4.4对数函数-重点强化提升（知识点+典型例题+针对练习+高考真题）讲义-2025届高三数学一轮复习

4.4对数函数 ( 知识 归纳 ) 1、对数函数的概念：函数 (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． （2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1 2、对数函数的图像与性质：对数函数(a>0，且a≠1) 0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1 图像 ( y x 0 (1,0) ) ( y x 0 (1,0) ) 性质 定义域：（0，＋∞） 值域：R 过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0 当x>1时，y>0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y<0 重要结论：在logab中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有logab>0; 当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logab<0. 口诀：底真同大于0（底真不同小于0）. （其中，底指底数，真指真数，大于0指logab的值） 3、如图，底数 a对函数 的影响。 规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 ( 考点讲解 ) 题型一：对数函数定义及解析式 1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 2．已知函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 4．函数是对数函数，则实数 ． 题型二：：对数函数的定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．设函数，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为 ． 题型三：对数函数的值域 1．（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．的单调递增区间为 4．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 题型四：对数函数的图像 1．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 2．（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的大致图象为（    ） A．B．C．D． 3．（多选）（2024·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（    ） A．    B．  C．  D．   4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 题型五：对数型函数过定点问题 1．（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·四川遂宁·二模）函数的图象恒过点，函数的定义域为，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·海南·模拟预测）函数的图象必经过定点 . 4．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 题型六：对数函数的单调性 1．（2024·上海杨浦·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆·三模）已知，，且，则 . 题型七：对数函数的最值 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广西贵港·一模）若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 3．（2024·广西南宁·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 . 题型八：反函数 1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 2．（2023·河南·模拟预测）已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 3．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数（且）的反函数过点，设，则不等式的解集是 ． 4．（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 . 题型九：利用对数函数的性质综合解题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设点A，B在曲线上两点，且中点，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（2023·江西·模拟预测）已知函数，则函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是（    ） A．4 B． C．6 D． 3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 题型十：比较对数式的大小 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）若x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，，则，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海·三模）关于x的不等式的解集为 ． ( 巩固提升 ) 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 4．已知，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则不等式的解集为（   ） A．(，+∞) B．(，+∞) C．() D．(，+∞) 8．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是“"的充分不必要条件 C．若，则 D．函数（且 ）的图象恒过定点 10．（多选）已知函数，且的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．可能在上单调递增 12．若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则 ． 13．已知函数为奇函数，则的值为 . 14．函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 15．已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 16．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． ( 走进高考 ) 1．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4对数函数 ( 知识 归纳 ) 1、对数函数的概念：函数 (a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． （2） 对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1 2、对数函数的图像与性质：对数函数(a>0，且a≠1) 0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1 图像 ( y x 0 (1,0) ) ( y x 0 (1,0) ) 性质 定义域：（0，＋∞） 值域：R 过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y>0 当x>1时，y>0 当x=1时，y=0 当0<x<1时，y<0 重要结论：在logab中，当a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时，有logab>0; 当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+∞) 内时,有logab<0. 口诀：底真同大于0（底真不同小于0）. （其中，底指底数，真指真数，大于0指logab的值） 3、如图，底数 a对函数 的影响。 规律: 底大枝头低, 头低尾巴翘。 ( 考点讲解 ) 题型一：对数函数定义及解析式 1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 2．已知函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出，根据为上的奇函数，得到. 【详解】， 因为为上的奇函数，所以. 故选：A 3．已知函数是定义在上的偶函数，对任意实数.当时，.则的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】 利用函数的奇偶性以及，推出函数的周期，再结合时函数解析式，即可求得答案. 【详解】由已知为偶函数，所以，又， 所以，所以， 所以函数是周期为2的周期函数， 结合时，， 故， 故选：B. 4．函数是对数函数，则实数 ． 【答案】5 【分析】根据对数函数概念可解. 【详解】函数是对数函数,则． 故答案为：5. 题型二：：对数函数的定义域 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】∵， ∴函数的定义域为， 故选：A. 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域. 【详解】函数有意义，等价于， 解得，，故函数的定义域为. 故选：A. 3．设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于CD，当时，，故CD错误. 故选：A. 4．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解. 【详解】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型三：对数函数的值域 1．（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】由定义域求出的范围，进而求出的范围与最大值. 【详解】因为，所以， 所以，最大值为1， 故选：B. 2．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 3．（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】根据函数的解析式，求出函数的定义域和值域即可判断A、B；利用对数运算法则即可求出，即可判断C；根据复合函数的单调性即可判断D. 【详解】由，得，则的定义域为，值域为，故均正确； ，故C正确； 因为，所以，外层函数为增函数， ，令，所以函数定义域为， 内层函数，在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为不是，故D错误． 故选：D. 4．（2024·上海·模拟预测）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质将函数化简为，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为 ， 当，即时，取到最小值，且. 故答案为： 题型四：对数函数的图像 1．（2024·广东深圳·二模）已知，且，则函数的图象一定经过（    ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【分析】由函数过点，分类可解. 【详解】当时，， 则当时，函数图象过二、三、四象限； 则当时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数的图象一定经过三、四象限. 故选：D 2．（2024·全国·模拟预测）函数在区间上的大致图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由选项图形特点，先判断函数的奇偶性，然后再根据和两个区间上函数值的正负即可判断出函数图象. 【详解】因为，且，所以函数为奇函数，故排除A，B． 当时，，，，所以； 当时，，，，所以．故排除D． 故选：C． 3．（多选）（2024·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（    ） A．    B．  C．  D．   【答案】BCD 【分析】易得函数为偶函数，再结合对数函数的性质即可得解. 【详解】函数的定义域为， 因为，所以函数为偶函数， 当时，为减函数，且过定点， 故函数的大致图象不可能为BCD选项. 故选：BCD. 4．（2023·浙江绍兴·模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解. 【详解】函数的图象关于对称，其定义域为， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可得，要使函数的图象不过第四象限， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 题型五：对数型函数过定点问题 1．（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】令，即可求解恒过定点，进而求解. 【详解】令，解得，此时， 所以恒过定点，则， 所以. 故选：C 2．（2024·四川遂宁·二模）函数的图象恒过点，函数的定义域为，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，当时，即可求出定点坐标，即可求得的解析式，进而可得的解析式，再结合抽象函数的定义域求得的定义域，结合函数的单调性即可求解. 【详解】当时，即，则， 所以恒过定点， 则，定义域为，由，得， 则的定义域为， 则， 又在上单调递增，则在上单调递增， 则， ， 所以函数的值域为. 故选：C 3．（2024·海南·模拟预测）函数的图象必经过定点 . 【答案】 【分析】由恒成立可直接得到定点坐标. 【详解】恒成立，的图象必过定点. 故答案为：. 4．（2024·陕西渭南·二模）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据对数型函数的特点求得定点坐标，代入直线方程得，运用常值代换法即可求得结论. 【详解】令时，可得， 可知函数，且的图象恒过定点， 因为定点在直线上， 可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 题型六：对数函数的单调性 1．（2024·上海杨浦·二模）下列函数中，在区间上为严格增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析式直接判断单调性的方法，逐项分析得解. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，函数在上单调递减，B不是； 对于C，函数在上单调递减，C不是； 对于D，函数在上为严格增函数，D是. 故选：D 2．（2024·四川·模拟预测）已知为定义在上的单调函数，且对，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得. 【详解】设，则， 所以，即， 设，易知在上单调递增， 所以，即， 故，所以． 故选：B． 3．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数的单调性分析得在上单调递减，根据单调性即可得到答案. 【详解】设，易知函数是增函数， 因为在区间上单调递减， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减. 因为函数在上单调递减， 所以，即. 故选：D. 4．（2024·重庆·三模）已知，，且，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算可得和，即可求解. 【详解】解：因为，，所以， 因为，所以，所以，即， 所以，，则 故答案为： 题型七：对数函数的最值 1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据开口向上，故需在区间上有最小值，且，从而得到不等式，求出答案. 【详解】要使函数在区间上有最大值或最小值， 由于开口向上， 故需函数在区间上有最小值，且． 该函数图像的对称轴为直线，所以， 解得， 所以，且，即实数的取值范围为． 故选：B． 2．（2024·广西贵港·一模）若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意结合对数的运算法则有：， 由对数函数的单调性有：， 整理可得：，由恒成立的条件有：， 其中，当且仅当时等号成立. 即时，函数取得最小值. 综上可得：. 本题选择D选项. 3．（2024·广西南宁·模拟预测）已知函数，若的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数单调性以及对数函数相关知识进行求解即可. 【详解】由，得， 所以函数定义域为， 因为由外层函数和内层函数复合而成， 当时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以单调递减， 当时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以单调递增， 所以，所以， 又因为，所以. 故选：C 4．（2023·云南·模拟预测）已知，设，则函数的最大值为 . 【答案】8 【分析】由求出的定义域为，然后换元，令，，得，根据二次函数的单调性可求出最大值. 【详解】， 由得，即的定义域为， 令，因为，所以， 所以在上为增函数， 所以时，. 故答案为：. 题型八：反函数 1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，分别是关于的方程，的根，则下面为定值2023的是（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】由与关于直线对称，关于直线对称可得与为同一点即可求得结果. 【详解】由已知条件可知，，， 令，，， 如图所示， 曲线与曲线关于直线对称，曲线关于直线对称， 设曲线分别与曲线，交于点， ， 则点，关于直线对称， 而点关于直线对称的点为，即为点， 则，即. 故选：C. 2．（2023·河南·模拟预测）已知函数的图象与的图象关于直线对称，且满足，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】 根据图象的对称性得点，在函数的图象上，列方程组求解即可得解. 【详解】 函数的图象与的图象关于直线对称， 所以点，在函数的图象上， 所以，所以，所以， 又，所以，所以. 故选：B 3．（2023·吉林长春·模拟预测）已知函数（且）的反函数过点，设，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据反函数定义得到反函数解析式，根据题中所给点解出a的取值，得到解析式，根据单调性得到最后解集. 【详解】根据反函数定义可知，由题可知 故，，即，根据解析式可知在为增函数， 可列不等式 故答案为： 4．（2024·山东淄博·一模）设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出，再计算判断即得. 【详解】由，得，由，得， 依题意，直线与函数图象交点的横坐标分别为， 而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线， 因此直线与函数图象的交点关于直线对称，即点在直线上， 则，，于是， ，而， 所以，即. 故答案为： 【点睛】结论点睛：同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称. 题型九：利用对数函数的性质综合解题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设点A，B在曲线上两点，且中点，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设出点的坐标，由给定条件列出方程组，求解方程组并求出. 【详解】由点A，B在曲线上两点，设，， 则有 ，即，解得  或， 因此，所以. 故选：D 2．（2023·江西·模拟预测）已知函数，则函数的图象与两坐标轴围成图形的面积是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性及函数的单调性，即可确定与坐标轴围成的面积. 【详解】已知函数，定义域为， 又. 因此函数的图象关于点成中心对称， 又，且点与点也关于点成中心对称， 由基本初等函数的单调性可得函数在区间上单调递减， 因此与坐标轴围成图形的面积是. 故选：A. 3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，再由可得答案. 【详解】∵在上单调递增，∴，∴， 所以， ∵，， ∴，，∴. 故选：B. 4．（多选）（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（    ）(参考数据:) A． B．经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C．经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D．若年后，样本中氚元素的含量为，则 【答案】CD 【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出，再判断D即可. 【详解】由题意得，故有， 左右同时取对数得，故得，故A错误， 当时，，故B错误， 而当时，， 得到经过年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确， 由题意得，化简得， ， 将代入其中，可得，故D正确. 故选：CD 题型十：比较对数式的大小 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）若x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】等价变形，然后构造函数得出，解不等式得，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解. 【详解】设命题p：，命题q： 对于命题p，因为，所以，， 构造函数，易知在R上为增函数，所以； 对于命题q，因为，所以，即； 所以为假命题，为真命题； 所以p是q的必要不充分条件; 故选：B. 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为在上单调递增，又，所以，即， 因为，所以，即， 因为在上单调递增， 所以，所以， 因为，所以，即， 所以． 故选：D． 3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，，，则，，大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合幂函数及对数函数单调性判断，，的范围，即可比较，，的大小． 【详解】因为，， ， 所以． 故选：A． 4．（2024·上海·三模）关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，求出的单调性，又根据，把不等式转化为，由的单调性即可求得不等式的解集. 【详解】令，则的定义域为，     因为和在上均单调递减， 所以在上单调递减，又， 则不等式等价于， 所以，原不等式的解集为. 故答案为：. ( 巩固提升 ) 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指对数函数的知识得出的范围即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 因此， 故选：B. 2．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得， 所以所求定义域为. 故选：B 3．函数的大致图象为（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】先通过对数运算化简，然后由对数函数的图象变换即可求解. 【详解】令，解得， 由题意，，且， 所以的图象由图象向上平移一个单位长度即可. 故选：C. 4．已知，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数的单调性得出条件和结论得等价命题，再利用充要条件的判断方法判断即得. 【详解】因在R上单调递增，在上单调递减, 故等价于,等价于， 显然由可推得，而由推不出， 故 “”是“”的必要不充分条件. 故选:B. 5．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数定义域，结合复合函数单调性得到不等式，求出，得到答案. 【详解】由，得，所以的定义域为. 又在上单调递增，且在上单调递增， 所以解得，即的取值范围是. 故选：A 6．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出时，，从而得到当时，的值域包含，得到不等式，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，，又的值域为R， 故当时，的值域包含． 故，解得． 故选：C 7．已知函数，则不等式的解集为（   ） A．(，+∞) B．(，+∞) C．() D．(，+∞) 【答案】A 【分析】根据，可得关于对称，进而根据单调性即可求解. 【详解】的定义域为，， 所以，故关于对称， 故， 由于均为上的单调递增函数，结合对称性可得函数在上单调递增，所以为单调递增函数， 故，解得， 故选：A 8．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合对数的运算性质与不等式解集运算可得，代入消元后求解二次函数最值即可. 【详解】的定义域为， 令，得， ①当时，满足题意，； ②当时，，由，得， 要使任意，恒成立，则， 所以； ③当时，，由，得， 要使任意，恒成立，则， 所以； 综上，，即. 又，， 当且仅当时，取最小值. 所以的最小值为. 故选：A. 9．（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．最小值是4 B．“”是“"的充分不必要条件 C．若，则 D．函数（且 ）的图象恒过定点 【答案】BD 【分析】利用基本不等式可判断A；解不等式，由充分必要条件可判断B；利用特殊值验证可判断C；利用对数函数性质可判断D. 【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 对于B，由得或，所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，，但 ，故C错误； 对于D，当时，，所以函数（且 ）的图象恒过定点，故D正确. 故选:BD.` 10．（多选）已知函数，且的图象如图所示，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用指数函数的单调性，求解出的取值范围，从而求解出各个选项不等式的正确与否. 【详解】根据函数，且的图象， 知函数是单调递增函数，所以. 又时，，所以，解得， 所以是增函数，，A正确. 由，得，B正确. 由，得，C正确. 由是单调递减函数，得，D错误. 故选：ABC. 11．（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．可能在上单调递增 【答案】ABD 【分析】令赋值判断A； 令和赋值判断B； 令赋值判断C； 由，可得，令，求出，判断D. 【详解】令，则，故A正确； 令，则，即， 令，则，即，故B正确； 令，则，即，所以为奇函数，故C错误； 当时，由，可得， 令，则，此时在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 12．若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出的解析式，再代入求值即可. 【详解】由函数是函数（）的反函数，得， 又函数的图象经过点，则，因此， 所以. 故答案为： 13．已知函数为奇函数，则的值为 . 【答案】 【分析】求出函数的定义域，再由奇函数的性质求出并验证即得. 【详解】函数中，，方程的根为， 由函数是奇函数，得，解得，此时的定义域为， ，即函数为奇函数， 所以的值为. 故答案为： 14．函数的定义域为R（常数，），则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在R上恒成立，且，即在R上成立，且，然后结合基本不等式可求得结果. 【详解】解：根据题意，不等式在R上恒成立，且， 即在R上成立，且． 因为，当且仅当时，即时等号成立， 所以，解得， 所以k的取值范围是． 故答案为：． 15．已知函数，. (1)求函数的最大值； (2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可； （2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可. 【详解】（1） ， ，， 当，即时，，当，即时，， 当时，的最大值为2. （2）由，得， 即，， 设，则当，，， ， 设， 由题意，是当时，函数的值域的子集. ①当，即时，函数在上单调递增， 则解得. ②当，即时，函数在上单调递减， 则不等式组无解. ③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增， 则函数的最大值是与的较大者. 令，得， 令，得，均不合题意. 综上所述，实数的值为. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解. 16．已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【详解】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2）， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． ( 走进高考 ) 1．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 3．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 4．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 5．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 6．（2022·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 学科网（北京）股份有限公司 $$