直线的方程及位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

第38讲　直线的方程及位置关系 第八章　 解析几何 1 1．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　) A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2 激 活 思 维 【解析】 D 由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2. 2．已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是 (　　) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 A 【解析】 3．已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　) 【解析】 C 4．已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是 (　　) A．4x－3y＝0 B．4x＋3y＝0 C．3x－4y＝0 D．3x＋4y＝0 A 【解析】 经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0，将原点O(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0. 5．(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是(　　) A．2 B．－1 C．－2 D．1 AB 【解析】 因为两直线平行，所以a(a－1)－2＝0，且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0，且 a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1. 1．直线的倾斜角 (1) 定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2) 范围：直线l的倾斜角的取值范围是___________． 2．斜率公式 (1) 若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝_________． (2) 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝________． 向上方向 聚 焦 知 识 [0，π) tan α 3．直线方程的五种形式 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 4．两条直线平行与垂直的判定 (1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔_______.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行． (2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔_____________.特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 5．三个距离公式 (1) 点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝__________________． (2) 点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______． (3) 线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ _________． k1＝k2 k1·k2＝－1 6．常用结论 (1) “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数． (2) “直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”． 直线的方程 举 题 说 法 1 【解析】 A (2) 在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为 (　　) A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0 C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0 A 1 【解析】 【解析】 B 变式　(2) 倾斜角为150°，在y轴上的截距为－3的直线方程为_______________． 【解析】 (1) 若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a的值为 (　　) A．－1 B．－2 C．－2或0 D．0 两直线的位置关系 2 D 【解析】 由题设知(a＋1)2＝1，解得a＝0或a＝－2.当a＝0时，l：x－y＋3＝0，m：x－y－3＝0，满足题设；当a＝－2时，l：x＋y－3＝0，m：x＋y－3＝0，不满足题设．所以a＝0. (2) 已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 B 2 【解析】 因为直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，且l1⊥l2，所以1·a＋1·b＝0，即a＋b＝0. 变式　(1) 设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝______；若l1⊥l2，则a＝_______． 【解析】 －7 变式　(2) 已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：2x＋y－1＝0，直线l3：x＋ny＋1＝0.若l1∥l2，l2⊥l3，求实数m＋n的值． 【解答】 距离问题 3 【解析】 C (2) 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 (　　) A 3 【解析】 由题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0的距离和与l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 变式　(1) 已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为______________________________． 2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0 【解析】 【解析】 ±1 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2). (1) 求点A关于直线l的对称点A′的坐标； 对称问题 4 【解答】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2). (2) 求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程； 4 【解答】 在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 又m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2). (3) 求直线l关于点A对称的直线l′的方程. 4 【解答】 方法一：在l：2x－3y＋1＝0上取两点P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0. 变式　已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_______________． 6x－y－6＝0 【解析】 随 堂 练习 【解析】 C 2．在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为 (　　) A．45° B．135° C．90° D．180° A 【解析】 3．已知点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，则m的值为(　　) A．－5或－15 B．－5或15 C．5或－15 D．5或15 D 【解析】 【解析】 C 5．已知光线从点A(6，1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4，4)，则CD所在直线的方程为_______________． x－2y＋4＝0 【解析】 如图，由题意知点B在原点O的右侧，A(6，1)关于x轴对称的点为A′(6，－1)，且D(4，4)关于y轴对称的点为D′(－4，4)，直线BC一定过A′，D′两点， 配套精练 32 【解析】 A组　夯基精练 C 2．已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为(　　) A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合 D 【解析】 3．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是 (　　) A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0 C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0 B 【解析】 C 【解析】 二、 多项选择题 5．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，直线l2：x＋my＋1＝0，则下列说法正确的有(　　) A．直线l1恒过点(0，1) B．若直线l2的方向向量为(1，1)，则m＝－1 C．若l1∥l2，则m＝±1 D．若l1⊥l2，则m＝0 【解析】 把(0，1)代入直线l1的方程，等式不成立，故A错误； 因为直线l1的方向向量为(1，－m)，直线l2的方向向量为(m，－1)，若l1∥l2，则有m2－1＝0，解得m＝±1，当m＝1时，l1与l2重合，舍去，所以m＝－1，故C错误； 若l1⊥l2，则有m＋m＝0，即m＝0，故D正确． BD 6．已知直线l的方程为(a2－1)x－2ay＋2a2＋2＝0，a∈R，O为原点，则 (　　) A．若|OP|≤2，则点P一定不在直线l上 B．若点P在直线l上，则|OP|≥2 C．直线l上存在定点P D．存在无数个点P总不在直线l上 【解析】 当点P在直线l上时，|OP|≥2，故B正确； 【答案】BD 圆x2＋y2＝4内(不含边界)的所有点都不在直线l上，故D正确． 三、 填空题 7．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为______． 【解析】 8．点P(2，7)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______________． (－8，－3) 【解析】 【解析】 四、 解答题 10．已知□ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3). (1) 求AD所在直线的方程； 【解答】 10．已知□ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3). (2) 求□ABCD的面积． 【解答】 11．已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0. (1) 求证：不论m为何实数，直线l过定点M； 【解答】 11．已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0. (2) 过定点M作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程． 【解答】 过定点M(－1，－2)作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l1过点(－2，0)，(0，－4). D 【解析】 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，AD＝2. 【解答】 13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，AD＝2. 【解答】 谢谢观赏 由题意可得直线l的斜率k＝－，所以l：y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0. 由题意知＝1，a＞0，解得a＝－1. 名称 方程 适用范围 点斜式 ___________________ 不含直线x＝x0 斜截式 ____________ 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 ___________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 (1) 已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为 (　　) A．y＝x＋2 B．y＝x－2 C．y＝x＋ D．y＝－x＋2 因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，故直线l的方程为y＝x＋2. 设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，则有且解得x＝－5，y＝－3，m＝－，n＝1，即C(－5，－3)，M，N(1，0)，所以MN所在直线的方程为＝，即5x－2y－5＝0. (1) 已知经过点P(2，2)的直线l与直线ax－y＋1＝0垂直，若点M(1，0)到直线l的距离等于，则a的值是 (　　) A．－ B．1 C．2 D． 4．已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则 (　　) A．E是一个半径为的圆 B．E是一条与l相交的直线 C．E上的点到l的距离均为 D．E是两条平行直线 所以BC所在直线的方程为y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0.令x＝0，得y＝2，所以点C的坐标为(0，2)，所以CD所在直线的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0. 当直线不过原点时，设直线在x轴上的截距为b，则在y轴上的截距是2b，直线的方程为＋＝1，把点(5，2)代入可得＋＝1，解得b＝6，故直线的方程为＋＝1，即2x＋y－12＝0. 若直线l2：x＋my＋1＝0的方向向量为(1，1)，则直线l2的斜率k＝＝1，可得m＝－1，故B正确； $$