精品解析：宁夏银川市永宁县上游高级中学2023-2024学年高二下学期月考（二）数学试题

上游高级中学2023-2024学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 班级：__________姓名：__________考号：__________ 时间：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上. 1. 设集合，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 2. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 3. 以下说法正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”成等比数列的充分必要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 4. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 6. 函数的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则2，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请把正确答案涂在答题卡上. 9. 已知定义在R上的函数，对于任意的 恒有，且，若存在正数t，使得，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为周期函数 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，，成立，当且时，有，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 在上有5个零点 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 点是函数图象的一个对称中心 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 13. 已知多项式，则__________. 14. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为偶函数. （1）求实数a的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的判断： （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围. 16. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 参考数据 17713 714 27 81.3 （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中 17. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 18. 多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5. （1）写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望； （2）求小李同学当天穿连衣裙的概率. 19. 某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”. （1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？ 使用直播销售情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 不常使用直播销售用户 合计 （2）某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择： 方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，； 方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. 针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由. 参考数据：独立性检验临界值表 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上游高级中学2023-2024学年第二学期期末考试 高二年级数学试卷 班级：__________姓名：__________考号：__________ 时间：120分钟 分值：150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上. 1. 设集合，若，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据子集的定义，结合集合的互异性进行求解即可. 【详解】因为，所以. 当时，，此时，舍去； 当时，，此时，符合题意. 故选：D 2. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析. 【详解】对于A， 为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意； 对于，定义域为 ，所以为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意； 对于C，， 故函数不是奇函数，不符合题意； 对于D， ，是增函数， ，是奇函数，满足题意； 故选：D. 3. 以下说法正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. “”是“”成等比数列的充分必要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分、必要条件、存在量词命题的否定等知识确定正确答案. 【详解】A选项，，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误. B选项，因为由，得，即， 所以命题“，”的否定是“，”，B选项错误. C选项，当时，有，但此时“”不是等比数列；当“”成等比数列时，有，即， 所以“”是“”成等比数列的必要不充分条件，C选项错误. D选项，当时，有；当时，有； 所以“”是“”的必要不充分条件，所以D选项正确. 故选：D. 4. 已知函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将换成，得到即，联立方程组求得 的解析式，进而求得的值. 【详解】由，将换成，可得， 即， 联立方程组，解得， 所以. 故选：B. 5. 2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游，除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ） A. 1800 B. 1080 C. 720 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】分恰有个部门所选的旅游地相同、四个部门所选的旅游地全不相同两类，再应用分步计数及排列、组合数求至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数. 【详解】①恰有个部门所选的旅游地相同， 第一步，先将选相同的个部门取出，有种； 第二步，从个旅游地中选出个排序，有种， 根据分步计数原理可得，方法有种； ②四个部门所选的旅游地都不相同的方法有种， 根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种． 故选：B 6. 函数的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果. 【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D， 当时，令可得或， 所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A， 故选：C. 7. 已知，则2，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项. 【详解】，， ∴； 又 ∴ ，∴. 故选：D. 8. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，再数形结合得解. 【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点， 由可知，当时，函数是周期为1的函数， 如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象， 数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点， 故函数有两个不同的零点. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请把正确答案涂在答题卡上. 9. 已知定义在R上的函数，对于任意的 恒有，且，若存在正数t，使得，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为周期函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件运用赋值法逐项分析. 【详解】对于A，对于任意的 恒有， 令可得：，又， ，A错误； 对于B，对于任意的恒有， 令，则有，即，则有，B正确； 对于C，对于任意的恒有， 令，则有，变形可得，则为偶函数，C正确； 对于D，对于任意的恒有， 令可得：，， ，即是周期为的周期函数，D正确； 故选：BCD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从两点分布，，则 B. 若随机变量的方差，则 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服正态分布，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据方差公式即可判断A；根据方差的性质即可判断B；根据二项分布的概率公式即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D. 【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，， 则，故A错误； 对于B，若随机变量的方差，则，故B错误； 对于C，若随机变量服从二项分布， 则，故C正确； 对于D，若随机变量服正态分布，， 则，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数是定义在R上的奇函数，，成立，当且时，有，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 在上有5个零点 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 点是函数图象的一个对称中心 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，结合函数奇偶性得到，从而求出；B选项，求出函数的周期，结合函数单调性，画出函数图象，数形结合判断BCD. 【详解】A选项，令中得，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以， 所以，所以，故A正确； B选项，由，得，所以是周期为2的周期函数， 所以， 又且时，有， 所以函数在区间上单调递减，可作函数的示意图如下： 由图知B，D也正确，C不正确． 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合指数函数的单调性可得函数的单调性，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由及在定义域内都为增函数，且， 故在上递增，又，所以，则. 故答案为：. 13. 已知多项式，则__________. 【答案】32 【解析】 【分析】借助换元法设，可得，借助赋值法令即可得，分别计算出与的展开式中一次项与常数项后，计算即可得，即可得解. 【详解】设，则， 令，则， 的展开式中一次项为，常数项为， 的展开式中一次项为，常数项为， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集的性质，结合基本不等式、对勾函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有， 又因为，所以， 因此， 当且仅当时取等号，因为，所以当时，取等号， 因此， 因为函数在上单调递增， 所以当时，函数， 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一是利用一元二次不等式的解集的性质和基本不等式求出相应参数的值和取值范围，之二是利用对勾函数的性质. 四､解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数为偶函数. （1）求实数a的值； （2）判断的单调性，并用定义法证明你的判断： （3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递增，在上单调递减，证明如下： ， 在上单调递增，在上单调递减， 证明：设， ， 故在上单调递增， 同理可证在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质求解； （2）由单调性的定义证明； （3）理解题意，转化为最值问题求解. 【小问1详解】 为偶函数，定义域为， 故对定义域内恒成立， ，即对定义域内恒成立， 故； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由题意得， 而， ①时，， ，解得， ②时，， ，故时恒满足题意， 综上，的取值范围是． 16. 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数（个）和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值. 参考数据 17713 714 27 81.3 （1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数（个）关于平均温度（）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）由（1）的判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到0.1） 附：回归方程中 【答案】（1）更适宜 （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数型函数图象的特征、一次函数图象的特征进行判断即可； （2）运用对数的运算性质，结合题中所给的公式进行求解即可. 【小问1详解】 由散点图可以判断，随温度升高，产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长， 所以更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型. 【小问2详解】 将两边同时取自然对数，可得， 由题中的数据可得，， 所以，则， 所以关于的线性回归方程为，故关于的回归方程为； 17. 不动点定理是拓扑学里一个非常重要的定理，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点．现新定义：若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由； （2）已知函数，若a是的次不动点，求实数a的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b的取值范围． 【答案】（1）是“不动点”函数，不动点是和2； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义列出方程，求解方程即可； （2）根据新定义列出方程，求解方程即可得； （3）设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答． 【小问1详解】 设是的不动点，则，所以，解得或， 所以是“不动点”函数，不动点是和2； 【小问2详解】 因为a是的次不动点，所以，显然，解得； 【小问3详解】 设分别是在上的不动点和次不动点，且唯一， 由得，即，， 令，显然在上单调递增，所以，， 所以， 由得：，即，， 时， 综上，， 所以的范围是． 【点睛】思路点睛：本题涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，然后进行转化、抽象为相应的数学问题进行求解． 18. 多巴胺是一种神经传导物质，能够传递兴奋及开心的信息.近期很火的多巴胺穿搭是指通过服装搭配来营造愉悦感的着装风格，通过色彩艳丽的时装调动正面的情绪，是一种“积极化的联想”.小李同学紧跟潮流，她选择搭配的颜色规则如下：从红色和蓝色两种颜色中选择，用“抽小球”的方式决定衣物颜色，现有一个箱子，里面装有质地、大小一样的4个红球和2个白球，从中任取4个小球，若取出的红球比白球多，则当天穿红色，否则穿蓝色.每种颜色的衣物包括连衣裙和套装，若小李同学选择了红色，再选连衣裙的可能性为0.6，而选择了蓝色后，再选连衣裙的可能性为0.5. （1）写出小李同学抽到红球个数的分布列及期望； （2）求小李同学当天穿连衣裙的概率. 【答案】（1） X 4 3 2 P . （2）. 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布求出的概率，列出分布列，求出数学期望即可； （2）设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装.求出，结合条件概率和计算即可求解. 【小问1详解】 设抽到红球的个数为X，则X的取值可能为4，3，2， ，，， 所以X的分布列为： X 4 3 2 P 故. 【小问2详解】 设A表示穿红色衣物，则表示穿蓝色衣物，B表示穿连衣裙，则表示穿套装. 因为穿红色衣物的概率为， 则穿蓝色衣物的概率为， 穿红色连衣裙的概率为，穿蓝色连衣裙的概率为， 则当天穿连衣裙的概率为. 所以小李同学当天穿连衣裙的概率为. 19. 某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量.有统计数据显示2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”. （1）现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？ 使用直播销售情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 不常使用直播销售用户 合计 （2）某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择： 方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，； 方案二：线上直播销售，根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，. 针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由. 参考数据：独立性检验临界值表 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 其中，． 【答案】（1）列联表如下， 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 90 30 120 不常使用直播销售用户 70 10 80 合计 160 40 200 能 （2）从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由如下： 方案一：设获利万元，则的所有可能取值为， ， ， 方案二：设获利万元，则的所有可能取值为， ， ， 所以， 从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳定， 所以，从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一． 【解析】 【分析】（1）由题意填写列联表，计算，对照附表得出结论． （2）计算方案一、方案二的期望与方差，比较即可得出结论． 【小问1详解】 由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有人， 其中年轻人有人，非年轻人人， 由图1知，样本中的年轻人有人， 不常使用直播销售的用户有人，其中年轻人有人，非年轻人人， 补充完整的列联表如下， 年轻人 非年轻人 合计 经常使用直播销售用户 90 30 120 不常使用直播销售用户 70 10 80 合计 160 40 200 计算， 依据小概率值的独立性检验，能认为经常使用网络直播销售与年龄有关． 【小问2详解】 从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一，理由略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $