4.4.1 对数函数的概念 同步训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.1　对数函数的概念（同步训练） 一、选择题 1.函数y＝的定义域为(　　) A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(2，3)∪(3，＋∞) D.(2，4)∪(4，＋∞) 2.已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln (1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　) A.{x|x＞－1} B.{x|x＜1} C.{x|－1＜x＜1} D.{x|x＜－1或x＞1} 3.已知函数f(x)＝则的值为(　　) A.1 B. C.2 D.4 4.函数f(x)＝ln (2x－4)的定义域是(　　) A.(0，2) B.(0，2] C.[2，＋∞) D.(2，＋∞) 5.下列函数表达式中，是对数函数的有(　　) ①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x； ⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.设函数f (x)＝则f (f (10))的值为(　　) A.lg 101　　 　B.1　　　 C.2　　　 D.0 7.如果函数f (x)＝logax(a>0，且a≠1)的图象经过点(4，2)，那么a的值为(　　) A.　 　B.　 　C.2　　 D.4 8.函数y＝loga(x－2)(a＞0，且a≠1)的图象恒过的定点是(　　) A.(1，0) B.(2，0) C.(3，0) D.(4，0) 9.(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{y|y＝lg x}，则下列关系中正确的是(　　) A.A∪B＝B B.B⊆A C.A∩B＝A D.A∩B＝B 二、填空题 10.函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________ 11.函数f(x)＝＋ln (x＋1)的定义域为________ 12.已知函数f (x)＝log3x，则＋f (15)＝________ 13.已知函数f(x)为奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x，则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是______________ 三、解答题 14.求下列函数的定义域： (1)f(x)＝lg (x－2)＋；(2)f(x)＝log(x＋1)(2－3x)． 15.若函数y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)的图象过点(－1，0). (1)求a的值；(2)求函数的定义域． 16.人们早就发现了放射性物质的衰减现象．在考古工作中，常用14C的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律：C(t)＝C0e－rt， 其中t表示衰减的时间，C0表示放射性物质的原始质量，C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量． 为计算衰减的年代，通常给出该物质质量衰减一半的时间，称其为该物质的半衰期．14C的半衰期大约是5 730年．人们又知道，放射性物质的衰减速度与其质量成正比． 1950年，在伊拉克发现一根古巴比伦王国时期刻有汉谟拉比王朝字样的木炭，当时测定，其14C的衰减速度为4.09个/(g·min)，而新砍伐树木烧成的木炭中14C的衰减速度为6.68个/(g·min)．请估算出汉谟拉比王朝所在年代． 参考答案及解析： 一、选择题 1.C 解析：要使函数有意义，则解得x＞2且 x≠3.故选C. 2.C 解析：由题意知M＝{x|x＜1}，N＝{x|x＞－1}，则M∩N＝{x|－1＜x＜1}．故选C. 3.C 解析：∵x＞0时，f(x)＝log2x，∴＝log2＝log22－4＝－4. 又∵x≤0时，f(x)＝，∴f(－4)＝＝2.∴＝f(－4)＝2. 4.D 解析：要使f(x)有意义，则2x－4＞0，解得x＞2.所以f(x)的定义域为(2，＋∞). 5.B 解析：由于①中自变量出现在底数上，所以①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a＞0且a≠1，所以②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，所以⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log4x的系数为2，所以⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义． 6.C　解析：f (f (10))＝f (lg 10)＝f (1)＝12＋1＝2．故选C． 7.C　解析：由f (4)＝loga4＝2得a2＝4，∴a＝±2， 又a>0且a≠1，∴a＝2，故选C． 8.C 解析：令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点(3，0). 9.AC　解析：由题意可知A＝(0，＋∞)，B＝R，∴A⊆B，即A∪B＝B，A∩B＝A．故选AC． 二、填空题 10.答案：1 解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0或a＝1.又因为a＋1＞0，且a＋1≠1，所以a＝1. 11.答案：(－1，2) 解析：若使函数式有意义需满足条件即所以x∈(－1，2)，故函数的定义域为(－1，2)． 12.答案：3　 解析：＋f (15)＝log3＋log315＝log327＝3． 13.答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 解析：由log2x＞0，得x＞1；由log2x＜0，得0＜x＜1.又由函数f(x)为奇函数，则f(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜0或x＞1}． 三、解答题 14.解：(1)要使函数有意义，需满足解得x＞2且x≠3． 所以函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足解得－1＜x＜且x≠0， 所以函数的定义域为(－1，0)∪． 15.解：(1)将点(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，且a≠1)中，有 0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2. (2)由(1)知y＝log2(x＋2). 由x＋2＞0，解得x＞－2. 所以函数的定义域为{x|x＞－2}． 16.解：因为14C的半衰期大约是5 730年，所以由衰减规律，得＝e－5 730r． 解得r＝．因此14C的衰减规律服从指数型函数C(t)＝C0＝C0·． 设发现汉谟拉比王朝字样的木炭时(1950年)，该木炭已衰减了t0年．因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比，所以＝，于是＝． 两边取以2为底的对数，得－＝log2 解得t0＝5 730log2≈5 730×0.707 7≈4 055 所以该木炭已衰减了约4 055年，即汉谟拉比王朝大约存在于公元前2100年． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$