江苏省天一中学2024年小升初数学讲义及配套练习

专题1.1 有理数相关概念 目录 正数和负数 1 有理数概念及其分类 2 有理数的分类 2 有理数的应用 4 数轴的定义 5 数轴上表示有理数 6 数轴上表示有理数（带字母） 7 数轴的性质 8 数轴上的应用 8 相反数的定义 9 相反数的性质 10 相反数与数轴 10 绝对值的定义 11 含字母的绝对值化简 11 非负性 12 绝对值求值 13 正数和负数 具有相反意义的量的表示 在表示具有相反意义的量时，把其中一个量规定为正的，用__ __来表示，而把与这个量意义相反的量规定为__ __的，用__ __来表示． 在数，0，，，，中，负数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进小麦6吨，记为吨，那么仓库运出小麦8吨应记为　　吨． A． B． C． D． 若收入3元记为，则支出2元记为　　 A． B． C．1 D．2 冬残奥会举办最理想的温度是至，若表示零上，那么表示　　 A．零上 B．零上 C．零下 D．零下 有理数概念及其分类 有理数的概念：__ __和__ __统称为有理数． 下列各数中属于负整数的是　　 A．0 B．3 C． D． 在，，，中，有理数有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 在，，，0，，5，中，负分数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 下列说法中，正确的是　　 A．正有理数和负有理数统称有理数 B．正分数、零、负分数统称分数 C．零不是自然数，但它是有理数 D．一个有理数不是整数就是分数 有理数的分类 有理数的分类： ①按定义， 有理数可分为： ②按正、负，有理数可分为： 将下列各数填在相应的圆圈里： ，，75，，0，，，，，． 把下列各数分别填在相应的集合内： ，4.8，73，，，3.1415926，，， 正分数集合：　　； 负分数集合：　　； 非负整数集合：　　； 非正整数集合：　　． 把下列各数分别填入相应的集合里． 0，，5，3.14，，，． （1）整数集合：　　； （2）分数集合：　　； （3）有理数集合：　　； （4）非负数集合：　　． 把下列各数分别填入相应的集合： ，0，，，，，，0.6，． 整数集合　　； 分数集合　　； 正有理数集合　　； 负有理数集合　　； 非负有理数集合　　； 自然数集合　　． 有理数的应用 某工艺厂计划一周生产工艺品2800个，平均每天生产400个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） （1）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； （2）已知该厂实行每周计件工资制，每生产一个工艺品可得70元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖60元，少生产一个扣100元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 水果超市最近新进了一批百香果，每斤进价10元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以15元为标准，超出15元的部分记为正，不足15元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元 0 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 （1）第一周星期三超市售出的百香果单价为　　元，这天的利润是　　元． （2）第一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数） （3）超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤20元，超出5斤的部分，每斤降价4元； 方式二：每斤售价17元． 林老师决定下周在水果超市购买40斤百香果，通过计算说明应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱． 体育课上，某小组的8名男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是这个小组8名男生的成绩记录 “ “表示成绩大于15秒）． 0 （1）这个小组男生的最好成绩是多少？ （2）这个小组男生的达标率为多少？ （3）这个小组男生的平均成绩是多少秒？ 某粮仓原有大米148吨，某一周该粮仓大米的进出情况如下表：（当天运进大米8吨，记作吨：当天运出大米8吨，记作吨． 某粮仓大米一周进出情况表（单位：吨） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 （1）若经过这一周，该粮仓存有大米98吨，求的值，并说明星期五该粮仓是运进还是运出大米，运进或运出大米多少吨？ （2）若大米进出库的装卸费用为每吨15元，求这一周该粮仓需要支付的装卸总费用． 数轴的定义 1．定义：规定了__ __、__ __、__ __的直线． 2．三要素：(1)原点：在直线上任取一个点表示数__ __，这个点叫做原点． (2)正方向：通常规定直线上向右的方向为_ _，向左的方向为_ _． (3)单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…从原点向左，用类似方法依次表示－1，－2，－3，… 如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是　　 A． B． C． D． 在下列图中，正确画出的数轴是　　 A． B． C． D． 如图所示，下列数轴的画法正确的是　　 A． B． C． D． 下列各图是四位同学所画的数轴，其中正确的是　　 A． B． C． D． 数轴上表示有理数 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示． 如图，数轴上一个点被叶子盖住了，这个点表示的数可能是　　 A．2.3 B． C．3.7 D．1.3 如图，在数轴上有、两点，则两点表示的数字之和不可能　　 A．2 B． C． D． 数在数轴上的位置可以是　　 A．点与点之间 B．点与点之间 C．点与点之间 D．点与点之间 如图，点是数轴上一点，则点表示的数可能为　　 A． B． C．2.5 D．1.5 数轴上表示有理数（带字母） (1)正数__ __0 , 负数__ __0 , 正数大于__ __． (2)数轴上两个点表示的数， 右边的总比左边的__ __． 如图，数轴上，两点所对应的有理数分别为和，则的结果可能是　　 A． B．1 C．2 D．3 如图，点，，，四个点在数轴上表示的数分别为，，，，则下列结论中，错误的是　　 A． B． C． D． 有理数、、在数轴上所对应的点如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 如图，若数轴上，两点对应的有理数分别为，，则的值可能是　　 A．2 B．1 C． D． 数轴的性质 (1)正数__ __0 , 负数__ __0 , 正数大于__ __． (2)数轴上两个点表示的数， 右边的总比左边的__ __． 一只蚂蚁沿数轴从原点向右移动了3个单位长度到达点，则点表示的数是　　 A．3 B． C．0 D． 下列各数在数轴上所对应的点与原点的距离最远的是　　 A．2 B．1 C． D． 数轴上表示数为和的点到原点的距离相等，则的值为　　 A． B．2 C．4 D．不存在 如图，，，，，为某未标出原点的数轴上的五个点，且，则点所表示的数是　　 A．2 B．7 C．11 D．12 数轴上的应用 如图，点为数轴的原点，点，均在数轴上，点在点的右侧，点表示的数是，． （1）求点表示的数； （2）将点在数轴上平移3个单位，得到点，点是的中点，求点表示的数． 在今年720特大洪水自然灾害中，一辆物资配送车从仓库出发，向东走了4千米到达学校，又继续走了1千米到达学校．然后向西走了9千米到达学校，最后回到仓库．解决下列问题： （1）以仓库为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1千米，画出数轴．并在数轴上表示、、的位置； （2）结合数轴计算：学校在学校的什么方向，距学校多远？ （3）若该配送车每千米耗油0.1升，在这次运送物资回仓的过程中共耗油多少升？ 出租车司机小刘某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向北为正，向南为负，他这天上午的行程是（单位：千米），，，，，，，，，． （1）将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？ （2）若汽车耗油量为0.6升千米，出车时，邮箱有油67.4升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 如图，已知数轴上点是原点，点表示的有理数是，点在数轴上，且满足． （1）求出点表示的有理数； （2）若点是线段的中点，请直接写出点表示的有理数． 相反数的定义 (1)定义：如果两个数只有__ __不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数__ __． (2)特例：0的相反数是__ __． 2022的相反数是　　 A． B．2022 C． D． 的相反数是　　 A． B． C． D． 相反数等于它本身的数是　　 A．1 B．0 C． D．0或 故选：． 一个数的相反数是最大的负整数，则这个数为　　 A． B．0 C．1 D．不存在这样的数 相反数的性质 互为相反数的两个数之和为0 若与互为相反数，则 ． 若，为相反数，则为 ． 若、互为相反数，则的值为 ． 若、互为相反数，则的值为 ． 相反数与数轴 数轴上点表示，、两点所表示的数互为相反数，且点到点的距离为3，则点所表示的数应是 ． 如图，数轴上表示数2的相反数的点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 已知数轴上、两点间的距离是6，它们分别表示的两个数、互为相反数，那么 ， ． 一个数在数轴上表示的点距原点3个单位长度，且在原点的左边，则这个数的相反数是 ． 绝对值的定义 在数轴上，一个数所对应的点与__ __的距离 的绝对值是　　 A． B．3 C． D． 有理数，，0，中，绝对值最大的数是　　 A． B． C．0 D． 在，0.3，0，这四个数中，绝对值最小的数是　　 A． B．0.3 C．0 D． 故选：． 下列说法中正确的是　　 A．两个负数中，绝对值大的数就大 B．两个数中，绝对值较小的数就小 C．0没有绝对值 D．绝对值相等的两个数不一定相等 含字母的绝对值化简 如果a>0，那么＝__ __； 如果a<0，那么＝__ __； 如果a＝0，那么＝__ __； 有理数，在数轴上对应点如图所示： （1）在数轴上表示，； （2）试把，，0，，这五个数从小到大用“”号连接， （3）化简：． 有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0 （2）化简：． 有理数、、在数轴上的位置如图， （1）判断正负，用“”或“”填空： 0， 0， 0 （2）化简：． 已知、、三个数在数轴上对应点如图，其中为原点，化简． 非负性 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 若，那么的值是多少？ 已知，求： （1）的值； （2）的值． 如果与互为相反数，求的值． 已知，求的值． 绝对值求值 已知，，且，求的值． 已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 1．如果向东走5米记作：“”，那么向西走8米记作　　 A． B． C． D． 2．如果水库的水位高于正常水位时，记作，那么低于正常水位时，应记作　　 A． B． C． D． 3．下面两个数互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 4．在0.2，，，，0，，，这八个数中，非负数有　　 A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 5．在一次数学活动课上，某数学老师在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到，根据以上信息，下列判断正确的是　　 A．四个正整数中最小的是1 B．四个正整数中最大的是8 C．四个正整数中有两个是2 D．四个正整数中一定有3 6．点，，和原点在数轴上的位置如图所示，点，，表示的有理数为，，（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数的点为　　 A．点 B．点 C．点 D．点 7．一辆货车从超市出发，向东走了到达小彬家，继续向东走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市．小明家距小彬家　　． A．4.5 B．6.5 C．8 D．13.5 8．下列各组数中，互为相反数的是　　 A．和 B．和 C．和4 D．和 9．在现代生活中，手机微信支付已经成为一种新型的支付方式．如果微信零钱收入100元记为元，那么微信零钱支出36元记为 ． 10．温度升高记为，气温下降记为 11．把化成小数是 ． 12．定义：对于任意两个有理数，，可以组成一个有理数对，我们规定．例如． 根据上述规定解决下列问题： （1）有理数对 ； （2）当满足等式的是正整数时，则的正整数值为 ． 13．测量一幢楼的高度，七次测得的数据分别是：，，，，，，． （1）以80为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，写出七次测得数据对应的数； （2）求这七次测量的平均值； （3）写出最接近平均值的测量数据，并说明理由． 14．暴雨天气，交通事故频发，一辆警车从位于一条南北走向的主干道上的某交警大队出发，一整天都在这条主干道上执勤和处理事故，如果规定向北行驶为正，这辆警车这天处理交通事故行车的里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，；请问： （1）第几个交通事故刚好发生在某交警大队门口？ （2）当交警车辆处理完最后一个事故时，该车辆在哪个位置？ （3）如果警车的耗油量为每百千米12升，那么这一天该警车从出发值勤到回到交警大队共耗油多少升？ 15．已知下列各数：，，4，0，，5，，．把上述各数填在相应的集合里： 正有理数集合： ； 负有理数集合： ； 分数集合： ． 1 专题1.1 有理数混合运算 1．计算： （1）； （2）． 2．计算： （1）； （2）． 3．计算： （1）； （2）． 4．计算： （1）； （2）． 5．计算： （1）． （2）． 6．计算： （1）； （2）． 7．计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 8．计算： （1）； （2）． 9．计算： （1）； （2）． 10．计算： （1）； （2）． 11．计算：． 12．用你喜欢的方法计算下面各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 13．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 14．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 15．计算 （1） （2） 16．计算： （1）； （2）． 17．直接写出计算结果： （1）　　； （2）　　； （3）　　； （4）　　． 18．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； ． 19．计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 20．计算： （1）； （2）． 21．计算： （1）； （2）． 22．计算： （1）； （2）． 23．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 24．计算 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 25．计算 （1） （2） 26．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 27．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 28．计算： （1）． （2）． 29．计算： （1）； （2）． 30．计算： （1）； （2）． 31．计算： （1）； （2）； （3）． 32．计算： （1）； （2）． 33．计算： （1）； （2）； （3）． 34．计算： （1）； （2）． 35．计算： （1）； （2）． 36．计算下列各题： （1）； （2）． 37．计算：． 38．计算下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）． 39．计算下列各题． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 40．计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 41．有理数的计算： （1）； （2）． 42．计算： （1）； （2）． 43．计算题： （1）； （2）． 44．计算： （1）； （2）． 45．计算： （1）； （2）． 46．计算： （1）； （2）． 47．计算： （1）； （2）． 48．计算： （1）； （2）． 49．计算： （1）； （2）． 50．计算： （1）； （2）． 51．计算： （1）； （2）． 52．计算： （1）； （2）． 53．计算： （1）； （2）． 54．计算： （1）； （2）． 55．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 56．计算 （1）． （2）． 57．计算： （1）； （2）． 58．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 59．计算： ①； ②； ③； ④． 60．计算： （1）； （2）． 专题1.2 有理数的运算 目录 有理数的加法运算 1 有理数的加法应用 2 有理数加法综合运用 3 有理数的减法运算 4 有理数的混合运算 5 有理数混合运算应用 6 有理数混合运算应用 6 有理数的乘法 8 倒数 8 有理数相乘的正负问题 9 有理数的乘法运算律 9 有理数乘法综合运用 10 有理数的除法法则 10 有理数除法与绝对值 11 乘方的概念 11 乘方与非负性 12 用科学记数法 13 有理数综合运算 13 乘方综合运用 14 有理数的加法运算 （1）有理数加法法则： 同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． （2）相关运算律 交换律: ； 结合律 . 计算，结果正确的是　　 A．2 B． C．8 D． 的计算结果是　　 A．8 B． C．4 D． 温度由上升是　　 A． B． C． D． 计算：　　 A．4 B． C．10 D． 计算：． 计算：． ． 计算： （1） （2） 有理数的加法应用 如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为2.7元斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与前一天的价格涨跌情况（元 注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌． （1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元斤？ （2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？ 某集团公司对所属甲、乙两分厂上半年经营情况记录如下：（其中“”表示盈利，“”表示亏损，单位：亿元） 月份 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 甲厂 0 乙厂 0 （1）计算二月份乙厂比甲厂多亏损多少亿元？ （2）分别计算甲、乙两个工厂上半年平均每月盈利或亏损多少亿元？ 下表列出了国外几个城市与首都北京的时差（带正号的表示同一时刻比北京时间早的时数），如北京时间的上午时，东京时间的10点已过去了1小时，现在已是． （1）如果现在是北京时间，那么现在的纽约时间是多少？ （2）此时（北京时间小明想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？为什么？ （3）如果现在是芝加哥时间上午，那么现在北京时间是多少？ 城市 时差时 纽约 巴黎 东京 芝加哥 列式写答案： 某自行车厂计划平均每天生产自行车200辆，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划量有出入．下表是该厂某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 （1）根据记录的数据可知该厂星期三生产自行车多少辆？ （2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆？ （3）根据记录的数据可知该厂本周实际共生产自行车多少辆？ 有理数加法综合运用 如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和都相等，那么的最小值是　　 A． B． C． D． 小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆“游戏，现在将、12、、14、15、、、13分别填入图中的圆圆内，使横、竖以及内外两围上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中的值为　　 A．12或 B．或13 C．12或 D．或11 如图，四个有理数，，，在数轴上对应的点分别为，，，，若，则，，，四个数中负数有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 在一次数学活动课上，老师将共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁、戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己的两张卡片上的数字之和写在黑板上，结果分别是：甲12、乙4、丙15、丁6、戊根据以上信息，判断错误的是　　 A．丙同学的两张卡片上的数字是7和8 B．戊同学的两张卡片上的数字是8和10 C．丁同学的两张卡片上的数字是2和4 D．甲同学的两张卡片上的数字是5和7 有理数的减法运算 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：  的值是　　 A．1 B． C．2021 D． 计算　　 A．0 B． C．5 D． 计算的结果等于　　 A． B．2 C． D．6 计算：　　 A． B． C．13 D．3 计算：． 计算：． 计算：． 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 有理数的混合运算 计算的结果等于　　 A． B．11 C．5 D．2 能与相加得0的是　　 A． B． C． D． 故选：． 算式之值为何？　　 A． B． C． D． 下列运算错误的是　　 A． B． C． D． 计算： （1）； （2）． 计算：（能简算的要简算） （1）； （2）． 计算： （1）． （2）． 计算： （1） （2） 有理数混合运算应用 在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负），如图1表示的是的计算过程，则图2表示的过程是在计算　　 A． B． C． D． 实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是　　米． 90米 80米 米 50米 米 40米 A．210 B．130 C．390 D． 一个热气球在200米的空中停留，然后它依次上升了15米，米，米，这个热气球此时停留在 米． 庄河十二月份某天上午10时气温为，过4小时后气温上升了，又过了3小时气温又下降，则此时的气温是 ． 有理数混合运算应用 一辆公共汽车从起点站开出后，途中经过6个停靠站，最后到达终点站．下表记录了这辆公共汽车全程载客变化情况，其中正数表示上车人数． 停靠 站 起点站 中间 第1站 中间 第2站 中间 第3站 中间 第4站 中间 第5站 中间 第6站 终点 站 上下车 人数 0 0 （1）中间第4站上车人数是 人，下车人数是 人； （2）中间的6个站中，第 站没有人上车，第 站没有人下车； （3）中间第2站开车时车上人数是 人，第5站停车时车上人数是 人； （4）从表中你还能知道什么信息？ 如表为本周内某农产品每天的批发价格比前一天的涨跌情况（上周末该农产品的批发价格为2.7元斤）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与前一天的价格涨跌情况（元 注：正号表示价格比前一天上涨，负号表示价格比前一天下跌． （1）本周哪天该农产品的批发价格最高，批发价格是多少元斤？本周哪天该农产品的批发价格最低，批发价格是多少元斤？ （2）与上周末相比，本周末该农产品的批发价格是上升了还是下降了？变化了多少？ 随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭，小亮家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 0 （1）请求出这7天中平均每天行驶多少千米？ （2）若每行驶需用汽油4升，汽油价6.8元升，计算小亮家这7天的汽油费用大约是多少元？ 小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股30元买进某公司股票若干股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单位：元）． 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元 （1）星期五收盘时，该股票每股多少元？ （2）这周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？ 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0．    （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 计算的结果是　　 A． B．3 C． D．12 计算的结果是　　 A．6 B． C．5 D． 计算的结果等于　　 A．4 B． C． D．21 计算的结果是　　 A．8 B． C．2 D． 倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，，就说的倒数是 的倒数是　　 A． B． C． D． 2022的倒数是　　 A． B．2022 C． D． 下列互为倒数的是　　 A．3和 B．和2 C．3和 D．和 的倒数是　　 A． B． C． D．6 有理数相乘的正负问题 已知两个有理数，，如果且，那么　　 A．， B．， C．、同号 D．、异号，且正数的绝对值较大 ，，则有　　 A．， B．， C．， D．， 有这样三个数，它们的积是负数，它们的和是正数，则这三个数中负数的个数为　　 A．1个 B．3个 C．1个或3个 D．2个 若，，那么这两个数　　 A．都是正数 B．都是负数 C．一正一负 D．符号不能确定 有理数的乘法运算律 用简便方法计算： （1） （2） 计算： （1） ； （2）． 用简便方法计算 （1） （2） 用简便方法计算： （1）； （2）． 有理数乘法综合运用 若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2 （1）直接写出，，的值； （2）求的值． 设和互为相反数，和互为倒数，的倒数等于它本身，试化简：． 已知和互为相反数，和互为倒数，是绝对值等于2的数，求式子． 若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，则关于的方程的解是多少？ 有理数的除法法则 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即 计算的结果是　　 A． B．2 C．18 D． 计算的结果等于　　 A． B．3 C． D． 计算：　　 A．2 B． C．18 D． 计算的结果等于　　 A． B． C．7 D． 计算：． 计算：． 计算：． 有理数除法与绝对值 已知、为有理数，且，则的值是　　 A．3 B． C． D．3或 的值是　　 A． B． C．或 D．3或1 的值为　　 A． B． C．或 D．以上都不对 已知，都是非零数，则的值为　　 A．或3 B．1 C． D．或 乘方的概念 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 计算的结果是　　 A．1 B． C．2 D．4 等于　　 A． B．2 C． D．4 下列计算结果最小的是　　 A． B． C． D． 计算：　　 A． B． C．1 D．2 　　 A． B． C． D． 表示的意义是　　 A． B． C． D． 计算个　　 A．81 B． C． D． 计算　　 A． B． C． D． 乘方与非负性 若与互为相反数，则的值是　　 A． B．1 C．2021 D． 若与互为相反数，则的结果为　　 A．16 B． C．8 D． 若，则的值为　　 A．1 B． C．0 D．2 若，则的值是　　 A． B．0 C．1 D．2022 用科学记数法 科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法． 2022年5月，神舟十三号搭载的1.2万粒作物种子顺利出舱．其中1.2万用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 2020年，新冠肺炎疫情席卷全球，截至2020年12月30日，累计确诊人数超过78400000人，抗击疫情成为全人类共同的战役，寒假要继续做好疫情防控．将“78400000”用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 根据世界卫生组织的统计，截止10月28日，全球新冠确诊病例累计超过4430万，用科学记数法表示这一数据是　　 A． B． C． D． 2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器成功“刹车”被火星“捕获”．在制动捕获过程中，探测器距离地球的距离为192000000公里．数字192000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 有理数综合运算 计算：． 计算． 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 计算： 计算： 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 计算题 （1） （2） （3） （4） 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 乘方综合运用 已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，求的值． 已知、互为相反数且，、互为倒数，的绝对值是最小的正整数，求的值． 若，互为相反数，，互为倒数，，求的值． 若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 1．若、、、是正整数，且，，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 2．　　 A． B． C．1 D．5 3．已知，，且，则的值是　　 A． B． C．或 D．或3 4．计算的结果是　　 A． B．1 C． D．3 5．北方某地区冬季某日最高气温，最低，则最高气温比最低气温高　　 A． B． C． D． 6．某地一天早晨的气温是，中午温度上升了，半夜比中午又下降了，则半夜的气温是　　 A． B． C． D． 7．的倒数是　　 A． B． C． D． 8．的倒数是　　 A． B． C． D． 9．已知，，且，则　　． 10．已知，，是三个互不相等的整数，且，则的最小值等于 　　． 11．已知，，且，则　　． 12．如图，陆上最高处是珠穆朗玛峰的峰顶，最低处位于亚洲西部名为死海的湖，两处高度相差 　　． 13．若两个有理数、满足，则称、互为“吉祥数”．如5和3就是一对“吉祥数”．回答下列问题： （1）求的“吉祥数”； （2）若的“吉祥数”是，求的值； （3）和9能否互为“吉祥数”？若能，请求出；若不能，请说明理由． 14．计算：． 15．数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法． 请仿照上面的方式计算：． 专题1.2 有理数性质综合运用 【例题精讲】 写出符合下列条件的数： （1）最小的正整数： ； （2）绝对值最小的有理数： ； （3）绝对值大于3且小于6的所有负整数： ； （4）在数轴上，与表示的点距离为5的所有数： ； （5）倒数等于本身的数： ； （6）绝对值等于它的相反数的数： ． 已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，求的值． 已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）求的值． 【题组训练】 1．计算：已知，， （1）当时，求的值； （2）求的最大值． 2．已知、互为相反数，、互为倒数，是绝对值等于3的负数，则的值为多少？ 4．已知，、互为相反数，、互为倒数，求的值． 5．已知：有理数，，满足，当时，求的值． 6．已知， （1）求，的取值； （2）当，求的值． 7．已知，． （1）直接写出一组符合上述条件的和值； （2）若，求的值． 8．已知：，，且，求的值． 9．已知是最小的正整数，是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，表示有理数的点到原点的距离为4，求的值． 10．已知与互为相反数，与互为倒数． （1） ， ； （2）若，求和的值． 12．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2． （1）直接写出，，的值； （2）求的值． 13．计算：已知，，且，求的值． 14．已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为1，求． 15．已知，互为倒数，，互为相反数，且，求的值． 16．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值． 17．已知，，，，，它们之间有如下关系：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值为2，则的值是多少？ 18．已知、互为相反数，、互为倒数且，绝对值为2，求的值． 19．已知：与是互为相反数，与互为倒数，是绝对值最小的数，是最大的负整数，则： （1） ， ， ， ． （2）求：． 20．已知和互为相反数，且，和互为倒数，的绝对值等于6，求的值． 21．写出符合下列条件的数： （1）最小的正整数： ； （2）绝对值最小的有理数： ； （3）绝对值大于3且小于6的所有负整数： ； （4）在数轴上，与表示的点距离为5的所有数： ； （5）倒数等于本身的数： ； （6）绝对值等于它的相反数的数： ． 22．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值． 25．已知，，且，求的值． 26．若，，，且，求的值． 27．已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 28．已知，且，求的值． 29．（1）已知：和互为相反数，求的值 （2）已知：是1的相反数，的相反数是，是最大的负整数，求的值． 30．已知：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是2，求的值． 31．已知， 互为相反数，，互为倒数，的绝对值为1，求的值． 32．已知、互为相反数，、互为倒数，，求的值． 34．已知、互为相反数，、互为倒数， 并且的绝对值等于 2 ． 试求：的值 ． 35．已知有理数，，，，，且、互为倒数，、互为相反数，的绝对值为2，求式子的值． 36．已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值为3，求的值． 37．已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值是4，求的值． 38．已知、互为相反数且，、互为倒数，的绝对值是2，求的值． 39．已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值； （3）求的值． 40．已知，，且，求的值． 41．若，，且，求的值． 42．已知，，求的值． 专题1.3 绝对值的综合运用 【例题精讲】 已知，，且，求的值． 阅读下列材料并解决有关问题：我们知道， 所以当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时， ； （2）已知，，是有理数，当时， ； （3）已知，，是有理数，，，则 ． 同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与两点之间的距离是 ， （2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为 ． （3）如果，则 ． （4）同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． （5）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【题组训练】 1．若，那么的值是多少？ 2．已知：，，且，求的值． 3．若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 4．若，且，求的值． 5．已知与互为相反数，求的值． 6．已知与互为相反数，求式子的值． 7．已知与互为相反数，求的值． 8．若． 计算：（1），，的值． （2）求的值． 9．计算：已知，，且，求的值． 10．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）． （提出问题）两个有理数、满足、同号，求的值． 解：①若、都是正数，即，，，，则； ②若、都是负数，即，，有，，则， 所以的值为2或． （探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）两个有理数、满足、异号，求的值； （2）已知，，，且，求的值． 11．同学们都知道表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： （1）求 ． （2）找出所有符合条件的整数，使得成立的整数是 ． （3）由以上探索猜想，对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 12．已知，，且，求的值． 13．已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 14．阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数 （1）当，时，求的值； （2）当时，求的值； （3）当，，的值． 15．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么 ． （2）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为 ； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是 ． （4）当 时，的值最小，最小值是 ． 16．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于． （2）如果，那么 ； （3）若，，且数、在数轴上表示的数分别是点、点，则、两点间的最大距离是 ，最小距离是 ． （4）若数轴上表示数的点位于与2之间，则 ． 17．数学实验室： 点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示和5的两点之间的距离表示为 ． ③若表示一个有理数，则的最小值 ． ④若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的是 ． ⑤若表示一个有理数，当为 ，式子有最小值为 ． 18．已知，，且，求的值． 19．若，且，试求的值． 20．若，，且，求的值． 21．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道， 所以当时，；当时，．现在我们可以用这个结论来解决下面问题： （1）已知，是有理数，当时， ； （2）已知，，是有理数，当时， ； （3）已知，，是有理数，，，则 ． 22．如果、、是非零有理数，且，那么的所有可能的值为 ． 23．同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与两点之间的距离是 ， （2）数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为 ． （3）如果，则 ． （4）同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． （5）由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 24．我们知道，在数轴上，表示数到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点、，分别用，表示，那么、两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： （1）数轴上表示2和5的两点的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示15和的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示和的两点，之间的距离是 ，如果，那么是 ． （3）式子的最小值是 ． 25．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求 ． （2）若，则 （3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． 26．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与，3与5，与，与3．并回答下列各题： （1）你能发现、两点之间的距离表示为与，在数轴上、两点之间的距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： ． （2）若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离可以表示为 ． （3）结合数轴探求的最小值是 ． 27．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： ①；②；③．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出和的零点值； （2）化简代数式； （3）求代数式的最小值． 28．已知非零有理数，，满足，． （1）求的值； （2）若，求的值． 29．（1）当时，求的值．（写出解答过程） （2）若，，且，则的值为 ． （3）若，则的值为 ． 30．已知：有理数，，满足，当时，求的值． 31．（1）三个有理数、、满足，求的值； （2）若、、三个不为0的有理数，且，求的值； 32．阅读下面材料：点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： （1）数轴上表示和1两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为 ； （3）若表示一个有理数，则有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 33．我们知道：点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离，请回答下列问题： （1）数轴上表示和3的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示和2的两点之间的距离为3，则有理数是 ． （3）若表示一个有理数，且，则 ． （4）式子的最小值为 ． 34．已知点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为． （1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ； （3）若数轴上三个有理数、、满足，，则的值为 ； （4）当 时，的值最小，最小值是 ． 35．点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ． （3）若表示一个有理数，且，则 ． （4）若，利用数轴求出的整数值为 ． 36．同学们都知道，表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索： （1）求 ． （2）若，则 ． （3）同理表示数轴上有理数所对应的点到4和所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． （4）求：的最小值，并求出此时的值． 37．在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的有表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离可表示为． 请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；数轴上、两点之间的距离为3，若点表示的数是，则点表示的数是 ． （2）点、、在数轴上分别表示有理数、、3，那么到的距离是 ；到的距离 ．（用含绝对值的式子表示） （3）若，则的值为 ． （4）若，则的取值范围值为 ． 38．如图，点、在数轴上分别表示有理数、，、两点之间的距离表示为，在数轴上、两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示1和5两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）数轴上表示和1的两点之间的距离表示为 ； （3）请写出的几何意义，并求出当时的值； （4）请画出数轴求的最小值，并直接写出此时可取哪些整数？ 39．、两点之间的距离表示为，点、在数轴上分别表示有理数，，在数轴上，两点之间的距离． 请用上面的知识解答下列问题： （1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示2和的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示和的两点和之间的距离是 ；如果，那么为 ． （3）求的最小值． 40．探究与拓展 （1）写出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离（直接写到后面横线上） 与0的距离为 ，4与的距离为 ，与的距离为 ， 由上可知：是数轴上表示数与数两个点之间的距离，像等式是数轴上表示数与数两个点之间的距离为3，所以，的值为1或 （2）若，则 ． （3）若，则整数为 ． 专题1.4 数轴中的简单动点问题 【例题讲解】 已知：是最小的正整数且，满足，点、、在数轴上对应的数分别是、、，试回答问题． （1）请直接写出、、的值． ， ， ． （2）若点不动，点、同时向左运动，点的速度为每秒2个单位，点的速度为每秒1个单位，经过几秒后为线段的中点？ 【题组训练】 1．已知，数轴上三个点、、．点是原点，固 定不动，点和可以移动，点表示的数为，点表示的数为． （1）若移动到如图所示位置，计算的值． （2）在图的情况下，点不动，点向左移动3个单位长，写出点对应的数，并计算． （3）在图的情况下，点不动，点向右移动15.3个单位长，此时比大多少？请列式计算． 2．如图，点从原点出发沿数轴向左运动，同时，点也从原点出发沿数轴向右运动，5秒后，两点相距15个单位长度，已知点的速度是点的速度的2倍（速度单位：单位长度秒）． （1）求出点、点运动的速度；并在数轴上标出、两点从原点出发运动5秒时的位置． （2）若、两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动， ①再过几秒，、两点重合？ ②再过几秒，可以让、、三点中一点是另外两点所成线段的中点？ 3．一个动点从一水平数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动，到达后立即返回，向左运动到达点，若动点的运动速度为2.5个单位长度，求此时点在数轴上所表示的数的相反数． 4．如图，数轴的单位长为1． （1）如果点，表示的数互为相反数，那么图中点、点表示的数分别是 、 （2）当点为原点时，在数轴上是否存在点，使得点到点的距离是点到点的距离的2倍，若存在，请求出此时点所表示的数；若不存在，说明理由． （3）在（2）的条件下，点、点分别以2个单位长度秒和0.5个单位长度同时向右运动，同时点从原点出发以3个单位长度秒的速度向左运动，当点与点之间的距离为3个单位长度时，求点所对应的数是多少？ 5．已知：是最大的负整数，是最小的正整数，且，请回答下列问题： （1）请直接写出，，的值： ； ； ； （2），，在数轴上所对应的点分别为，，，请在如图的数轴上表示出，，三点； （3）在（2）的情况下．点，，开始在数轴上运动，若点，点以每秒1个单位的速度向左运动，同时，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 6．数轴上有两条和线段，线段长为4个单位长度，线段的长度为2个单位长度，点在数轴上表示的数是5，且两点之间的距离为11． （1）点在数轴上表示的数是 ，点在数轴上表示的数是 ． （2）若线段以每秒3个单位的速度向左匀速运动，当点运动到点时，线段与线段开始有重叠部分，此时线段运动了 秒． （3）在（2）的条件下，线段继续向左运动，问再经过 秒后，线段与线段不再有重叠部分． 7．点坐标为，点坐标为40，一只电子蚂蚁甲从点出发向左移动，速度为2个单位长度秒．为数轴上（线段之间）一动点，为的中点． （1）这只电子蚂蚁甲由点走到的中点处，需要几秒钟？ （2）在（1）的条件下，当电子蚂蚁甲从点返回时，另一只蚂蚁乙同时从点出发向左移动，速度为3个单位长度秒，如果两只蚂蚁相遇于点离点5个单位长度，求点对应的数． 8．在学习了为数轴上表示数的点到原点的距离之后，爱思考和探究的爱棣同学想知道数轴上分别表示数和数的两个点，之间的距离该如何表示．小明采取了数学上常用的从特殊到一般的归纳法，请聪明的你和爱棣同学一起完成如下问题： （1）选取特例： ①当，时，，之间的距离； ②当，时，，之间的距离 ； ③当，时，，之间的距离 ； （2）归纳总结： 数轴上分别表示有理数，的两点，之间的距离表示为 ； （3）应用： 数轴上，表示和2的两点和之间的距离是4，试求的值． 9．（1）小明从家出发（记为原点向东走，他在数轴上位置记为点，他又向东走了，记为点，点表示什么数？接着他又向西走到点，点表示什么数？请你在数轴上标出点、的位置，这时如果小明要回家，则小明应如何走？ （2）若数轴上的点和点所表示的数分别是，3，若要使点表示的数是点表示的数的2倍，保持点不动，应将点怎样移动？ 10．如图，点从原点出发向数轴负方向运动，同时点也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，，两点相距15个单位长度．已知点与点的速度之比是（速度单位：长度秒）． （1）求出，两点运动的速度，并在数轴上标出、两点从原点出发运动3秒后的位置； （2）如果，两点从（1）中求得的位置开始同时向数轴的负方向运动，经过几秒表示的点恰好在，两点的正中间？ 11．如图， 已知动点从原点出发， 沿数轴的负方向以每秒 1 个单位长度的速度运动， 动点从原点出发， 沿数轴的正方形以每秒 2 个单位长度的速度运动， 运动的时间为（秒． （1） 当时， 求的长， 若点是线段的中点， 则点表示的数是多少？ （2） 当时， 求的长， 若点是线段的中点， 则点表示的数是多少？ （3） 当时， 求的长， 若点是线段的中点， 则点表示的数是多少？ （用 含的代数式表示） 12．如图，已知、、是数轴是原点）上的三点，点表示的数是6，点与点的距离为12，点与点的距离为4． （1）写出数轴上、两点表示的数； （2）若点移动后与点的距离为20，求点与点的距离． 13．如图，在数轴上有、、这三个点． 回答： （1）、、这三个点表示的数各是多少？ ； ； ． （2）、两点间的距离是 ，、两点间的距离是 ． （3）应怎样移动点的位置，使点到点和点的距离相等？ 14．如图，数轴上点，表示到的距离都为6，为线段上任一点，，两点分别从，同时向点移动，且点运动速度为每秒2个单位长度，点运动速度为每秒3个单位长度，运动时间为秒． （1）点表示数为 ，点表示数为 ， ． （2）若点表示的数是0， ①运动1秒后，求的长度； ②当在上运动时，求线段，之间的数量关系式． 15．已知，两地相距30米，小猪佩奇从地出发前往地，第一次它后退1米，第二次它前进2米，第三次再后退3米，第四次又向前进4米，按此规律行进，如果地在数轴上表示的数为． （1）求出地在数轴上表示的数； （2）小猪佩奇从地出发经过第七次行进后到达点，第八次行进后到达点，点点到地的距离相等吗？说明理由？ （3）若地在原点的左侧，那么经过100次行进后小猪佩奇到达的点与点之间的距离是多少？ 16．已知，两点在数轴上分别示有理数，，，两点之间的距离表示为，在数轴上，两点之间的距离．已知数轴上，两点对应的数分别为，3，为数轴上一动点，，两点之间的距离是 ．设点在数轴上表示的数为，则点与表示的点之间的距离表示为 若点到，两点的距离相等，则点对应的数为 若点到，两点的距离之和为8，则点对应的数为 现在点以2个单位长度秒的速度向右运动，同时点以0.5个单位长度秒的速度向右运动，当点与点之间的距离为3个单位长度时，求点所对应的数是多少？ 17．如图，周长为2个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合． （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是 ； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下： 计次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 滚动周数 ①第6次滚动周后，点距离原点4，请求出的值； ②当圆片结束六次滚动时，求点一共运动的路程． 18．如图所示，在数轴上有三个点，，，请回答： （1）将点向左移动4个单位后，三个点中，点 所表示的数最小，是 ． （2）将点向右移动3个单位后，三个点中，点 所表示的数最小，是 ． （3）将点向左移动5个单位后，这时点所表示的数比点所表示的数大 ． （4）怎样移动点，，中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动方法？ 19．在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中，，如图所示，设点，，所对应数的和是． （1）若以为原点，写出点，所对应的数，并计算的值；若以为原点，又是多少？ （2）若原点在图中数轴上点的右边，且，求． 20．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且，满足． （1） ， ， ； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； （3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，则 ， ， ．（用含的代数式表示） （4）请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 21．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为、3， （1）点为数轴上一动点，其对应的数为． ①若点到点、点的距离相等，则 ； ②若点到点、点的距离之和为10，则 ； （2）若将数轴折叠，使与3表示的点重合． ①则表示的点与数 表示的点重合；②若数轴上、两点之间的距离为2021，且、两点经过折叠后互相重合，求，两点表示的数． 22．如图，已知数轴上点表示数，点表示数，点表示数． （1）当数、满足时， ， ． （2）若点为数轴上一动点，其对应的数为，认真观察图形并结合（1）的条件发现，随着点在数轴上左右移动，代数式可以取得最小值，这个最小值为 ． （3）结合图形及条件（1）可知点与点之间的距离可表示为，同样，点与点之间的距离可表示为，点与点之间的距离表示为，若点在直线上，且满足，求的值． 23．如图在数轴上所对应的数为． （1）点在点右边距点4个单位长度，求点所对应的数； （2）在（1）的条件下，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒3个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离． 24．已知、在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点4个单位长度，点、是数轴上两个动点： （1）写出点所对应的数； （2）点到、的距离之和是6个单位长度时，点所对应的数是多少？ （3）如果、分别从点、同时出发，均沿数轴向同一方向运动，点每秒走2个单位长度，点每秒走3个单位长度，3秒后，点、之间的距离是多少？ 25．如图：在数轴上点表示数，点示数，点表示数，是最小的正整数，且、满足． （1） ， ， ； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合； （3）点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 26．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两点的“倍联点”．例如数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，满足，此时点是点，的“倍联点”．若数轴上点表示，点表示6，回答下列问题： （1）数轴上点，，分别对应0，3.5和11，则点 是点，的“倍联点”，点是 这两点的“倍联点”； （2）已知动点在点的右侧，若点是点，的倍联点，求此时点表示的数． 27．如图，半径为1个单位长度的圆片上有一点与数轴上的原点重合（计算结果保留 （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点到达数轴上点的位置，点表示的数是 ； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下： 计次 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 滚动周数 ①第6次滚动周后，点距离原点，请直接写出的值； ②当圆片结束运动时，求点运动的路程． 28．如图，点表示的数为，线段（点在点右侧），动点从点出发，以每秒1个单位的速度，沿线段向终点运动，同时，另一个动点从点出发，以每秒3个单位的速度在线段上来回运动（从点向点运动，到达点后，立即原速返回，再次到达点后立即调头向点运动）．当点到达点时，、两点都停止运动．设点的运动时间为秒． （1）当时，线段的长为 ． （2）当、两点第一次重合时，求线段的长； （3）是否存在某一时刻，使点的中点恰好与点重合，若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 29．阅读下面的材料并解答问题： 点表示数，点表示数，点表示数，且点到点的距离记为线段的长，线段的长可以用右边的数减去左边的数表示，即．若是最小的正整数，且、满足． （1） ， ， ． （2）若将数轴折叠，使得与点重合： ①点与数 表示的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经折叠后重合，则、两点表示的数是 、 ． 30．如图，已知，两点在数轴上，点在原点的左边，表示的数为，点在原点的右边，且．点以每秒3个单位长度的速度从点出发向右运动．点以每秒2个单位长度的速度从点出发向右运动（点，点同时出发）． （1）数轴上点对应的数是 ，点到点的距离是 ； （2）经过几秒，原点是线段的中点？ （3）经过几秒，点，分别到点的距离相等？ 专题1.5 有理数的应用 【题组训练】 有理数的应用——路程问题 热爱运动的琪琪坚持每天晚上健步走半小时并记录步数，他每天以3000步为标准，超过的记作正数，不足的记作负数．下表是本周内琪琪健步走步数情况的记录： 星期 一 二 三 四 五 六 日 步数半小时 0 （1）本周内琪琪健步走步数最多的一天比最少的一天多走了 步； （2）本周内琪琪平均每天健步走的速度约为 步分钟（结果保留整数）． 小虫在一条水平直线上从点出发，沿直线来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，连续爬行的路程依次记为（单位：厘米），，，，，，，最终停下． （1）求小虫爬行结束后停在直线上的位置？ （2）在爬行过程中，小虫一共爬行了多少厘米？ （3）小虫爬行过程中离开出发点最远是多少厘米？ 郑州地铁1号线是河南省郑州市第一条建成运营的地铁线路，起于河南工业大学站，途经中原区、二七区、管城区、郑东新区，止于河南大学新区站，其中的15个站点如图所示． 小亮从郑州火车站开始乘坐地铁，在图中15个地铁站点做值勤志愿服务，到站下车时，本次志愿者活动结束，约定向文苑北路站方向为正，当天的乘车记录如下（单位：站），，，，，，，． （1）请你通过计算说明站是哪一站？ （2）已知相邻两站之间的平均距离为1.4千米，求小亮在志愿者服务期间乘坐地铁行进的路程是多少千米？ 有理数的应用——销售问题 赣南享有“脐橙之乡”的美誉，赣南脐橙热销全国各地．刚大学毕业的小明把自家的脐橙产品放到了网上售卖，他原计划每天卖脐橙，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：． 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 （1）根据记录的数据可知前三天共卖出 ； （2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 ； （3）若脐橙按4.5元出售，且小明需为买家支付运费（平均0.5元，则小明本周一共赚了多少元？ 科技改变生活，当前网络销售日益盛行，许多农商采用网上销售的方式进行营销，实现脱贫致富．宁国把自家种的柚子放到网上销售，计划每天销售100千克，但实际每天的销售量与计划销售量相比有增减，超过计划量记为正，不足计划量记为负．下表是宁国第一周柚子的销售情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 柚子销售超过或不足计划量情况（单位：千克） （1）宁国第一周销售柚子最多的一天比最少的一天多销售多少千克？ （2）宁国第一周实际销售柚子的总量是多少千克？ （3）若宁国按8元千克进行柚子销售，平均运费为3元千克，则宁国第一周销售柚子一共收入多少元？ 入冬以来，某品牌的羽绒服统计了在西乡市场某一周的销售情况，以每天100件为标准，超过的件数记作正数，不足的件数记作负数，记录如下：8，12，，6，，10，． （1）求销量最多的一天比销量最少的一天多销售 件； （2）该品牌羽绒服这一周的销售总量是多少件？若每件羽绒服的利润为130元，则这一周销售该品牌羽绒服的总利润为多少元？ 有理数的应用——股票问题 股民王先生上周星期五买进某公司股票1000股，每股18元，本周该股票的涨跌情况如表（正数表示价格上涨，负数表示价格下跌，单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 （1）星期三结束时，该股票每股多少元？ （2）该股票本周内每股的最高价和最低价分别是多少元？ （3）已知王先生买进该股票时付了的手续费，卖出股票时须支付的手续费和的交易税，若他在星期五结束时将股票全部卖出，则他的收益情况如何？（注股票市场周末不交易） 股民王先生上周星期五买进某公司股票1000股，每股18元，本周该股票的涨跌情况如表（正数表示价格比前一天上涨，负数表示价格比前一天下跌，单位：元，注：股票周末休市） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 （1）星期三收盘时，该股票每股多少元？ （2）该股票本周内每股的最高价和最低价分别是多少元？ （3）到周五收盘，王先生那1000股在这一周的盈亏情况如何？ 股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的价格买进某公司股票10000股，买进或卖出时都得支付交易额的作为手续费，下表为本周内每天该股票的涨跌情况： 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 注：正号表示股价比前一天上涨，负号表示股价比前一天下跌． （1）星期四收盘时，每股多少元？ （2）本周内哪一天股价最高，是多少元？ 若股民小王本周末将该股票全部售出，小王在本次交易中是赚了还是亏了？请你算算，如果是赚了，赚了多少钱？如果亏了，亏了多少钱？ 有理数的应用——成绩问题 体育老师对七年级男生进行引体向上测验，以做7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，如表是第四小组7名男生的成绩记录： 姓名 小明 小彬 小亮 小山 小强 小刚 小飞 与标准个数的差值 2 0 3 1 （1）成绩最好的是谁？他做了多少个引体向上？ （2）平均每人做了多少个引体向上？ 体课上全班女生进行了百米测验，达标成绩为18秒，下面是第一组8名女生的成绩记录，其中，“”号表示成绩大于18秒，“”号表示成绩小于18秒． ，，0，，，0，， （1）这个小组女生的达标率是 ． （2）求出这个小组的平均成绩． 2021年7月24日，东京奥运会十米气步枪决赛中，中国选手杨倩为中国代表队摘得首金．其中最后10枪的成绩如下表所示： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 环数 10.2 10.8 10.0 10.6 10.6 10.5 10.7 10.6 10.7 9.8 若以10.5环为基准，记录相对环数，超过的环数记为正数，不足的环数记为负数，则上述成绩可表示为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 相对环数 0.3 0.1 0.1 0 0.1 0.2 （1）请填写表中的两个空格； （2）这10枪中，与10.5环偏差最大的那次射击的序号为 ； （3）请计算这10枪的总成绩． 有理数的应用——距离或者高度 测量一幢楼的高度，七次测得的数据分别是：，，，，，，． （1）以80为标准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分，写出七次测得数据对应的数； （2）求这七次测量的平均值； （3）写出最接近平均值的测量数据，并说明理由． （1）一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度．冬冬在山脚测得的温度是，小明此时在山顶测得的温度是，已知该地区高度每升高100米，气温下降，问这个山峰有多高？ （2）10袋小麦以每袋100千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，分别记为：，，，，，，，，，与标准质量相比较，这10袋小麦总计超过或不足多少千克？10袋小麦总质量是多少千克？每袋小麦的平均质量是多少千克？ 2011年9月1日，长春首届航空开放日在长春大房身机场正式举行，空军八一飞行表演队的新换装歼飞机，进行了精彩的特技飞行表演，其中一架飞机起飞0.5千米后的高度变化如下表： 高度变化 上升 下降 上升 下降 记作 （1）此时这架飞机飞离地面的高度是多少千米． （2）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.6千米，下降2.8千米，再上升1.5千米，最后下降0.9千米．若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，那么这架飞机在这4个特技表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 有理数的应用——质量问题 有24筐大庙香水梨，以每筐20千克为标准，超过或不足的分别用正、负来表示，记录如下： 与标准质量的差（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 4 6 5 4 请你计算这24筐香水梨的总质量是多少千克． 山西稷山板枣栽培历史有上千年，种类繁多，有板枣、长枣、圆枣等，以板枣最为有名．小明所在的小区购买了8筐稷山板枣，若以每筐为基准，把超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如下：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧． （1）这8筐稷山板枣中，重量最重的是 ，比重量最轻的重了 ． （2）这8筐稷山板枣的总重量是多少？ 有10筐白菜，以每筐15千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下： 与标准质量的差值 （单位：千克） 0 1.5 2 筐数 1 3 2 1 3 （1）10筐白菜中，低于标准重量的有几筐？所占的百分比是多少？ （2）10筐白菜中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？ （3）若每千克白菜售价6.5元，则出售这10筐白菜可卖多少元？（结果保留整数） 专题2.1 整式 目录 用字母表示数的书写 1 用含字母的式子表示数量关系 2 代数式的相关概念 3 代数式的应用 3 求代数式的值 4 求代数式的值（整体思想） 5 流程图求代数式的值 5 代数式的应用 6 用字母表示数的书写 (1)字母可以表示__ __数． (2)同一个字母， 在不同的问题中可以代表__ __的量． (3)在同一个问题中， 不同的量要用__ __的字母来表示． (4)除法通常写成__ __的形式． 下列各式符合代数式书写规范的是　　 A． B． C． D． 下列式子中，符合代数式书写格式的是　　 A． B． C． D． 下列代数式书写规范的是　　 A． B． C．米 D． 下列各式符合代数式书写规范的是　　 A． B． C．个 D． 用含字母的式子表示数量关系 (1)题目中给出的数据之间的和、差、倍、分． (2)几何图形周长、面积、体积公式． (3)速度、时间、路程的关系；单价、数量、总价的关系；工作效率、工作时间、工作总量的关系等． (4)找规律的问题． 某商店促销的方法是将原价元的衣服以元出售，意思是　　 A．原价减去10元后再打8折 B．原价打8折后再减去10元 C．原价减去10元后再打2折 D．原价打2折后再减去10元 请仔细分析下列赋予实际意义的例子，其中错误的是　　 A．若葡萄的价格是4元千克，则表示买千克该种葡萄的金额 B．若表示一个正方形的边长，则表示这个正方形的周长 C．一辆汽车以千米小时的速度行驶，从城到城需4小时，则表示，两城之间的路程 D．若4和分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 设某数为，那么代数式表示　　 A．某数的2倍的平方加上1除以2 B．某数的2倍减去1的一半 C．某数与1差的3倍除以2 D．某数的平方的2倍与1的和的一半 若哥哥有元，妹妹有元，则下列叙述正确的是　　 A．妹妹的钱是哥哥的倍少4元 B．妹妹的钱是哥哥的倍多4元 C．哥哥的钱是妹妹的3倍多4元 D．哥哥的钱是妹妹的倍少4元 代数式的相关概念 1．代数式的概念 (1)代数式：用__ __把数和字母连接而成的式子． (2)特例：单独一个数或一个字母也是代数式． 下列式子中，不属于代数式的是　　 A． B． C．0 D． 下列式子：0，，，，，中，代数式的个数是　　 A．3 B．5 C．6 D．7 在0，，，，，，中，代数式有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 在式子，，，，，中代数式的个数有　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 代数式的应用 如图，表示这个图形面积的代数式是　　 A． B． C． D． 如图，阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 边长分别为和（其中的两个正方形按如图摆放，则图中阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 如图，阶梯型平面图形的面积可以表示为　　 A． B． C． D． 求代数式的值 代数式的值是指用具体的数值代替代数式中的__ __，从而求出结果． 当时，代数式的值是　　 A． B．7 C．9 D． 时，代数式的值是　　 A． B．0 C．1 D．2 当的值为1时，代数式的值是6，则当时，代数式的值为　　 A． B．0 C．4 D．9 当时，代数式的值是　　 A．5 B． C．1 D．4 求代数式的值（整体思想） 已知，则代数式的值为　　 A． B． C．14 D．26 已知，则的值为　　 A． B．7 C． D．3 已知代数式的值是3，则的值是　　 A． B． C． D． 若，则的值是　　 A．5 B． C．1 D． 流程图求代数式的值 根据数值转换机的示意图，输出的值为　　 A．9 B． C． D． 按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为　　 A． B．4 C． D． 按如图所示的运算程序，能使输出值为3的是　　 A． B． C． D． 如图所示是一个数值转换器，若输入某个正整数值后，输出的值为5，则输入的值可能为　　 A．1 B．6 C．7 D．19 代数式的应用 某中学八年级（1）班5名老师决定带领本班名学生去迁西景忠山旅游参观．该景区每张门票的票价为40元，现有、两种购票方案可供选择：方案：教师全价，学生半价；方案：不分教师与学生，全部六折优惠． （1）请用含的代数式分别表示选择，两种方案所需的费用； （2）当学生人数时，且只选择其中一种方案购票，请通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 某汽车行驶时油箱中余油量（升与行驶时间（小时）的关系如下表： 行驶时间小时 余油量升 1 55 2 50 3 45 4 40 5 35 观察表格解答下列问题 （1）汽车行驶之前油箱中有多少升汽油？ （2）写出用时间表示余油量的代数式； （3）当时，求余油量的值． 如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修条长米，宽米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米（结果保留． （2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积取． 如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“”型的图形（阴影部分）． （1）用含，的代数式表示“”型图形的面积并化简． （2）若米，“”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 1．现代的数学符号体系，不仅使得数学语言变得简洁明了，还能更好地帮助人们总结出便于运算的各种运算法则，简明地揭示数量之间的相互关系．我国在1905年清朝学堂的课本中还用“”来表示相当于的代数式，观察其中的规律，化简“”后得　　 A． B． C． D． 2．的3倍与的平方的和用代数式可表示为　　 A． B． C． D． 3．下列代数式书写正确的是　　 A． B． C． D． 4．已知一个正方形边长为，则该正方形的面积为　　 A． B． C． D． 5．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为125，则第2022次输出的结果为　　 A．5 B．25 C．1 D．125 6．下列各式中，不是整式的是　　 A． B． C． D． 7．已知一个单项式的系数为，次数为4，这个单项式可以是　　 A． B． C． D． 8．下列结论中正确的是　　 A．单项式的系数是，次数是4 B．是多项式 C．单项式的次数是1，无系数 D．多项式是二次三项式 9．结合实例解释代数式的意义 　　． 10．代数式“”用文字语言表示为　 　． 11．“垃圾分类”知识竞赛规定：答对的得10分，答错扣5分，如果初一（2）班答对了道题，答错了道题，那么初一（2）班的得分可以表示为：　　分． 12．若，则　　． 13．如图，数轴上点，所对应的数是，4．对于关于的代数式，我们规定：当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，的任意一点时，代数式的最大值小于等于4，最小值大于等于，则称代数式是线段的“和谐”代数式，例如，对于关于的代数式，当时，代数式取得最大值4；当时，代数式取得最小值0，所以代数式是线段的“和谐”代数式． 问题： （1）关于的代数式，当有理数在数轴上所对应的点为，之间（包括点，的任意一点时，取得的最大值是 　　，最小值是 　　；所以代数式　　（填“是”或“不是” 线段的“和谐”代数式． （2）关于的代数式是线段的“和谐”代数式，则有理数的最大值是 　　，最小值是 　　． （3）以下关于的代数式：①；②；③．其中是线段的“和谐”代数式的是 　　，并证明．（只需要证明是线段的“和谐”代数式的式子，不是的不需证明） 14．指出下列各式中，哪些是代数式，哪些不是代数式？ （1） （2） （3） （4） （5） （6）． 15．第24届冬奥会将于2022年2月4日在我国首都北京拉开帷幕，大大激起了人们参与体育运动的热情．我们知道，人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关，如果用表示一个人的年龄，表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么有． （1）正常情况下，在运动时一个15岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ （2）一个45岁的人运动时，10秒钟的心跳次数为22次，他有危险吗？ 专题2.1 整式的化简求值 【例题精讲】 先化简，再求值：，其中，． 已知，． （1）求； （2）当时，求的值． 【题组训练】 1．化简求值． （1），其中； （2）已知，，，求． 2．已知关于、的代数式的值与字母的取值无关． （1）求和值． （2）设，，求的值． 3．（1）化简：； （2）化简：； （3）先化简，再求值：，其中，． 4．先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中，． 5．已知：，． （1）计算：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 6．已知，． （1）当，时，求的值； （2）若的值与的值无关，求的值． 7．先化简，再求值：，其中，． 8．已知，化简代数式并求值． 9．先化简，再求值：的值，已知，满足：． 10．已知，先化简再求值：． 11．先化简，再求值其中，满足． 12．已知：，， （1）化简：； （2）若，求的值． 13．已知，，若，求的值． 14．化简： （1）； （2）． 15．化简： （1）； （2）． 16．化简： （1）； （2）． 17．计算： （1）； （2）． 18．化简： （1）； （2）． 19．先化简，再求值：，其中，． 20．已知，． （1）化简． （2）当，，求的值． 21．先化简，再求值：，其中，． 22．先化简，再求值：，其中，． 23．先化简，再求值：，其中，． 24．已知代数式，． （1）求； （2）当，时，求的值； （3）若的值与的取值无关，求的值． 25．先化简，再求值：，其中，． 26．已知，． （1）求； （2）当时，求的值． 27．先化简，再求值：，其中，． 28．先化简，再求值：，其中，． 29．先化简，再求值：，其中，． 30．先化简，再求值：，其中，． 31．先化简，再求值．，其中，． 32．先化简，再求值：，其中，． 33．有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 34．先化简，再求值： （1），其中． （2），其中，． 35．已知多项式，，中不含有项和项，求的值． 36．先化简，再求值：的值，其中，． 37．是关于的多项式． （1）当、满足什么条件时，该多项式是关于的二次多项式； （2）当、满足什么条件时，该多项式是关于的三次二项式． 38．先化简，再求值： （1），其中． （2），其中 39．先化简，再求值：，其中，． 40．已知，； （1）求； （2）若的值与无关，求的值． 41．先化简，再求值：．其中，． 42．先化简，再求值：，其中，． 43．先化简再求值：，其中，． 44．先化简再求值：，其中． 45．如果关于的多项式不含项和项，求、的值． 46．已知多项式，，其中，小马在计算时，由于粗心把看成了求得结果为，请你帮小马算出的正确结果． 47．先化简下式，再求值： ，其中，． 48．先化简，再求值． （1）已知，求的值． （2）已知，求多项式． （3）已知：，，求代数式：的值． 49．先化简，再求值： （1），其中． （2）已知，求的值． 50．一位同学做一道题：“已知两个多项式、，计算”．他误将“”看成“”，求得的结果为．已知，求正确答案． 专题2.2 整式的加减 目录 单项式 1 单项式的系数与次数 1 多项式及其相关概念 2 整式及其相关概念 3 同类项的定义 4 同类项含参数 4 合并同类项 4 去括号 6 利用去括号进行化简 7 不含某个项 7 比较大小 7 整式的应用 8 求整式的值 9 整式的化简求值 10 单项式 (1)定义：数与字母的__ __． 特别地：单独一个__ __或一个__ __也是单项式． (2)系数：单项式中的__ __． (3)次数：__ __的指数__ __． 下列整式中，为单项式的是　　 A． B． C． D． 下列属于单项式的是　　 A． B． C． D．1 在代数式，，，，0，中是单项式的有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 已知一个单项式系数是，次数是4，则这个单项式可以是　　 A． B． C． D． 单项式的系数与次数 (1)定义：数与字母的__ __． 特别地：单独一个__ __或一个__ __也是单项式． (2)系数：单项式中的__ __． (3)次数：__ __的指数__ __． 单项式的次数是　　 A． B．3 C．5 D．6 下列说法正确的是　　 A．的系数是5 B．的次数是6 C．的系数是 D．的次数是2 下列说法正确的是　　 A．0不是单项式 B．的次数是3 C．的系数是2 D．的系数是 下列说法正确的是　　 A．的系数是2，次数是7 B．若的次数是5，则 C．0不是单项式 D．若是单项式，则或 多项式及其相关概念 (1)定义：几个单项式的__ __． (2)项：多项式中的每个__ __． (3)次数：__ __的项的次数． 将多项式按的降幂排列的结果为　　 A． B． C． D． 对于多项式，下列说法中错误的是　　 A．多项式的次数是3 B．二次项系数为3 C．一次项系数为0 D．常数项为1 下列结论中，正确的是　　 A．单项式的系数是3，次数是2 B．多项式是四次三项式 C．单项式的次数是1，系数为0 D．单项式的系数为，次数是4 把多项式按的降幂排列，正确的是　　 A． B． C． D． 整式及其相关概念 单项式和__ __统称整式． 下列各式中，不是整式的是　　 A． B． C．0 D． 下列各式中，不是整式的是　　 A． B． C． D． 下列各式：，，，，，，其中整式有　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 在式子，，2021，，，中，整式的个数　　 A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 同类项的定义 1．同类项 定义：所含字母__ __，并且__ __也相同的项．所有的__ __也是同类项． 下列整式与为同类项的是　　 A． B． C． D． 下列各组式子中，是同类项的为　　 A．与 B．与 C．与 D．与 下列各组中，不是同类项的是　　 A．与 B．与 C．与 D．与 下列各选项提供的代数式可以互为同类项的情况有　　 （1）和；（2）和；（3）6和；（4）和 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 同类项含参数 如果与是同类项，那么，的值分别是　　 A．， B．， C．， D．， 如果和是同类项，则，的值是　　 A．，2 B．2， C．，3 D．3， 若与的差是一个单项式，则代数式的值为　　 A． B．6 C． D．8 如果与是同类项，那么和的值分别为　　 A．3和4 B．5和 C．5和 D．4和 合并同类项 (1)定义：把__ __合并成一项叫做合并同类项． (2)法则：合并同类项时，把同类项的__ __相加，字母和__ __不变． 下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 下面运算正确的是　　 A． B． C． D． 下列算式中正确的是　　 A． B． C． D． 下列各式中运算正确的是　　 A． B． C． D． 化简：． 合并同类项： （1）． （2）． 合并同类项 （1）； （2）． 合并同类项： （1）； （2）． 去括号 (1)＋(　　)：括号前是正号时，直接去掉括号及正号，括号里面各项均不变． 注意：首项“没有”符号时，要补加“＋”． (2)－(　　)：括号前是负号时，直接去掉括号及负号，括号里面各项的符号都要改变． 注意：“都”即每一项的符号都要改变． (3)－n(　　)：括号前是有理数时，根据有理数乘法分配律去括号，即括号前的数与括号里面各项系数分别相乘． 下列添括号正确的是　　 A． B． C． D． 下列式子中去括号错误的是　　 A． B． C． D． 下列式子中去括号正确的是　　 A． B． C． D． 下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 利用去括号进行化简 计算：． 先去括号，再合并同类项 （1） （2） 去括号，并合并同类项： （1） （2） 先去括号、再合并同类项 ① ②． 不含某个项 将多项式化简后不含项，则的值是　　 A． B． C． D． 如果多项式与多项式相加后不含二次项，那么常数的值是　　 A．2 B． C． D． 若关于、的多项式不含二次项，则的值为　　 A． B．11 C． D．21 当代数式中不含项，则的值为　　 A．0 B． C． D．2 比较大小 如果，，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 如果，，那么和的大小关系是　　 A． B． C． D．无法判断 设，，那么与的大小关系是　　 A． B． C． D．无法确定 多项式，，为任意的有理数，则判断正确的是　　 A． B． C． D．与的大小与的值有关 整式的应用 如图所示，三张正方形纸片①，②，③分别放置于长，宽的长方形中，正方形①，②，③的边长分别为，，，且，则阴影部分周长为　　 A． B． C． D． 把两张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图不重复地放在一个底面为长方形（长为，宽为的盒子底部（如图，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图2中两块阴影部分周长的和是　　 A． B． C． D． 如图①，将一个边长为的正方形纸片剪去两个小长方形，得到一个“”形的图案，如图②所示，则这个“”形的图案的周长可以表示为　　 A． B． C． D． 把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①，卡片长为，宽为，不重叠地放在一个底面为长方形（宽为的盒子底部（如图②，盒底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是　　（用只含的代数式表示） A． B． C． D． 求整式的值 先化简，再求值：，其中，． 化简求值． （1），其中； （2）已知，，，求． 先化简，再求值．已知，求的值． 先化简，再求值： （1），其中，． （2），其中，． 整式的化简求值 已知关于、的代数式的值与字母的取值无关． （1）求和值． （2）设，，求的值． 已知：，． （1）求； （2）若的值与无关，求的值． 已知，． （1）当，时，求的值； （2）若（1）中式子的值与的取值无关，求的值． 已知代数式，． （1）化简代数式：； （2）若对任意的实数，代数式为有理数）的结果不小于0，求的最小值． 1．若单项式与是同类项，则，分别是　　 A．3，4 B．4，3 C．， D．， 2．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 3．若单项式与是同类项，则的值是　　 A．6 B．8 C．9 D．12 4．下列各组中，不是同类项的是　　 A．和 B．3和 C．和 D．和 5．下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 6．下列去括号正确的是　　 A． B． C． D． 7．下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 8．已知，，则和的值分别为　　 A．和32 B．8和32 C．和32 D．8和 9．已知单项式与是同类项，则　　，　　． 10．单项式与是同类项，那么的值为 　　． 11．若，则的值是 　　． 12．化简：　　． 13．已知单项式与单项式是同类项，求的值． 14．已知单项式和是同类项，求代数式的值． 15．（1）； （2）； （3）； （4）． 专题2.2 整式性质的综合运用 【例题精讲】 已知，，若中不含一次项和常数项，求的值． （1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，且的值与的取值无关，求，的值． 某同学做一道数学题，已知两个多项式、，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． （1）请你替这位同学求出的正确答案； （2）当取任意数值，的值是一个定值时，求的值． （1）如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，．化简：； （2）已知关于、的多项式中不含项和项，且，求代数式：的值． 【题组训练】 1．已知，． （1）试计算； （2）若的值与无关，求出的值． 2．已知：，． （1）求的值； （2）当取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 3．小张同学在计算时，将“”错看成了“”，得出的结果是． （1）请你求出这道题的正确结果； （2）试探索：当字母、满足什么关系时，（1）中的结果与字母的取值无关． 4．如果关于的多项式的值与的取值无关，且该多项式的次数是三次．求，的值． 5．已知多项式中不含项， （1）求的值； （2）求的值． 6．（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，且的值与的取值无关，求，的值． 7．已知代数式，． （1）求； （2）若的值与的取值无关，求的值． 8．已知关于，的整式，．若的值与字母无关，求的值． 9．老师写出一个整式（其中，为常数，且表示为系数），然后让同学给，赋予不同的数值进行计算． （1）甲同学给出了一组，的数值，算得结果为，则甲同学给出，的值分别是 ， ； （2）乙同学给出，的一组数值，计算后发现结果与的取值无关，请确定乙同学的计算结果，并说明理由． 10．已知，． （1）求； （2）当取任意值，的值是一个定值时，求的值． 11．某同学做一道数学题，已知两个多项式、，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． （1）请你替这位同学求出的正确答案； （2）当取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 12．已知，． （1）求的值； （2）当取任意数，的值都是一个定值时，求的值． 13．已知：，． （1）求的值； （2）当取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 14．（1）求多项式与多项式的2倍的和． （2）先化简，再求值：，其中 （3）已知两个多项式，，其中，求．小马虎同学在计算时，误将错看成了，求得的结果为．请你帮助这位同学求出正确结果． 15．已知，，若中不含一次项和常数项，求的值． 16．（1）如图，数轴上的点，，分别表示有理数，，．化简：； （2）已知关于、的多项式中不含项和项，且，求代数式：的值． 17．已知，，按要求完成下列各小题． （1）若的结果中不含的一次项，则的值为 ； （2）当时，化简，再把代入求值． 18．若化简代数式的结果中不含和项． （1）试求，的值； （2）在（1）的条件下，先化简，再求值：． 19．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）若关于，的多项式中不含项，求的值． 20．已知关于的整式、，其中，．若当中不含的二次项和一次项时，求的值． 21．已知多项式，，． （2）若，求的值； （3）若的值不含的项，求有理数的值． 22．已知关于，的多项式化简后的结果中不含项．求的值． 23．王明在准备化简代数式■时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得前面的系数看不清了，于是王明就打电话询问李老师，李老师为了测试王明对知识的掌握程度，于是对王明说：“该题标准答案的结果不含有．”请你通过李老师的话语，帮王明解决如下问题： （1）■的值为 ； （2）求出该题的标准答案． 24．已知：，． （1）计算：； （2）若的值与的取值无关，求的值． 25．已知，． （1）当，时，求的值； （2）若的值与的值无关，求的值． 26．李老师写出了一个式子，其中、为常数，且表示系数，然后让同学赋予、不同的数值进行计算． （1）甲同学给出了，，请按照甲同学给出的数值化简原式； （2）乙同学给出了一组数据，最后计算的结果为，求乙同学给出的、的值； （3）丙同学给出了一组数据，计算的最后结果与的取值无关，请求出丙同学的计算结果． 27．某同学做一道数学题，已知两个多项式、，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为． （1）请你替这位同学求出的正确答案； （2）当取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 28．在对多项式代入计算时，小明发现不论将、任意取值代入时，结果总是同一个定值，为什么？ 29．已知代数式，． （1）若，求的值； （2）若的值与的取值无关，求的值． 30．已知，，且多项式的值与字母取值无关，求的值． 31．瞳瞳做一道数学题：求代数式当时的值，由于瞳瞳粗心把式子中的某一项前的“”号错误地看成了“”号，算出代数式的值是，那么瞳瞳看错的是 次项前的符号，写出和时代数式的值． 32．由于看错了运算符号，“小马虎”同学把一个整式减去多项式，误认为是加上此多项式，结果得到的答案是（计算无误），请你求出原题的正确答案． 33．已知，； （1）求； （2）若的值与无关，求的值． 34．已知：， （1）求的值； （2）若的值与的取值无关，求的值． 35．已知：，． （1）求的值； （2）当取任何数值，的值是一个定值时，求的值． 36．某同学做一道数学题，已知两个多项式、，，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为 （1）请你替这位同学求出的正确答案； （2）当取任意数值，的值是一个定值时，求的值． 37．如果关于的多项式的值与的取值无关，试确定的值，并求的值． 38．小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． 39．有这样一道计算题：的值，其中，．小明同学把“”错看成“”，但计算结果仍正确；小华同学把“”错看成“”，计算结果也是正确的，你知道其中的道理吗？请加以说明． 40．有这样一道题“当，时，求多项式的值”，小明做题时把错抄成，小旺没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 41．学习了整式的加减运算后，老师给同学们布置了一道课堂练习题“，时，求的值”．盈盈做完后对同桌说：“张老师给的条件是多余的，这道题不给的值，照样可以求出结果来．”同桌不相信她的话，亲爱的同学们，你相信盈盈的说法吗？说说你的理由． 42．有这样一道题，计算的值，其中，，甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，请用计算说明理由． 43．实数，，在数轴上的位置如图，化简． 44．有理数在数轴上的对应点位置如图所示，化简：． 45．有理数、、在数轴上的点分别对应为、、，其位置如图所示，化简． 46．有理数、、在数轴上的位置如图： （1）用“”或“”填空： 0， 0， 0． （2）化简：． 47．已知有理数、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简：． 48．如图，有理数、、在数轴上的位置大致如下： （1）去绝对值符号： ， ； （2）化简：． 49．有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 50．已知，，且中不含有项和项，求的值． 专题2.3 整式的实际应用 【例题精讲】 如图是一个长方形游乐场，其宽是米，长是米．其中半圆形休息区和长方形游泳区以外的地方都是绿地．已知半圆形休息区的直径和长方形游泳区的宽是米，游泳区的长是米． （1）该游乐场休息区的面积为 ，游泳区的面积为 ．（用含有的式子表示） （2）若长方形游乐场的宽为40米，绿化草地每平方米需要费用30元，求这个游乐场中绿化草地的费用． 如图，这是2010年11月的日历． （1）方框套住的9个数之和与方框正中间的数的关系是 ； （2）对于其它这样的方框，若设方框正中间的数为，其它8个数分别为 、 、 、 、 、 、 、 ； （3）上面（2）中9个数之和是 ． 【题组训练】 1．如图所示，在一块长为，宽为的长方形铁皮的四个角上，分别截去半径都为的圆的． （1）试计算剩余铁皮的面积（阴影部分面积）； （2）当，时，剩余铁皮的面积是多少？取 2．在日历上，我们可以发现某些数满足一定的规律，如下是2015年1月份的日历，我们选择其中所示的方框部分，将方框部分的四个角上的四个数字交叉相乘，再相减，例如，，不难发现，结果都等于14（乘积结果用大的减小的）． 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 　　　4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； （2）请你利用整式的运算对以上规律加以证明． 3．如图，一个花坛由两个半圆和一个长方形组成，已知长方形的长为米，宽为米． （1）用含有字母，的代数式表示该花坛的面积； （2）当米，米时，求该花坛的面积．取 4．如图是一所住宅的建筑平面图． （1）用含有、的式子表示这所住宅的建筑面积． （2）当米，米时，住宅的建筑面积有多大？ （3）在（2）的条件下，若此住宅的销售单价为每平方米5000元，求此住宅的销售价是多少元？（结果用科学记数法表示） 5．在日常生活中使用的日历表上，我们可以发现其中的某些数满足一定的规律，图中是2013年8月份的日历表．我们任意选择图中的方框部分．将每个方框部分的4个位置上的数交叉相乘，再相减，如：，，不难发现，结果都是7． 请你再任意选择两个部分试一试．看看是否符合这个规律： （2）请你利用整式的运算对以上规律加以说明． 6．如图是某月的日历，现用一长方形在日历中任意框出4个数，请用一个等式表示，，，之间的关系． 7．下表是2012年8月的日历： 完成下列问题： （1）图中方框（即阴影部分）的9个数的和是多少？它与方框中间的10有什么关系？ （2）方框中的三列数每一列的和是多少？有什么规律？ （3）方框中的三行数每一行的和是多少？有什么规律？ （4）把这个方框上下左右平移，得到新方框，若方框中间的一个数为，则这个9个数的和为多少？ 8．近日，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并在今年9月份开学开始正式施行．某学校率先行动，在校园开辟了劳动教育基地，培养学生劳动品质．已知该劳动教育基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中． （1）该劳动教育基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？（用含、的代数式表示并化简） （2）当，时，求该劳动教育基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 9．国庆期间，云南即将进入旅游高峰，防疫不可忽视，为了满足景点对口罩的需求，某厂决定生产、两种款式的口罩，每天两种口罩的生产量共500包，两种口罩的成本和售价如下表： 口罩 成本（元包） 售价（元包） 5 8 7 9 设每天生产种口罩包． （1）用含的代数式表示该工厂每天的生产成本，并化简； （2）当时，求该工厂每天获得的利润． 10．某景区有一座步行桥（如图），需要把阴影部分涂刷油漆． （1）求涂刷油漆的面积； （2）若，，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积． 11．（1）已知三个连续的奇数，若中间那个为，求这三个奇数的积． （2）求图中阴影部分的面积． 12．如图，请计算图中阴影部分的面积． 13．如图，两摞规格完全相同的作业本整齐地叠放在桌面上，请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题： （1）每本作业本的厚度为 ； （2）若有一摞上述规格的作业本本整齐地摆放在桌面上，请你求出这摞作业本的顶部距离底面的高度；（单位：，用含的代数式表示） （3）若把270本作业本整齐地叠成一摞摆放在桌面上，用科学记数法表示（单位：的值． 14．如图是某一长方形闲置空地，宽为米，长为米为了美化环境，准备在这个长方形空地的四个顶点处分别修建一个半径为米的扇形花圃（阴影部分），然后在花圃内种花，中间修条长米，宽米的小路，剩余部分种草． （1）小路的面积为 平方米；种花的面积为 平方米（结果保留． （2）当，时，请计算该长方形场地上种草的面积取． 15．如图，有一长方形空地，其长为、宽为，现要在该空地种植两条防风带（图中阴影部分），防风带一边长为，其中横向防风带为长方形，纵向防风带为平行四边形． （1）用代数式表示剩余空地的面积； （2）若、，且防风带的面积为116，求原长方形空地的长和宽． 16．如图是某月的日历，在此日历上用一个正方形圈出9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，． （1）图中圈出的9个数的平均数是多少？直接写结果． （2）若用正方形圈出此日历中的任意9个数中，位于中心位置的数是，那么这9个数的和是多少？这9个数的平均数是多少？ （3）若用正方形圈出此日历中的9个数，这9个数的和有可能是225吗？试说明理由． 17．下面是某月的日历 （1）其中，阴影方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ （2）这个关系对其它这样的方框成立吗？如果用表示中间的数，你能列式表示这样的方框中的9个数之和吗？ （3）在（2）中的方框中，你还能发现其中的数与之间的其他关系吗？ 18．如图是一个长方形游乐场，其宽是米，长是米．其中半圆形休息区和长方形游泳区以外的地方都是绿地．已知半圆形休息区的直径和长方形游泳区的宽是米，游泳区的长是米． （1）该游乐场休息区的面积为 ，游泳区的面积为 ．（用含有的式子表示） （2）若长方形游乐场的宽为40米，绿化草地每平方米需要费用30元，求这个游乐场中绿化草地的费用． 19．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．如图是2017年3月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：．不难发现，结果都是7． （1）请你再选择两个类似的部分试一试．看看是否符合这个规律； （2）用含的式子表示此规律： ，并证明． 20．某市为鼓励市民节约用水，特制定如下的收费标准：若每月每户用水不超过10立方米，则按3元立方米的水价收费，并加收0.2元立方米的污水处理费；若超过10立方米，则超过的部分按4元立方米的水价收费，污水处理费不变． （1）若小华家5月份的用水量为8立方米，那么小华家5月份的水费为 元； （2）若小华家6月份的用水量为15立方米，那么小华家6月份的水费为 元； （3）若小华家某个月的用水量为立方米，求小华家这个月的水费（用含的式子表示）． 21．正方形中，点是边上一点（不与点，重合），以为边在正方形外作正方形，且，，三点在同一条直线上，设正方形和正方形的边长分别为和． （1）求图1中阴影部分的面积（用含，的代数式表示）； （2）当，时，求图1中阴影部分的面积的值； （3）当，时，请直接写出图2中阴影部分的面积的值． 22．如图是某年11月的日历． （1）“”形框中的7个数与中间数11有什么关系？ （2）设中间数为，如何用代数式表示“”形框中7个数之和？ （3）若将“”形框上下左右移动，可框住另外7个数，这7个数还有上述规律吗？ 23．一辆出租车从地出发，在一条东西走向的街道上往返，每次行驶的路程（记向东为正）记录如下 第一次 第二次 第三次 第四次 （1）说出这辆出租车每次行驶的方向． （2）求经过连续4次行驶后，这辆出租车所在的位置． （3）这辆出租车一共行驶了多少路程？ 24．某市为了节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨的部分，按2元吨收费；超过10吨的部分按2.5元吨收费． （1）若黄老师家5月份用水16吨，问应交水费多少元？ （2）若黄老师家6月份交水费30元，问黄老师家6月份用水多少吨？ （3）若黄老师家7月用水吨，问应交水费多少元？（用的代数式表示） 25．如图，将边长为的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形． （1）用含或的代数式表示拼成矩形的周长； （2），，求拼成矩形的面积． 26．2020年旅游业收入将迎小高峰，某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客．100元人的门票，非节假日打折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即10人以下（含10人）的团队按原价售票；超过10个人的团队，其中10个人仍按原价售票，超过10人的游客打折售票．部分购票信息如下表： （1）分别求出，的值； （2）设节假日期间某旅游团人数为人，请用含的代数式表示购票款； （3）导游小李于10月1日（节假日）带团，10月20日（非节假日）带团都到该景区旅游，共付门票款3600元，，两个团队合计50人，求，两个团队各有多少人？ 非节假日 节假日 团队人数（人 10 16 购买门票款（元 600 1420 27．将一张如图①所示的长方形铁皮四个角都剪去边长为的正方形，再四周折起做成一个有底无盖的铁盒，如图②铁盒底面长方形的长是，宽是 （1）请用含有的代数式表示图①中原长方形铁皮的面积； （2）若要在铁盒的外表面涂上某种油漆，每1元钱可涂油漆的面积为，则在这个铁盒的外表面涂上油漆需要多少钱（用含有的代数式表示）？ 28．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 （1）王老师一次性购物600元，他实际付款 元． （2）若顾客在该超市一次性购物元，当小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含的代数式表示）． （3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为元，用含的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？ 29．新学期，两摞规格相同的数学课本整齐的叠放在讲台上，请根据图中所给出的数据信息，解答下列问题： （1）每本书的高度为 ，课桌的高度为 ； （2）当课本数为（本时，请写出同样叠放在桌面上的一摞数学课本高出地面的距离 （用含的代数式表示）； （3）桌面上有55本与题（1）中相同的数学课本，整齐叠放成一摞，若有18名同学各从中取走1本，求余下的数学课本高出地面的距离． 30．窗户的形状如图所示（图中长度单位：，其上部是半圆形，下部是边长相同的四个小正方形，已知下部小正方形的边长是，计算： （1）窗户的面积； （2）窗户的外框的总长． 31．如图，在一个长方形休闲广场的四角都设计一块半径相同的四分之一圆形的花坛，若圆形的半径为米，广场的长为米，宽为米． （1）请列式表示广场空地的面积； （2）若休闲广场的长为500米，宽为200米，圆形花坛的半径为20米，求广场空地的面积．（计算结果保留 32．某公园中一块草坪的形状如图中的阴影部分． （1）用整式表示草坪的面积； （2）若米，米，求草坪的面积． 33．小明买了一套小户型的经济适用房，地面结构如图所示（注，；单位： （1）请用含、的式子表示出地面的总面积． （2）如果小明想将卧室和客厅全部铺上木地板，卫生间和厨房全部铺上瓷砖，已知木地板80元，瓷砖35元，则小明一共要花多少钱？（用含、的式子表示） 34．为庆祝我国首个空间实验室“天宫一号”顺利升空，学校开展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型的截面图，下面是梯形，中间是长方形，上面是三角形． （1）用、的代数式表示该截面的面积； （2）当，时，求这个截面的面积． 35．小明房间窗户的装饰物如图所示，它们由两个四分之一圆组成（半径相同）． （1）请用代数式表示装饰物的面积（结果保留； （2）请用代数式表示窗户能射进阳光部分面积（结果保留； （3）若，，请求出窗户能射进阳光的面积的值（取 36．某商场电器销售一种微波炉和电磁炉，微波炉每台定价700元，电磁炉每台定价200元．“”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台微波炉送一台电磁炉； 方案二：微波炉和电磁炉都按定价的付款． 现某客户要到该卖场购买微波炉20台，电磁炉台． （1）若该客户按方案一购买，需付款 元．（用含的代数式表示），若该客户按方案二购买，需付款 元．（用含的代数式表示） （2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ （3）当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法． 37．红星中学九年级（1）班三位教师决定带领本班名学生利用假期去某地旅游，枫江旅行社的收费标准为：教师全价，学生半价；而东方旅行社不管教师还是学生一律八折优惠，这两家旅行社的全价都是500元． （1）用含的式子表示三位教师和位学生参加这两家旅行社所需的费用各是多少元； （2）如果时，请你计算选择哪一家旅行社较为合算？ 38．（附加题）如图，这是2010年11月的日历． （1）方框套住的9个数之和与方框正中间的数的关系是 ； （2）对于其它这样的方框，若设方框正中间的数为，其它8个数分别为 、 、 、 、 、 、 、 ； （3）上面（2）中9个数之和是 ． 39．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价200元，领带每条定价40元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ①买一套西装送一条领带； ②西装和领带都按定价的付款． 现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带条． （1）若该客户按方案①购买，需付款 元（用含的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，需付款 元（用含的代数式表示）； （2）若，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？ 40．某种杯子的高度是，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图， （1）个这样的杯子叠放在一起高度是 （用含的式子表示）． （2）个这样的杯子叠放在一起高度可以是吗？为什么？ 专题2.4 探索规律 【例题精讲】 观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“”的个数是　　 A．128 B．162 C．200 D．226 给出下列程序：，已知当输入值为1时，输出值为1；输入值为时．输出值为．当输入值为时．输出值为　　 A． B． C．0 D．1 观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第2022个数是　　 A． B． C． D． 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 按上述规律，回答以下问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明． 【题组训练】 一．选择题（共26小题） 1．按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是　　 A．1 B．9 C． D． 2．按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为　　 A． B．1 C．5 D．9 3．小阳同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入的值为2，则最后输出的结果是　　 A．2 B．3 C．4 D．8 4．给出下列程序：，已知当输入值为1时，输出值为1；输入值为时．输出值为．当输入值为时．输出值为　　 A． B． C．0 D．1 5．任意给定一个非零的数，按下列程序计算，最后输出的结果是　　 A． B． C． D． 6．按照如图所示的计算程序，若，则输出的结果是　　 A．1 B．9 C． D． 7．按一定规律排列的一列数依次为，，按此规律排列下去，这列数的第9个数是　　 A． B． C． D． 8．将正整数按如图所示的位置顺序排列： 根据排列规律，则2022应在　　 A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 9．观察下列一组数：，，，，，，它们是按一定规律排列的，那么这组数的第2022个数是　　 A． B． C． D． 10．按《航空障得灯》的要求，为保障飞机夜间飞行的安全，在高度为45米至105米的建筑上必须安装中光强航空障碍灯，中光强航空障碍灯是以规律性的固定模式闪光，下图是某一种中光强航空障碍灯的闪光模式，灯的亮暗呈规律性交替变化，那么在一个连续的10秒内，该航空障碍灯处于亮的状态时间总和最长可达　　 A．6秒 B．6.5秒 C．7秒 D．13秒 11．将一个按红黄绿蓝紫的顺序依次循环排列的纸环链，截去中间的一部分后，剩下的部分如图所示，则被截去的中间一部分的纸环总数可能是　　 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 12．如图，图（1）是由6块完全相同的正三角形地砖铺成，图（2）是由10块完全相同的正三角形地砖铺成，图（3）是由14块完全相同的正三角形地砖铺成，，按图中所示规律．则图（8）所需地砖数量为　　 A．26块 B．30块 C．34块 D．38块 13．某班举行拼汉字比赛，小梅用●排列成数字“上”，图①共用10个●，图②共用13个●，图③共用16个●，按此规律排列下去，则第⑥个图共用●的个数是　　 A．22 B．25 C．28 D．32 14．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为　　 A．30 B．33 C．37 D．41 15．如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是　　 A．297 B．301 C．303 D．400 16．观察下面图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中“”的个数是　　 A．128 B．162 C．200 D．226 17．按一定规律排列的单项式：，，，，，，第8个单项式是　　 A． B． C． D． 18．按如图所示的运算程序，能使输出结果为19的是　　 A．， B．， C．， D．， 19．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第22行从左至右的第5个数是　　 A．235 B．236 C．237 D．238 20．填在下面各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出，的值分别为　　 A．16，257 B．16，91 C．10，101 D．10，161 21．按一定规律排列的一组数据：，，，，，，．则按此规律排列的第10个数是　　 A． B． C． D． 22．下列图形是按照一定规律画出的．对于第个图形，有个正方形和一定数量的三角形，三角形的个数可以表示为　　 A． B． C． D． 23．下列图形都是由圆和几个黑色围棋子按一定规律组成，图①中有4个黑色棋子，图②中有7个黑色棋子，图③中有10个黑色棋子，，依次规律，图中黑色棋子的个数是　　 A．6067 B．6066 C．6065 D．6064 24．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要2022根小木棒，则的值为　　 A．252 B．253 C．336 D．337 25．如图，三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中图1有个小正方形，所有线段的和为4，图2有个小正方形，所有线段的和为12，图3有个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第个图中所有线段的和为　　 A． B． C． D． 26．一列数，，，，，其中，，，，，则的值为　　 A．1009 B． C． D．1008 二．填空题（共13小题） 27．一组单项式：，，，，，按照此规律，则第8个单项式是 ． 28．根据如图所示的程序计算，若输入的值为1，则输出的值为 ． 29．如图是一个数值转换机示意图，若输入的值为，的值为，则数值转换机输出的结果为 ． 30．如图，是一个简单的数值运算程序．当输入的值为，则输出的数值为 ． 31．按下面的程序计算： 若输入，输出结果是501，若输入，输出结果是631，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为556，则开始输入的值可能有 种． 32．如图，是一个数值转换机的示意图，若输入的值为3，的值为时，则输出的结果为 ． 33．根据如图所示的程序进行计算，若输入的值为，则输出的值为 ． 34．观察下列单项式：，，，，，，按此规律第个单项式是 ．是正整数）． 35．一组按规律排列的式子：，，，，．则第个式子是 ． 36．有规律地排列着这样一些单项式：，，，，，，则第个单项式整数）可表示为 ． 37．有一组多项式：，，，，，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为 ． 38．九格幻方有如下规律：处于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的三个数的和都相等（如图．则图2的九格幻方中的9个数的和为 （用含的式子表示） 39．观察下面的一列单项式：，，，，根据你发现的规律，第7个单项式为 ；第个单项式为 ． 三．解答题（共6小题） 40．观察以下一系列等式： ①； ②； ③； ④ ； （1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式： ； （2）根据你上面所发现的规律，用含字母的式子表示第个等式： ； （3）请利用上述规律计算：． 41．观察下列式子： ①， ②， ③， （1）根据你发现的规律，请写出第4个等式 ； （2）根据你发现的规律，请写出第为正整数）个等式 ，并证明你所写出的等式的正确性； （3）请写出第198个等式： ． 42．观察图： 下列每一幅图都是由一些单位长度均为1的黑方格和白方格按一定的规律组成（下面所有方格均指的单位为1的小方格）． （1）根据规律，第4个图中共有 个方格，其中黑方格 个． （2）第个图形中，白方格共有 个．（用表示，为正整数） （3）有没有可能黑方格比白方格恰好少2022个，如果有，求出是第几个图形；如果没有，请说明理由． 43．如图所示的是由大小相同的线段组成的一系列图案，第1个图案由6条线段组成，第2个图案由9条线段组成，，按此规律排列下去． （1）①第7个图案由 条线段组成，第8个图案由 条线段组成； ②第2022个图案由 条线段组成． （2）若第个图案由258条线段组成，求的值． 44．如图，数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答． （1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数； （2）用含的式子表示：第行的最后一个数是 ，第行第一个数是 ，第行共有 数； （3）求第行各数之和（只需要写出算式） 45．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 按上述规律，回答以下问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明． 专题2.5 整式中的整体思想 【例题精讲】 已知，则的结果是　　 A． B． C． D． 已知，则的值为 ． 当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为　　 A．1 B． C．5 D． 已知，，，则多项式的值为　　 A．21 B．9 C．1 D． 若，二者满足等式，且，则式子的值为　　 A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【题组训练】 一．选择题（共42小题） 1．已知，则代数式的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知代数式的值为9，则代数式的值为　　 A．18 B．12 C．9 D．7 3．当时，代数式的值等于，那么当时，这个代数式的值为　　 A．5 B．19 C． D． 4．代数式的值为9，则的值为　　 A．8 B．7 C．6 D．5 5．已知代数式的值是3，则代数式的值是　　 A．1 B．4 C．7 D．不能确定 6．若，，，则的值为　　 A．10 B．12 C．14 D．20 7．若，，则的值等于　　 A．5 B．1 C． D． 8．已知，，则代数式的值是　　 A． B． C．99 D．101 9．若代数式的值为5，则代数式的值是　　 A．10 B．1 C． D． 10．若，则的值为　　 A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 11．当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为　　 A．100 B． C．98 D． 12．若，则的值是　　 A．11 B．8 C．7 D．12 13．如果多项式，则多项式　　 A．7 B． C．12 D． 14．已知，则代数式的值为　　 A． B．3 C． D． 15．已知，则的值是　　 A．0 B．2 C． D．1 16．若，则代数式的值是　　 A．10 B．8 C．6 D．4 17．若，则代数式的值为　　 A． B．1 C．2 D．3 18．若，则代数式的值是　　 A．4 B．5 C． D．14 19．若，则的值为　　 A．20 B．8 C． D． 20．已知，则代数式的值是　　 A．2016 B．2018 C．2020 D．2021 21．若，则代数式的值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 22．若．则代数式的值为　　 A．14 B．11 C．5 D．2 23．已知，则的值是　　 A．31 B． C．41 D． 24．若，则的值是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 25．当时，代数式的值为1，当时，代数式的值为　　 A．1 B． C．5 D． 26．已知．则的值为　　 A． B．1 C． D．5 27．若当时，多项式的值是8，且当该多项式值为0，则的值是　　 A．4 B．8 C．16 D．无法确定 28．若代数式的值是5，则代数式的值是　　 A．4 B．7 C．5 D．不能确定 29．已知代数式的值是3，则的值是　　 A． B． C． D． 30．已知，则　　 A． B．18 C． D．12 31．当时，代数式的值是，则当时，代数式的值是　　 A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 32．已知，那么代数式的值是　　 A．14 B．11 C．5 D．2 33．已知，则的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 34．如果代数式的值为4，那么代数式的值等于　　 A． B． C．7 D．1 35．已知，则代数式的值为　　 A．0 B． C． D．3 36．当时，整式的值等于，那么当时，整式的值为　　 A．19 B． C．17 D． 37．若代数式的值是4，则的值是　　 A． B． C． D． 38．已知，，则代数式的值是　　 A． B． C．0 D． 39．如果代数式的值为5，那么代数式的值等于　　 A．2 B．5 C．7 D．13 40．若代数式的值为18，则代数式的值为　　 A．30 B． C． D．34 41．当时，多项式的值为，则当时，该多项式的值为　　 A．4 B． C． D．答案不确定 42．已知代数式的值为9，则的值为　　 A．23 B． C． D．26 二．填空题（共18小题） 43．已知，代数式的值为 ． 44．若，则 ． 45．若，则 ． 46．若，则 ． 47．已知，则的值为 ． 48．若多项式的值为10，则多项式的值为 ． 49．已知，则 ． 50．已知，，则的值为 ． 51．如果，，那么代数式的值是 ． 52．已知，则 ． 53．若，则 ． 54．已知，，则 ． 55．已知，，那么代数式的值等于 ． 56．若，则 ． 57．如果代数式的值为1，那么代数式的值等于 ． 58．若多项式的值为 5 ，则 ． 59．已知，则代数式的值为 ． 60．已知，则 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$