所以的虚部为， 故先：B. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定形式直接判断即可. 【详解】由存在量词命题的否定形式可知， 命题“，”的否定是“，”. 故选：B 4. 若幂函数的图象经过点，则＝（　　） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可. 【详解】设幂函数，因为的图象经过点，所以，解得， 所以，所以. 故选：C 5. 若正数，满足，则的最小值是（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式求出最值. 【详解】由题意得，当且仅当时，等号成立， 故的最小值是20． 故选：B 6. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以“0”和“1”为中间量，即可比较三者之间的大小， 【详解】因为，， 所以， 又因为，而， 所以， 综上， 故选：D. 7. 已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】向量， 则向量在向量上的投影向量是 . 故选：A. 8. 若，则 （ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先用齐次分式求正切值，然后利用两角差正切公式求值即可. 【详解】因为，所以，即， 所以， 故选：B. 二、多选题（每小题5分，共4题，合计20分.全部答对得5分，部分答对得2分） 9. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论. 【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确． 对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为， 球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确． 对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则三点共线 B. 若，则线段的中点坐标为 C. 模等于1个单位长度的向量称为单位向量 D. 是幂函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标表示判断的平行关系，可判断A；根据中点坐标公式可判断B；由单位向量的定义可判断C；根据幂函数的结构特征可判断D. 【详解】对于A，若，则， 因为，所以， 又有公共点A，所以三点共线，A正确； 对于B，由中点坐标公式可得线段的中点坐标为，B正确； 对于C，根据单位向量的定义可知，C正确； 对于D，形如的函数称为幂函数，所以不是幂函数，D错误. 故选：ABC 11. 设是三角形的一个内角，下列选项中可能为负值的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由是三角形的一个内角可得的范围，即可得A、B、C选项，结合辅助角公式可得D. 【详解】是三角形的一个内角，故，则， 可能小于0，可能小于0， ，则，则可能小于0. 故选：BCD. 12. 下列各式中计算结果等于1的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由同角三角函数关系得到答案；B选项，利用特殊角的三角函数值直接计算；CD选项，利用对数运算公式和换底公式计算即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：ACD 三、填空题（每小题5分，共4题，合计20分） 13. 已知圆锥的体积为（单位：），且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是______（单位：）． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，母线为，根据圆锥的体积公式，弧长公式得到方程组，解得即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线为， 依题意，解得. 故答案为： 14. 设，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数定义，先计算出的值，然后计算即可得出结果. 【详解】函数，则. 故答案为：. 15. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三年级共有720名学生，则该校共有学生______人． 【答案】1800 【解析】 【分析】根据按比例分配的分层随机抽样的特点确定抽样的比例即可求解. 【详解】由题意可知从三个年级中抽取的300人进行问卷调查，其中高三有120人， 所以抽取的比例为 设该校共有名学生，可得， 解得人，即该校共有1800名学生. 故答案为：1800. 16. 已知正方体中，、分别为和的中心，则和所成角大小为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角形的中位线得到平行关系，将异面直线和所成的角转化为相交直线所成的角，再求解即可. 【详解】连接，，交点即为正方形的中心，连接， 在中，分别为的中点， 则，又，所以即为直线和直线所成的角， 在中，，所以，即和所成角大小为. 故答案为：. 四、解答题（17题10分，18~22题各12分，合计70分） 17. 已知角的终边经过点，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义求解即可； （2）由诱导公式化简代入即可得出答案. 【小问1详解】 点到原点的距离. 由三角函数定义有. 【小问2详解】 . 18. 已知向量，且． （1）求的值； （2）若向量与互相垂直，求的值． 【答案】（1）4 （2）或 【解析】 【分析】（1）由及已知条件，代入计算即可； （2）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． 【小问1详解】 ， 因为，所以，即，则， 所以． 【小问2详解】 由向量与互相垂直得， 所以，即， 即，解得或． 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求这个函数的解析式； （2）求函数在区间上的最大值和最小值，并指出取得最值时的的值． 【答案】（1） （2）时，函数取得最大值0；时，函数取得最小值为. 【解析】 【分析】（1）由图象观察可知，由图可得函数的周期，由周期可求出，由点在函数图象上，结合的范围求出的值，即可求解； （2）由已知可求，利用正弦函数的图象与性质即可求解. 【小问1详解】 由图象知，函数的最大值为2，最小值为， ，又， ，，. 函数的解析式为. 函数的图象经过点， ，， 又，. 故函数的解析式为. 【小问2详解】 ， . 于是，当，即时，函数取得最大值0； 当，即时，函数取得最小值为. 20. 已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小： （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解； （2）由和余弦定理结合三角形的面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， 得， 即，又， 所以，即，又， 所以； 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理得，得， 所以， 当时，，所以为直角三角形，， 又，，所以， 所以； 当时，所以. 由余弦定理得， 又，所以，由，解得， 所以，故. 21. 如图，棱锥的底面是矩形，平面，． （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值的大小． 【答案】（1） 证明：因为平面，BD平面， 所以PA⊥BD，因为，底面是矩形， 所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形， 所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC. （2） 【解析】 【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，进而证明出线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为. 22. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再用周期公式即可求最小正周期； （2）通过图像平移求得解析式，在用整体代换法求得在时的值域. 【小问1详解】 因为， 所以最小正周期为：； 【小问2详解】 由（1）知， 所以函数图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的解析式为 ， 因为，所以， 所以当时，；当时，， 所以的值域为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $