圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习

第39讲　圆的方程 第八章　 解析几何 1 激 活 思 维 【解析】 BD 2．圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是(　　) A．(x＋8)2＋(y－3)2＝25 B．(x－8)2＋(y－3)2＝25 C．(x＋8)2＋(y－3)2＝16 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25 A 【解析】 3．若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是(　　) A．x2＋(y－2)2＝10 B．x2＋(y＋2)2＝10 C．(x－2)2＋y2＝10 D．(x＋2)2＋y2＝10 C 【解析】 4．已知圆C以P1P2为直径，P1(4，9)，P2(6，3)，则下列各点在圆C外的是 (　　) A．M(6，9) B．N(3，3) C．Q(5，3) D．R(4，4) B 【解析】 5．已知圆C经过点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，则圆C的标准方程为________________________；若点D为圆C上任意一点，且点E(3，0)，则线段ED的中点M的轨迹方程为___________________． 【解析】 【答案】(x－2)2＋(y－4)2＝10 1．圆的定义、方程 聚 焦 知 识 定义 平面内到________的距离等于________的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：__________ 半径：_____ 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 条件：_________________ 圆心：_____________ 半径：r＝_________________ 定点 定长 (a，b) r D2＋E2－4F＞0 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1) 若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2； (2) 若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (3) 若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. (1) 经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程是________________________． 圆的方程 举 题 说 法 1 【解析】 方法一：(几何法)由题意知kAB＝2，AB的中点为(4，0).设圆心为C(a，b). 【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝10 1 【解析】 D 变式　设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为_______________________． 【解析】 【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝5 点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是 (　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝1 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 相关点法求动点轨迹方程 2 A 【解析】 由Q在圆x2＋y2＝4上，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故所求轨迹方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 变式　若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为______________． x2＋y2＝25 【解析】 与圆有关的最值和范围问题 3 【解析】 12 (2) 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________． 3 【解析】 P是x轴上的动点，则|PM|的最小值为|PC1|－1.同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4. 3 【解答】 隐形圆 有些时候，在题干中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题． 新视角 4 【答案】B 以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，则B(2，0).设点P(x，y). 【解析】 (2) 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线l：x－y－4＝0的距离的最大值为_______． 【解析】 由题意，直线l1过定点A(0，2)，l2过定点B(2，0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆T：(x－1)2＋(y－1)2＝2上． 4 4 【解析】 4 【解析】 (－∞，2) (5) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是_________. [0，3] 【解析】 设M(x，y).由|MA|2＋|MO|2＝10，得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上． 4 随 堂 练习 【解析】 A 【解析】 圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为(－2，1).由题知圆心在直线ax－by＋1＝0上，所以－2a－b＋1＝0，即2a＋b＝1. A 【解析】 【答案】C 4．在平面直角坐标系中，过A(－2，4)，B(2，6)，C(－1，－3)，D(2，－4)四点的圆的方程为_________________________． x2＋y2－4x－2y－20＝0 【解析】 5．若动点M在圆(x－4)2＋y2＝16上移动，则M与定点A(－4，8)连线的中点P的轨迹方程为___________________． x2＋(y－4)2＝4 【解析】 配套精练 34 【解析】 C 2．已知圆C的圆心在x轴上，且过A(－1，1)和B(1，3)两点，则圆C的方程是 (　　) A．x2＋(y－2)2＝100 B．(x－2)2＋y2＝100 C．x2＋(y－2)2＝10 D．(x－2)2＋y2＝10 D 【解析】 【解析】 A 【解析】 B 【解析】 【答案】ABD 因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x＋y＝0对称．因为(2－1)2＋(3－3)2＝1＜5，故点(2，3)在圆M内． 6．已知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2，6)，且交圆O于P，Q两点，M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是 (　　) A．点M的轨迹是圆 B．|PQ|的最小值为6 C．若圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，则l的方程是4x－3y＋10＝0 D．使|PQ|为整数的直线l共有16条 【解析】 因为直线l恒过点N(2，6)，所以OM⊥MN，点M在以ON为直径的圆上，则点M的轨迹是圆，故A正确； 由题知圆O：x2＋y2＝49，直线l过点N(2，6)，圆O上仅有三个点到直线l的距离为5，因为圆心为O(0，0)，半径为r＝7，所以圆心到直线l的距离d＝2， 【答案】ABD 由最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知，使|PQ|为整数的直线l有2＋2×(13－7＋1)＝16(条)，故D正确． 三、 填空题 7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5，6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________． (x－4)2＋(y－1)2＝26 【解析】 8．过四点(－1，1)，(1，－1)，(2，2)，(3，1)中的三点的一个圆的方程为________________________(写出一个即可)． 【解析】 【答案】 9．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，则直角顶点C的轨迹方程是__________________________；直角边BC的中点M的轨迹方程是______________． 【解析】 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0). 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0). 【答案】x2＋y2－2x－3＝0(y≠0) (x－2)2＋y2＝1(y≠0) 将x0＝2x－3，y0＝2y代入点C的轨迹方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0). 四、 解答题 10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点． (1) 求m＋2n的最大值； 【解答】 10．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点． 【解答】 11．已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x＋y＝4上． (1) 求半径最小时的圆C的方程； 【解答】 11．已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x＋y＝4上． (2) 求证：动圆C恒过一个异于点O的定点． 【解答】 B组　滚动小练 12．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点B的平面α与直线A1C垂直，则α截该正方体所得截面的形状为 (　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 A 【解析】 如图，因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD. 又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD.又AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面AA1C，所以BD⊥平面AA1C. 因为A1C⊂平面AA1C，所以BD⊥A1C，同理BC1⊥A1C.因为BC1∩BD＝B，BC1，BD⊂平面BC1D，所以A1C⊥平面BC1D，故平面α即为平面BC1D，则α截该正方体所得截面的形状为三角形． 13．设数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋3，数列{bn}是公差为2的等差数列，b1＋4b3＝7b2. (1) 求{an}，{bn}的通项公式； 【解答】 由3an＝2Sn＋3，可得3an＋1＝2Sn＋1＋3，两式相减可得3an＋1－3an＝2an＋1，所以an＋1＝3an.令n＝1，可得3a1＝2a1＋3，所以a1＝3. 所以{an}是首项为3，公比为3的等比数列，即an＝3×3n-1＝3n.因为数列{bn}是公差为2的等差数列，b1＋4b3＝7b2，所以b1＋4(b1＋4)＝7(b1＋2)，解得b1＝1，所以bn＝1＋2(n－1)＝2n－1. 13．设数列{an}的前n项和为Sn，3an＝2Sn＋3，数列{bn}是公差为2的等差数列，b1＋4b3＝7b2. 【解答】 谢谢观赏 1．(多选)已知x2＋y2－4x＋6y＝0表示圆，则下列结论正确的是(　　) A．圆心坐标为C(－2，3) B．圆心坐标为C(2，－3) C．半径r＝13 D．半径r＝ 由题可设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. 3．两个常用结论 (1) 方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，且＋－4·＞0，即D2＋E2－4AF＞0. (2) 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0. 方法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得 (2) 已知A(－，0)，B(，0)，C(0，3)，则△ABC外接圆的方程为 (　　) A．(x－1)2＋y2＝2 B．(x－1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝2 D．x2＋(y－1)2＝4 (1) 设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为______． (3) 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求下列表达式的最大值和最小值： ①；②y－x；③x2＋y2. 1 如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3， 表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆． 设＝k，即y＝kx，则圆心(2，0)到直线y＝kx的距离等于半径时，直线与圆相切，斜率取得最大或最小值．由＝，得k2＝3，所以kmax＝，kmin＝－，所以＝，＝－. ③x2＋y2表示圆上的点与原点的距离的平方．如图，设圆与x轴相交于点B和C′(点B在点C′左侧)，易得B(2－，0)，C′(2＋，0)，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4. (1) 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k＞0，k≠1)的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足＝，若点P不在直线AB上，则△PAB面积的最大值为 (　　) A．1 B． C．2 D．2 由＝，得3|PA|2＝|PB|2，即3x2＋3y2＝(x－2)2＋y2，整理得(x＋1)2＋y2＝3.因此点P的轨迹是以点C(－1，0)为圆心，为半径的圆(除去与x轴的交点)，则P到直线AB距离的最大值为，所以△PAB面积的最大值为S＝|AB|×＝. 如图，圆心T(1，1)到直线l的距离d＝＝2，从而点P 到直线l的距离的最大值为d＋＝3. (3) 已知A，B是圆O：x2＋y2＝1上的动点，|AB|＝，P是圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝上的动点，则|＋|的取值范围是______________________． 如图，又圆C的半径为，所以－2≤||≤＋2，而＋＝2，所以|＋|＝2||，从而2－4≤|＋|≤2＋4. (4) 已知点A(2，3)，B(6，－3)，点P在直线3x－4y＋3＝0上，若满足·＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围为_____________． 设P(x，y)，则＝(2－x，3－y)，＝(6－x，－3－y)，所以·＋2λ＝(2－x)(6－x)＋(3－y)(－3－y)＋2λ＝x2＋y2－8x＋3＋2λ＝0，即(x－4)2＋y2＝13－2λ，故问题等价于直线3x－4y＋3＝0与圆(x－4)2＋y2＝13－2λ相交，所以解得λ＜2. 1．已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　) A． B．(－∞，－6)∪ C．(－6，＋∞) D． 2．设a，b为正数，若圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0关于直线ax－by＋1＝0对称，则的最小值为(　　) A．9 B．8 C．6 D．10 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．若点C到A(－1，0)，B(1，0)的距离之比为，则点C到直线x－2y＋8＝0的最小距离为 (　　) A．2－ B．－ C．2 D． 4．已知点P(0，4)，圆M：(x－4)2＋y2＝16，过点N(2，0)的直线l与圆M交于A，B两点，则|＋|的最大值为(　　) A．8 B．12 C．6 D．9 二、 多项选择题 5．已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆M的说法正确的是(　　) A．圆M的圆心坐标为(1，3) B．圆M的半径为 C．圆M关于直线x＋y＝0对称 D．点(2，3)在圆M内 当直线l的斜率存在时，设方程为y－6＝k(x－2)，即kx－y＋6－2k＝0，则d＝＝2，解得k＝，所以l的方程是4x－3y＋10＝0，当直线l的斜率不存在时，则直线l：x＝2，此时d＝|0－2|＝2，满足题意，故C错误； 若圆过(－1，1)，(1，－1)，(3，1)时，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得故圆的方程是x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4. 同理可得：过(1，－1)，(2，2)，(3，1)的圆的方程是＋＝；过(－1，1)，(1，－1)，(2，2)的圆的方程是＋＝；过(－1，1)，(2，2)，(3，1)的圆的方程是(x－1)2＋y2＝5. 两式相减得Mn＝＋2－(2n－1)＝＋2× －(2n－1)＝－，所以Mn＝1－. $$