精品解析：2024年浙江中考数学临考安心试题

2024年中考数学临考安心卷（浙江专用） 一．选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在实数0、、、中，最小数是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出的值的范围，然后进行比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在实数0、、、中，， ∴最小的数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． 2. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意可知一共12个棋子，黑色棋子3个，用概率公式求解即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，共12个棋子， ∴任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是． 故选：D． 3. 如图几何体是由6个大小相同的小正方体组成.下列与该几何体的主视图和左视图分别相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三视图，准确判断所给几何体的三视图，逐个选项进行判断即可． 【详解】解：A．的主视图和左视图分别与相同，故选项正确，符合题意； B．的主视图与相同，但左视图不同，故选项错误，不符合题意； C．的主视图与相同，但左视图不同，故选项错误，不符合题意； D．的左视图与相同，但主视图不同，故选项错误，不符合题意； 故选：A． 4. 在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，根据上述性质得到，即可解答，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，三角板与直尺分别交于点、． ， ． ， ． 故选：D． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握一元二次方程根的情况与判别式之间的关系是解题的关键．根据一元二次方程有两个相等实根，则根的判别式为0，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 或． 故选：C． 6. 如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，不规则图形的面积，解直角三角形，过点D作直径，过点F作于H，连接，，推出，，由圆周角定理证得，即可求得，则，进而求得，解直角三角形求得，根据扇形面积减去三角形面积计算即可． 【详解】解：如图，过点D作直径，过点F作于H，连接，， 由旋转知：，， ，， 是的直径， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 故选：D． 7. 已知直线y＝3x与y＝－x+b的交点坐标为（a，6），则关于x，y的方程组 的解是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由与坐标得交点坐标为（2，6），根据两条直线的交点坐标与二元一次方程组的解的关系，即可得出结论． 【详解】解：∵直线y＝3x经过（a，6）， ∴a＝2． ∴交点坐标为（2，6）． ∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解， ∴方程组的解为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，解题的关键是理解二元一次方程组的解就是相应的一次函数图象的交点坐标． 8. 敏利用无人机测量某座山的垂直高度，如图所示，无人机在地面上方米的处测得山顶的仰角为，测得山脚的俯角为．已知的坡度为， 点，，，在同一平面内，则此山的垂直高度约为（ ） （参考数据：） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DC⊥BC于点E，作DF⊥AB于点F，利用四边形DEBF是矩形，可得BF=130米，这样只需求出AF即可；再利用AC的坡比，结合锐角三角函数，将已知和未知通过DF=EB建立等量关系，进而求出AF． 【详解】解：如图，过点D作DC⊥BC于点E，作DF⊥AB于点F． ∵DF⊥AB，DE⊥BE，AB⊥BC， ∴四边形DEBF是矩形． ∴FB=DE=130（米） ∵DF∥BC， ∴∠DCE=∠CDF=63.5°． 在RtDCE中， ∵tan∠DCE=， ∴CE==65（米）． 设AF=x米，则AB=（x+130）米． ∵， ∴BC==（x+130）． ∴BE=BC+CE=（x+130）+65=x+162.5． 在RtADF中， ∵tan∠ADF=， ∴DF=． ∵DF=EB， ∴=x+162.5． 解得，． ∴AB=AF+BF≈92.9+130=222.9(米)． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、锐角三角函数的理解和应用能力．利用AC的坡比，通过DF=EB建立等量关系列方程是解决本题的关键． 9. 如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图的基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学的知识解决问题． 根据线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可． 【详解】解：由做图可知垂直平分线段， 得，， ， ， ， ， 是的中位线，， 故选项B正确，不符合题意； ， 故选项A正确，不符合题意； ，， ，， ， ， 故选项D正确，不符合题意； 只有当时，， 故选项C错误，符合题意． 故选：C． 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，连接，．以下结论：①抛物线经过点；②；③；④当时，．其中正确的是（　　）（填序号） A. ①④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，根据题目找出抛物线的解析式是解题的关键，再利用其性质求解． 根据抛物线与y轴交于点，可以求得m的值，从而可以判断②是否正确；然后将代入求得的函数解析式，即可判断①是否正确；然后令，求出x的值，即可得到点A的坐标，再根据抛物线解析式可以得到点M的坐标，从而可以求得的面积，从而可以判断③是否正确；再根据二次函数的性质，即可判断④是否正确． 【详解】解：∵抛物线与y轴交于点， ∴，得，故②错误； ∴抛物线， 当时，， 即抛物线过点，故①正确； 当时，， 解得，， ∴点A的坐标为， ∴， ∵抛物线，顶点为M， ∴点M的坐标为， ∴，故③错误； ∵抛物线与x轴的交点为， ∴当时，， ∴当时，，故④正确； 综上：正确的有①④， 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11. 计算：___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式的知识，掌握多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键． 12. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应多做_________件. 【答案】24 【解析】 【详解】解：设每天应多做x件，则依题意得： ，解得：x=24． 经检验x=24是方程的根． 故答案为24． 点睛：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 13. 已知，那么的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意易得，进而可得，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； 故答案1． 【点睛】本题主要考查幂的乘方及积的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方及积的乘方是解题的关键． 14. 已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 【答案】或30 【解析】 【分析】利用已知条件先求出B、C在数轴表示的数，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，找到对应的边长关系，列出关于的方程，进行求解即可． 【详解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0， ∴b﹣9＝0，c﹣15＝0， ∴b＝9，c＝15， ∴B表示的数是9，C表示的数是15， ①当0≤t≤6时，P在线段OA上，Q在线段BC上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当6＜t≤9时，P、Q都在线段OB上，P表示的数为t﹣6，Q表示的数是9﹣3（t﹣6）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝， ③当9＜t≤15时，P在线段OB上，Q在线段OA上，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当t＞15时，P在射线BC上，Q在射线OA上，P表示的数为9+2（t﹣15），Q表示的数是﹣（t﹣9）， ∴P、Q两点到点B的距离相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30， 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为秒或30秒， 故答案为：或30． 【点睛】本题主要是考查了数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以点A为圆心作圆弧，与BC相切于点D，且分别交边AB，AC于点EF，则扇形AEF的面积为 _____．（结果保留π） 【答案】## 【解析】 【分析】先判断出△ABC是等腰直角三角形，从而连接AD，可得出AD=1，直接代入扇形的面积公式进行运算即可． 【详解】解：∵AB=AC=，BC=2， ∴AB2+AC2=BC2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=90°， 连接AD，则AD=BC=1， 则S扇形AEF=． 故答案：． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理的逆定理及等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，难度一般，解答本题的关键是得出AD的长度及∠BAC的度数． 16. 在中，，．将绕点顺时针旋转（），直线与直线交于点，点间的距离记为，点间的距离记为．给出下面四个结论：①的值一直变大；②的值先变小再变大；③当时，的值保持不变；④当，的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 ______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了图形旋转，全等三角形的判定和性质，当时，的值由会逐渐变大，可判断①；而当时，可知的值先变小再变大，可判断②；当时，在上取点，使，连接，，证明，有，知，可判断③错误，④正确；掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，的值一直变大，故①正确； 当时，的值逐步变小；当时，；当时，的值逐步变大，故②正确； 当时，连接，如图， 由题意得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的值保持不变，故③错误； 当时，在上取点，使，连接，如图， 由题意得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的值保持不变，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案：①②④． 三．解答题（共8小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式和多项式乘法法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解： 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式和多项式乘法法则是解题的关键． 18. 如图，在中，M，N是对角线的三等分点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段三等分点的定义，熟练掌握并运用相关知识即可解题． （1）连接交于点O，根据平行四边形的性质得出，再根据M，N是对角线的三等分点得到，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）根据三等分点得出，利用勾股定理进而得出，再利用勾股定理得出即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ，， ，N是对角线的三等分点， ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：，，M，N是对角线的三等分点， ，， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ． 19. 德中教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，德中教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是： A组：； B组：； C组：； D组：； E组：． 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图（两处）； （2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为 ； （3）德中教育集团现有名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1），见解析 （2） （3）估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、画条形统计图、用样本估计总体等知识点，从统计图中获取正确的信息是解题的关键． （1）根据统计图中B组的人数与占比，然后计算即可；根据E组人数占比为，求出E组人数，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可； （2）根据C组人数的占比乘以计算求解即可； （3）根据9小时及以上两组人数的占比乘以总人数即可解答． 【小问1详解】 解：本次共调查了学生：（名）， E组人数为：（名）， 故A组人数为：（名）， 补全条形统计图如下： 故答案为：； 【小问2详解】 在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 （人）， 答：估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有人． 20. 在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 （1）该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式； （2）当时，求此电磁波的波长． 【答案】（1）反比例函数关系， （2） 【解析】 【分析】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （1）由表中数据可知，电磁波的波长与频率满足反比例函数关系，设解析式为，用待定系数法求解即可； （2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【小问1详解】 解：由表中数据可知，电磁波的波长与频率的乘积为定值， ∴电磁波的波长与频率满足反比例函数关系， 设波长关于频率f的函数解析式为， 把点代入上式中得：， 解得：， ； 【小问2详解】 当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 21. 如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O． （1）求证：； （2）若，，的面积为9，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据两个角相等的两个三角形相似即可得出答案； （2）先证明，得出，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两个角对应相等的两个三角形相似． 22. 如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． （1）求二次函数的表达式； （2）过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在，点坐标为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得； ②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 把，，代入中得： 解得， 所以解析式为：； 【小问2详解】 ①点的横坐标是， 的纵坐标是 由，求得直线解析式为 的纵坐标是， 所以当时， ②存在，理由如下： 点在直线上， 点的横坐标是 ，当时，最大 点坐标为． 23. 在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒． （1）用t表示线段的长度； （2）连接，求的值； （3）当点F在平行四边形的对角线上时，求t的值； （4）连接．当分线段为的两部分时，直接写出t的值． 【答案】（1）①当点E在线段上时，；②当点E在线段上时， （2） （3），1， （4）或 【解析】 【分析】（1）分两种情况讨论，当点E在线段上时，；当点E在线段上时，； （2）过点C作延长线于点G，根据平行四边形性质推出，，设，，利用勾股定理建立等式求出，进而得到，，在中，即可求出的值； （3）根据题意分类讨论：当时，点F落在上，点F落在上时，过点D作于点H；当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题； （4）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题． 【小问1详解】 解：由题知，①当点E在线段上时，即时，； ②当点E在线段上时，当时，． 【小问2详解】 解：如图1，过点C作延长线于点G， 四边形是平行四边形， ，，，， ， 在，由， ， 设，， 由勾股定理得：， 解得：， ，， 中，． 小问3详解】 解：由旋转知，， 当时，点F落在上，如图2， 由得，， 解得：； 点F落在上时，如图3，过点D作于点H， 同（1）可求，， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 解得：， 当时，点F落在上，过点P，F分别作的垂线，垂足为M，N，如图4， 由，得：，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ，， 在中，， ， 解得． 综上所述：t的值为，1，． 【小问4详解】 解：①当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线）， 由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，， ， ， 设，则，，， ， ， ， 而， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； ②当时，构造如图6辅助线（均是水平线，铅垂线）， 同理可得：， 解得：， ， ． 综上所述：或． 【点睛】本题考查了代数式表示式，平行四边形性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，并正确添加辅助线． 24. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， （1）求证：是的切线； （2）若点P是上的一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据，证明，再根据圆周角定理得出，即可证明，即可证明； （2）①连接，证明，设的半径为，利用相似三角形的性质得，，由勾股定理求得，得到，即可得到； ②过点作交于点，证明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，由即可求解． 本题考查圆的综合应用，主要考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理及推论，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ． ， ， ， ， 为的直径， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：①如图，连接， 是的中点， ， ， 为的直径， ， ， ， ． ， 设的半径为，则， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， ， ， ． ②如图，过点作交于点， ， ，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年中考数学临考安心卷（浙江专用） 一．选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在实数0、、、中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和9个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图几何体是由6个大小相同的小正方体组成.下列与该几何体的主视图和左视图分别相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 在数学活动课上，小丽同学将含角直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 6. 如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 7. 已知直线y＝3x与y＝－x+b的交点坐标为（a，6），则关于x，y的方程组 的解是（ ）． A. B. C. D. 8. 敏利用无人机测量某座山的垂直高度，如图所示，无人机在地面上方米的处测得山顶的仰角为，测得山脚的俯角为．已知的坡度为， 点，，，在同一平面内，则此山的垂直高度约为（ ） （参考数据：） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，中，．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线CP，PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点为M，与y轴交于点，与x轴的一个交点为A，连接，．以下结论：①抛物线经过点；②；③；④当时，．其中正确的是（　　）（填序号） A ①④ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③ 二．填空题（共6小题） 11. 计算：___________ 12. 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，则每天应多做_________件. 13. 已知，那么的值为_______． 14. 已知点O是数轴的原点，点A、B、C在数轴上对应的数分别是﹣12、b、c，且b、c满足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 _____秒时，P、Q两点到点B的距离相等． 15. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以点A为圆心作圆弧，与BC相切于点D，且分别交边AB，AC于点EF，则扇形AEF面积为 _____．（结果保留π） 16. 在中，，．将绕点顺时针旋转（），直线与直线交于点，点间的距离记为，点间的距离记为．给出下面四个结论：①的值一直变大；②的值先变小再变大；③当时，的值保持不变；④当，的值保持不变；上述结论中，所有正确结论的序号是 ______． 三．解答题（共8小题） 17. 计算：． 18. 如图，在中，M，N是对角线的三等分点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 19. 德中教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，德中教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是： A组：； B组：； C组：； D组：； E组：． 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图（两处）； （2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为 ； （3）德中教育集团现有名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？ 20. 在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值： 频率f（） 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 （1）该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式； （2）当时，求此电磁波的波长． 21. 如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O． （1）求证：； （2）若，，的面积为9，求的面积． 22. 如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． （1）求二次函数的表达式； （2）过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 23. 在平行四边形中，，，，点E是上一点．，P从点E出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．连接．设点P的运动时间为t秒． （1）用t表示线段的长度； （2）连接，求的值； （3）当点F在平行四边形对角线上时，求t的值； （4）连接．当分线段为两部分时，直接写出t的值． 24. 如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，于点F，延长至点Q，连接，， （1）求证：是的切线； （2）若点P是上的一点，连接． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$